浙江省台州市2017-2018学年九年级9月起始考数学试卷

一、单选题

1. 难度：中等

下列电视台的台标是中心对称图形是（  ）

2. 难度：简单

下列方程是一元二次方程的是（   ）

A.     B.     C.     D.

3. 难度：中等

下列与函数图象形状不相同的函数是（      ）

A.     B.     C.     D.

4. 难度：简单

抛物线的顶点关于原点的对称点在（       ）

A. 第一象限    B. 第二象限    C. x 轴上    D. y 轴上

5. 难度：简单

把抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的解析式为（   ）

A.     B.     C.     D.

6. 难度：中等

用配方法解方程x²－2x－3＝0时，配方后所得的方程为（    ）

A.     B.     C.     D.

7. 难度：中等

某果园2014年水果产量为100吨，2016年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率。设该果园水果产量的年平均增长率为，则根据题意可列方程为（   ）

A.     B.     C.     D.

8. 难度：中等

若＞1，则关于的方程的根的情况是（    ）

A. 有一正根和一负根    B. 有两个正根    C. 有两个负根    D. 没有实数根

9. 难度：中等

如图，在△ABC中，∠CAB=70°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB,则∠BAB′的度数是（     ）

A. 70°    B. 35°    C. 40°    D. 90°

10. 难度：中等

如图，已知二次函数（b为常数），当取不同值时，其图象构成一个“抛物线系”，图中的实线型抛物线分别是取三个不同值时二次函数的图像，它们的顶点在一条抛物线上（图中虚线型抛物线），这条抛物线的解析式是（     ）

A.     B.     C. D .

二、填空题

11. 难度：中等

已知，当_______时，函数值随x的增大而减小.

12. 难度：中等

若则___.

13. 难度：中等

关于的一元二次方程有实数根，则整数的最大值是__.

14. 难度：中等

已知二次函数的部分图象如图所示，则一元二次方程的解为：_____.

15. 难度：简单

如图， 是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转60°得到线段,连接.若,则四边形的面积为____.

16. 难度：中等

已知抛物线p： 的顶点为C，与x轴相交于A、B两点（点A在点B左侧），点C关于x轴的对称点为C′，我们称以A为顶点且过点C′，对称轴与y轴平行的抛物线为抛物线p的“梦之星”抛物线，直线AC′为抛物线p的“梦之星”直线．若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是和y＝2x＋2，则这条抛物线的解析式为____________________.

三、解答题

17. 难度：中等

解方程：（1）  （2）

四、填空题

18. 难度：简单

已知m是方程x-x-2=0的一个实数根，求代数式（m-m）（m-+1）的值.

五、解答题

19. 难度：中等

一个两位数，其个位上的数与十位上的数的和等于6，而个位与十位上的数的积等于这两位数的三分之一，求这个两位数.

20. 难度：中等

关于x的方程，

（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根；

（2）设 是该方程的两个根，记,S的值能为2吗？若能求出此时k的值.

21. 难度：困难

如图1，已知：已知：等边△ABC，点D是边BC上一点（点D不与点B、点C重合），求证：BD+DC＞AD．

下面的证法供你参考：

把△ACD绕点A顺时针旋转60°得到△ABE，连接ED，则有△ACD≌△ABE，DC=EB，∵AD=AE，∠DAE=60°，

∴△ADE是等边三角形，∴AD=DE．在△DBE中，BD+EB＞DE，即：BD+DC＞AD

实践探索：

（1）请你仿照上面的思路，探索解决下面的问题：

如图3，点D是等腰直角三角形△ABC边上的点（点D不与B、C重合）．求证：BD+DC＞AD．

（2）如果点D运动到等腰直角三角形△ABC外或内时，BD、DC和AD之间又存在怎样的数量关系？直接写出结论．

创新应用：

（3）已知：如图4，等腰△ABC中，AB=AC，且∠BAC=α（α为钝角），D是等腰△ABC外一点，且∠BDC+∠BAC=180°，BD、DC与AD之间存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明．

22. 难度：困难

已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴的交点分别为A、B两点，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C.

（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；

（2）若（1）中抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；

（3）若把（1）中的抛物线向左平移3.5个单位，则图象与x轴交于F、N（点F在点N的左侧）两点，交y轴于E点，则在此抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使点Q到E、N两点的距离之差最大？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．