| 1. 难度：中等 | |
宽与长之比为 ：1的矩形叫黄金矩形，黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调，匀称的美感，如图，如果在一个黄金矩形里画一个正方形，那么留下的矩形还是黄金矩形吗？请证明你的结论．
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| 2. 难度：中等 | |
如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BOC=108°，过点C作直线CD分别交直线AB和⊙O于点D、E，连接OE，DE= AB，OD=2．（1）求∠CDB的度数； （2）我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比（或者底边长与腰长的比）等于黄金分割比  ．①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由； ②求弦CE的长； ③在直线AB或CD上是否存在点P（点C、D除外），使△POE是黄金三角形？若存在，画出点P，简要说明画出点P的方法（不要求证明）；若不存在，说明理由． 
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| 3. 难度：中等 | |
若一个矩形的短边与长边的比值为 （黄金分割数），我们把这样的矩形叫做黄金矩形．（1）操作：请你在如图所示的黄金矩形ABCD（AB＞AD）中，以短边AD为一边作正方形AEFD； （2）探究：在（1）中的四边形EBCF是不是黄金矩形？若是，请予以证明；若不是，请说明理由； （3）归纳：通过上述操作及探究，请概括出具有一般性的结论（不需要证明）． 
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| 4. 难度：中等 | |
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如图，已知△ABC中，D是AC边上一点，∠A=36°，∠C=72°，∠ADB=108°． 求证： （1）AD=BD=BC； （2）点D是线段AC的黄金分割点． 
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| 5. 难度：中等 | |
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已知：线段OA⊥OB，点C为OB中点，D为线段OA上一点．连接AC，BD交于点P． （1）如图1，当OA=OB，且D为OA中点时，求  的值；（2）如图2，当OA=OB，且  时，求tan∠BPC的值．（3）如图3，当AD：AO：OB=1：n：  时，直接写出tan∠BPC的值． |
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| 6. 难度：中等 | |
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如图1，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，点E在AC上，BE交CD于点G，EF⊥BE交AB于点F，若AC=mBC，CE=kEA，探索线段EF与EG的数量关系，并证明你的结论． 说明：如果你反复探索没有解决问题，可以选取（1）或（2）中的条件，选（1）中的条件完成解答满分为7分；选（2）中的条件完成解答满分为5分． （1）m=1（如图2） （2）m=1，k=1（如图3） 
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| 7. 难度：中等 | |
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已知：如图，在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于D，过B作BE∥CD交AC的延长线于点E． （1）求证：BC=CE； （2）求证：  ．
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| 8. 难度：中等 | |
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如图，在△ABC中，AB=AC，BE平分∠ABC，DE∥BC． 求证：DE=EC． 
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