1. 难度:中等 | |
如图,点C、D在线段AB上,△PCD是等边三角形. (1)当AC、CD、DB满足怎样的关系时,△ACP∽△PDB; (2)当△ACP∽△PDB时,求∠APB的度数. |
2. 难度:中等 | |
已知A、D是一段圆弧上的两点,且在直线l的同侧,分别过这两点作l的垂线,垂足为B、C,E是BC上一动点,连接AD、AE、DE,且∠AED=90度. (1)如图①,如果AB=6,BC=16,且BE:CE=1:3,求AD的长; (2)如图②,若点E恰为这段圆弧的圆心,则线段AB、BC、CD之间有怎样的等量关系?请写出你的结论并予以证明.再探究:当A、D分别在直线l两侧且AB≠CD,而其余条件不变时,线段AB、BC、CD之间又有怎样的等量关系?请直接写出结论,不必证明. |
3. 难度:中等 | |
如图,在△ABC中,∠C=90°,在AB边上取一点D,使BD=BC,过D作DE⊥AB交AC于E,AC=8,BC=6.求DE的长. |
4. 难度:中等 | |
(1)把两个含有45°角的直角三角板如图1放置,点D在BC上,连接BE,AD,AD的延长线交BE于点F.求证:AF⊥BE. (2)把两个含有30°角的直角三角板如图2放置,点D在BC上,连接BE,AD,AD的延长线交BE于点F.问AF与BE是否垂直?并说明理由. |
5. 难度:中等 | |
如图,已知△ABC,∠ACB=90°,AC=BC,点E、F在AB上,∠ECF=45°. (1)求证:△ACF∽△BEC; (2)设△ABC的面积为S,求证:AF•BE=2S; (3)试判断以线段AE、EF、FB为边的三角形的形状并给出证明. |
6. 难度:中等 | |
如图,△ABC中,D、E分别是边BC、AB的中点,AD、CE相交于G. 求证:. |
7. 难度:中等 | |
如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,∠ABC与∠ADC互补. (1)求∠C的度数; (2)若BC>CD且AB=AD,请在图上画出一条线段,把四边形ABCD分成两部分,使得这两部分能够重新拼成一个正方形,并说明理由; (3)若CD=6,BC=8,S四边形ABCD=49,求AB的值. |
8. 难度:中等 | |
如图,在菱形ABCD中,点E在CD上,连接AE并延长与BC的延长线交于点F. (1)写出图中所有的相似三角形(不需证明); (2)若菱形ABCD的边长为6,DE:AB=3:5,试求CF的长. |
9. 难度:中等 | |
如图,在平行四边形ABCD中,AE⊥BC于E,AF⊥CD于F,BD与AE、AF分别相交于G、H. (1)求证:△ABE∽△ADF; (2)若AG=AH,求证:四边形ABCD是菱形. |
10. 难度:中等 | |
如图1,在△ABC中,AB=BC=5,AC=6.△ECD是△ABC沿BC方向平移得到的,连接AE.AC和BE相交于点O. (1)判断四边形ABCE是怎样的四边形,说明理由; (2)如图2,P是线段BC上一动点(图2),(不与点B、C重合),连接PO并延长交线段AB于点Q,QR⊥BD,垂足为点R. ①四边形PQED的面积是否随点P的运动而发生变化?若变化,请说明理由;若不变,求出四边形PQED的面积; ②当线段BP的长为何值时,△PQR与△BOC相似. |
11. 难度:中等 | |
(根据课本习题改编)如图1,在△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,四边形DEFG为△ABC的内接正方形,若设正方形的边长为x,容易算出x的长为. 探究与计算: (1)如图2,若三角形内有并排的两个全等的正方形,它们组成的矩形内接于△ABC,则正方形的边长为______; (2)如图3,若三角形内有并排的三个全等的正方形,它们组成的矩形内接于△ABC,则正方形的边长为______; (3)如图4,若三角形内有并排的n个全等的正方形,它们组成的矩形内接于△ABC,请你猜想正方形的边长是多少?并对你的猜想进行证明. |
12. 难度:中等 | |
如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=10,直角尺的直角顶点P在AD上滑动时(点P与A,D不重合),一直角边经过点C,另一直角边AB交于点E,我们知道,结论“Rt△AEP∽Rt△DPC”成立. (1)当∠CPD=30°时,求AE的长; (2)是否存在这样的点P,使△DPC的周长等于△AEP周长的2倍?若存在,求出DP的长;若不存在,请说明理由. |
13. 难度:中等 | |
如图①,四边形ABCD是正方形,点G是BC上任意一点,DE⊥AG于点E,BF⊥AG于点F. (1)求证:DE-BF=EF; (2)当点G为BC边中点时,试探究线段EF与GF之间的数量关系,并说明理由; (3)若点G为CB延长线上一点,其余条件不变.请你在图②中画出图形,写出此时DE、BF、EF之间的数量关系(不需要证明). |
14. 难度:中等 | |
如图1,四边形ABCD是正方形,G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合),以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG,连接BG,DE.我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系: (1)①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系; ②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度α,得到如图2,如图3情形.请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断; (2)将原题中正方形改为矩形(如图4-6),且AB=a,BC=b,CE=ka,CG=kb(a≠b,k>0),第(1)题①中得到的结论哪些成立,哪些不成立?若成立,以图5为例简要说明理由; (3)在第(2)题图5中,连接DG、BE,且a=3,b=2,k=,求BE2+DG2的值. |
15. 难度:中等 | |
如图,在边长为4的正方形ABCD中,点P在AB上从A向B运动,连接DP交AC于点Q. (1)试证明:无论点P运动到AB上何处时,都有△ADQ≌△ABQ; (2)当点P在AB上运动到什么位置时,△ADQ的面积是正方形ABCD面积的; (3)若点P从点A运动到点B,再继续在BC上运动到点C,在整个运动过程中,当点P运动到什么位置时,△ADQ恰为等腰三角形. |
16. 难度:中等 | |
如图:四边形ABCD中,E、F、G、H分别为各边的中点,顺次连接E、F、G、H,把四边形EFGH称为中点四边形.连接AC、BD,容易证明:中点四边形EFGH一定是平行四边形. (1)如果改变原四边形ABCD的形状,那么中点四边形的形状也随之改变,通过探索可以发现:当四边形ABCD的对角线满足AC=BD时,四边形EFGH为菱形. 当四边形ABCD的对角线满足______时,四边形EFGH为矩形; 当四边形ABCD的对角线满足______时,四边形EFGH为正方形; (2)探索三角形AEH、三角形CFG与四边形ABCD的面积之间的等量关系,请写出你发现的结论,并加以证明; (3)如果四边形ABCD的面积为2,那么中点四边形EFGH的面积是多少? |
17. 难度:中等 | |
如图,矩形ABCD中,AD=3厘米,AB=a厘米(a>3).动点M,N同时从B点出发,分别沿B⇒A,B⇒C运动,速度是1厘米/秒.过M作直线垂直于AB,分别交AN,CD于P,Q.当点N到达终点C时,点M也随之停止运动.设运动时间为t秒. (1)若a=4厘米,t=1秒,则PM=______厘米; (2)若a=5厘米,求时间t,使△PNB∽△PAD,并求出它们的相似比; (3)若在运动过程中,存在某时刻使梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等,求a的取值范围; (4)是否存在这样的矩形:在运动过程中,存在某时刻使梯形PMBN,梯形PQDA,梯形PQCN的面积都相等?若存在,求a的值;若不存在,请说明理由. |
18. 难度:中等 | |
如图,梯形ABCD中.AB∥CD.且AB=2CD,E,F分别是AB,BC的中点.EF与BD相交于点M. (1)求证:△EDM∽△FBM; (2)若DB=9,求BM. |
19. 难度:中等 | |
如图,梯形ABCD中,AB∥DC,∠B=90°,E为BC上一点,且AE⊥ED.若BC=12,DC=7,BE:EC=1:2,求AB的长. |
20. 难度:中等 | |
如图,梯形ABCD中,AB∥CD,∠ABC=90°,AB=8,CD=6,BC=4,AB边上有一动点P(不与A、B重合),连接DP,作PQ⊥DP,使得PQ交射线BC于点E,设AP=x. (1)当x为何值时,△APD是等腰三角形; (2)若设BE=y,求y关于x的函数关系式; (3)若BC的长可以变化,是否存在点P,使得PQ经过点C?若不存在,请说明理由,若存在并直接写出当BC的长在什么范围内时,可以存在这样的点P,使得PQ经过点C. |
21. 难度:中等 | |
如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC=5,AD=6,BC=12.动点P从D点出发沿DC以每秒1个单位的速度向终点C运动,动点Q从C点出发沿CB以每秒2个单位的速度向B点运动.两点同时出发,当P点到达C点时,Q点随之停止运动. (1)梯形ABCD的面积等于______; (2)当PQ∥AB时,P点离开D点的时间等于______秒; (3)当P,Q,C三点构成直角三角形时,P点离开D点多少时间? |
22. 难度:中等 | |
如图所示,在平面直角坐标中,四边形OABC是等腰梯形,CB∥OA,OA=7,AB=4,∠COA=60°,点P为x轴上的一个动点,点P不与点0、点A重合.连接CP,过点P作PD交AB于点D. (1)求点B的坐标; (2)当点P运动什么位置时,△OCP为等腰三角形,求这时点P的坐标; (3)当点P运动什么位置时,使得∠CPD=∠OAB,且,求这时点P的坐标. |
23. 难度:中等 | |
如图,等腰梯形ABCD,AD∥BC,AD=3cm,BC=7cm,∠B=60°,P为下底BC上一点(不与B、C重合),连接AP,过P作∠APE=∠B,交DC于E. (1)求证:△ABP∽△PCE; (2)求等腰梯形的腰AB的长; (3)在底边BC上是否存在一点P,使得DE:EC=5:3?如果存在,求BP的长;如果不存在,请说明理由. |
24. 难度:中等 | |
如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=∠ACD. (1)请再写出图中另外一对相等的角; (2)若AC=6,BC=9,试求梯形ABCD的中位线的长度. |
25. 难度:中等 | |
已知Rt△ABC中,∠B=90°. (1)根据要求作图(尺规作图,保留作图痕迹,不写画法). ①作∠BAC的平分线AD交BC于D; ②作线段AD的垂直平分线交AB于E,交AC于F,垂足为H; ③连接ED. (2)在(1)的基础上写出一对相似比不为1的相似三角形和一对全等三角形: △______∽△______;△______≌△______. 并选择其中一对加以证明. |
26. 难度:中等 | |
(1)如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=b,CD=a,E为AD边上的任意一点,EF∥AB,且EF交BC于点F,某学生在研究这一问题时,发现如下事实: ①当时,有; ②当时,有; ③当时,有. 当时,参照上述研究结论,请你猜想用k表示EF的一般结论,并给出证明; (2)现有一块直角梯形田地ABCD(如图所示),其中AB∥CD,AD⊥AB,AB=310米,DC=170米,AD=70米.若要将这块地分割成两块,由两农户来承包,要求这两块地均为直角梯形,且它们的面积相等.请你给出具体分割方案. |
27. 难度:中等 | |
如图,把一张标准纸一次又一次对开,得到“2开”纸,“4开”纸,“8开”纸,“16开”纸….已知标准纸的短边长为a. (1)如图2,把这张标准纸对开得到的“16开”张纸按如下步骤折叠: 第一步:将矩形的短边AB与长边AD对齐折叠,点B落在AD上的点B'处,铺平后得折痕AE; 第二步:将长边AD与折痕AE对齐折叠,点D正好与点E重合,铺平后得折痕AF. 则AD:AB的值是______ |