河南省信阳市2018届九年级上学期第二次月考数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

随着人们生活水平的提高，我国拥有汽车的居民家庭也越来越多，下列汽车标志中，是中心对称图形的是（      ）

二、选择题

2. 难度：中等

如果2是方程x²﹣3x+k=0的一个根，则常数k的值为（　　）

A. 1    B. 2    C. ﹣1    D. ﹣2

3. 难度：中等

一种药品原价每盒25元，经过两次降价后每盒16元．设两次降价的百分率都为x，则x满足（　　）

A. 16（1+2x）=25    B. 25（1﹣2x）=16    C. 16（1+x）²=25    D. 25（1﹣x）²=16

三、填空题

4. 难度：中等

如图，Rt△OAB的顶点A（﹣2，4）在抛物线y=ax²上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为 _____ .

四、选择题

5. 难度：中等

直线y₁=x+1与抛物线y₂=﹣x²+3的图象如图，当y₁＞y₂时，x的取值范围为（　　）

A．x＜﹣2     B．x＞1     C．﹣2＜x＜1     D．x＜﹣2或x＞1

6. 难度：中等

要将抛物线y=x²+2x+3平移后得到抛物线y=x²，下列平移方法正确的是（  ）

A. 向左平移1个单位，再向上平移2个单位

B. 向左平移1个单位，再向下平移2个单位

C. 向右平移1个单位，再向上平移2个单位

D. 向右平移1个单位，再向下平移2个单位

五、单选题

7. 难度：简单

如图，将△ABC绕点C（0，1）旋转180°得到△A′B′C，设点A的坐标为（a，b），则点A′的坐标为（　　）

A. （﹣a，﹣b）    B. （﹣a，﹣b﹣1）    C. （﹣a，﹣b+1）    D. （﹣a，﹣b+2）

8. 难度：中等

抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：

x	…	﹣2	﹣1	0	1	2	…
y	…	0	4	6	6	4	…

从上表可知，下列说法正确的个数是（    ）

①抛物线与x轴的一个交点为（﹣2，0）；②抛物线与y轴的交点为（0，6）；

③抛物线的对称轴是x=1；④在对称轴左侧y随x增大而增大．

A. 1    B. 2    C. 3    D. 4

9. 难度：中等

如图，边长分别为1和2的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止．设小三角形移动的距离为x，两个三角形重叠面积为y，则y关于x的函数图象是（       ）

A.     B.

C.     D.

六、选择题

10. 难度：中等

小明从如图所示的二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：①ab＞0；②a+b+c＜0；③b+2c＞0；④a﹣2b+4c＞0；⑤．

你认为其中正确信息的个数有（　　）

A. 2个   B. 3个   C. 4个   D. 5个

七、填空题

11. 难度：中等

抛物线y=﹣（x+3）²﹣1有最_____点，其坐标是_____．

12. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（3，4），将OA绕坐标原点O逆时针旋转90°至OA′，则点A′的坐标是 ．

八、解答题

13. 难度：中等

已知2是关于x的方程x²﹣2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形的两条边长，求此等腰三角形的周长．

九、填空题

14. 难度：困难

如图将抛物线L₁：y=x²+2x+3向下平移10个单位得L₂，而l₁、l₂的表达式分别是l₁：x=﹣2，l₂： ，则图中阴影部分的面积是_____．

15. 难度：困难

在三角形纸片ABC中，∠A=90°，∠C=30°，AC=30cm，将该纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在斜边BC上的一点E处，折痕记为BD（如图1），减去△CDE后得到双层△BDE（如图2），再沿着过△BDE某顶点的直线将双层三角形剪开，使得展开后的平面图形中有一个是平行四边形，则所得平行四边形的周长为_____cm．

十、计算题

16. 难度：中等

用适当的方法解下列方程：

（1）（x﹣3）（2x+5）=30              

（2）x²+4x+1=0．

十一、解答题

17. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（4，3）、B（1，4）、C（2，1）．

（1）将△ABC以原点为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A₁B₁C₁，再将△A₁B₁C₁向上平移3个单位，画出平移后对应的△A₂B₂C₂；

（2）若将△A₂B₂C₂绕某点P旋转可以得到△ABC，请直接写出点P的坐标　   　；

（3）在x轴上有一点F，使得FA+FB的值最小，请直接写出点F的坐标　   　．

18. 难度：中等

已知：如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm.点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.

（1）若P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后△PBQ的面积等于4cm²？

（2）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？

（3）在（1）中，△PBQ的面积能否等于7cm²? 请说明理由.

19. 难度：中等

为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌

粽子，每盒进价是40元，超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现：当售价定为每盒45元时，每天可卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．

（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价 （元）之间的函数关系式；（4分）

（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润 （元）最大？最大利润是多少？（6分）

20. 难度：中等

跳绳时,绳甩到最高处时的形状是抛物线．正在甩绳的甲．乙两名同学拿绳的手间距AB为6米,到地面的距离AO和BD均为0．9米,身高为1．4米的小丽站在距点O的水平距离为1米的点F处,绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E．以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系, 设此抛物线的解析式为y=ax²＋bx＋0．9．

（1）求该抛物线的解析式 ．

（2）如果小华站在OD之间,且离点O的距离为3米,当绳子甩到最高处时刚好通过他的头顶,小华的身高为                ;

（3）如果身高为1．4米的小丽站在OD之间,且离点O的距离为t米, 绳子甩到最高处时超过她的头顶,请结合图像,写出t的取值范围                   ．

21. 难度：中等

正方形ABCD的边长为6，E、F分别是AB、BC边上的点,且∠EDF=45°。将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．

（1）求证：EF=FM

（2）当AE=2时，求EF的长．

22. 难度：中等

阅读下面材料：

小伟遇到这样一个问题：如图1，在正三角形ABC内有一点P，且PA=3 ，PB=4，PC=5，求∠APB的度数.

小伟是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造△，连接，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决．

请你回答：图1中∠APB的度数等于　　   .

参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：

（1）如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=，PB=1，PD=，则∠APB的度数等于      ，正方形的边长为      ；

（2）如图4，在正六边形ABCDEF内有一点P，且PA=，PB=1，PF=，则∠APB的度数等于      ，正六边形的边长为      ．

23. 难度：困难

如图，抛物线y=﹣x²+bx+c与x轴交于A（4，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C，动点P在抛物线上．

（1）求抛物线的解析式；

（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．

（3）过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，请直接写出点P的坐标．