第1章《一元二次方程》常考题集（19）：1.3 一元二次方程的应用（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

据报道，我省农作物秸杆的资源巨大，但合理利用量十分有限，2006年的利用率只有30%，大部分秸杆被直接焚烧了，假定我省每年产出的农作物秸杆总量不变，且合理利用量的增长率相同，要使2008年的利用率提高到60%，求每年的增长率．（取≈1.41）

2. 难度：中等

机械加工需要用油进行润滑以减少摩擦，某企业加工一台大型机械设备润滑用油90千克，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台大型机械设备的实际耗油量为36千克．为了建设节约型社会，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际耗油量进行攻关．
（1）甲车间通过技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量下降到70千克，用油的重复利用率仍然为60%．问甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗油量是多少千克？
（2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新的基础上，润滑用油量每减少1千克，用油量的重复利用率将增加1.6%．这样乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到12千克．问乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？

3. 难度：中等

将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．
（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm²，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？
（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm²吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．

4. 难度：中等

云南省是我国花卉产业大省，一年四季都有大量鲜花销往全国各地，花卉产业已成为我省许多地区经济发展的重要项目．近年来某乡的花卉产值不断增加，2003年花卉的产值是640万元，2005年产值达到1000万元．
（1）求2004年、2005年花卉产值的年平均增长率是多少？
（2）若2006年花卉产值继续稳步增长（即年增长率与前两年的年增长率相同），那么请你估计2006年这个乡的花卉产值将达到多少万元？

5. 难度：中等

商场某种新商品每件进价是120元，在试销期间发现，当每件商品售价为130元时，每天可销售70件，当每件商品售价高于130元时，每涨价1元，日销售量就减少1件．据此规律，请回答：
（1）当每件商品售价定为170元时，每天可销售多少件商品商场获得的日盈利是多少？
（2）在上述条件不变，商品销售正常的情况下，每件商品的销售价定为多少元时，商场日盈利可达到1600元？（提示：盈利=售价-进价）

6. 难度：中等

某工程队在我市实施棚户区改造过程中承包了一项拆迁工程．原计划每天拆迁1250m²，因为准备工作不足，第一天少拆迁了20%．从第二天开始，该工程队加快了拆迁速度，第三天拆迁了1440m²．求：
（1）该工程队第一天拆迁的面积；
（2）若该工程队第二天、第三天每天的拆迁面积比前一天增加的百分数相同，求这个百分数．

7. 难度：中等

某商店从厂家以每件18元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．据市场调查，该商品的售价与销售量的关系是：若每件售价a元，则可卖出（320-10a）件，但物价部门限定每件商品加价不能超过进货价的25%．如果商店计划要获利400元，则每件商品的售价应定为多少元？需要卖出这种商品多少件？
（每件商品的利润=售价-进货价）

8. 难度：中等

从社会效益和经济效益出发，某地制定了三年规划，投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，第一年度投入资金800万元，第二年度比第一年度减少，第三年度比第二年度减少．第一年度当地旅游业收入估计为400万元，要使三年内的投入资金与旅游业总收入持平，则旅游业收入的年平均增长率应是多少？（以下数据供选用：≈1.414，≈3.606，计算结果精确到百分位）

9. 难度：中等

如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m²，求道路的宽．
（部分参考数据：32²=1024，52²=2704，48²=2304）

10. 难度：中等

春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如下收费标准：
某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27 000元．请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？

11. 难度：中等

顾客李某于今年“五•一”期间到电器商场购买空调，与营业员有如下的一段对话：
顾客李某：A品牌的空调去年“国庆”期间价格还挺高，这次便宜多了，一次降价幅度就达到19%，是不是质量有问题
营业员：不是一次降价，这是第二次降价，今年春节期间已经降了一次价，两次降价的幅度相同．我们所销售的空调质量都是很好的，尤其是A品牌系列空调的质量是一流的．
顾客李某：我们单位的同事也想买A品牌的空调，有优惠政策吗？
营业员：有，请看《购买A品牌系列空调的优惠办法》．

购买A品牌系列空调的优惠办法：
方案一：各种型号的空调每台价格优惠5%，送货上门，负责安装，每台空调另加运输费和安装费共90元．
方案二：各种型号的空调每台价格优惠2%，送货上门，负责安装，免运输费和安装费．

根据以上对话和A品牌系列空调销售的优惠办法，请你回答下列问题：
（1）求A品牌系列空调平均每次降价的百分率？
（2）请你为顾客李某决策，选择哪种优惠更合算，并说明为什么？

12. 难度：中等

某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证每天盈利6 000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？

13. 难度：中等

如图是一个正方体的展开图，标注了字母A的面是正方体的正面，如果正方体的左面与右面所标注代数式的值相等，求x的值．

14. 难度：中等

今年，我国政府为减轻农民负担，决定在5年内免去农业税．某乡今年人均上缴农业税25元，若两年后人均上缴农业税为16元，假设这两年降低的百分率相同．
（1）求降低的百分率；
（2）若小红家有4人，明年小红家减少多少农业税？
（3）小红所在的乡约有16000农民，问该乡农民明年减少多少农业税？

15. 难度：中等

美化城市，改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容．某市区近几年来，通过拆迁旧房，植草，栽树，修建公园等措施，使城区绿地面积不断增加．
（1）根据图中所提供的信息，回答下列问题：2006年底的绿地面积为______公顷，比2005年底增加了______公顷；在2004年，2005年，2006年这三年中，绿地面积增加最多的是______年；
（2）为满足城市发展的需要，计划到2008年底使城区绿地总面积达到72.6公顷，试求2008年底绿地面积对2006年底的增长率．

16. 难度：中等

黄冈百货商店服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六•一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件．要想平均每天销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装因应降价多少元？

17. 难度：中等

在一块长16m、宽12m的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园所占面积为荒地面积的一半，下面分别是小明和小颖的设计方案．

小明说：我的设计方案如图1，其中花园四周小路的宽度相等．通过解方程，我得到小路的宽为2m或12m．
小颖说：我的设计方案如图2，其中花园中每个角上的扇形相同．
（1）你认为小明的结果对吗？请说明理由．
（2）请你帮助小颖求出图中的x（精确到0.1m）．
（3）你还有其他的设计方案吗？请在下边的矩形中画出你的设计草图，并加以说明．

18. 难度：中等

有一面积为150m²的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18 m），另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆的总长为35 m，求鸡场的长与宽各为多少？

19. 难度：中等

如图，某小区在宽20m，长32m的矩形地面上修筑同样宽的人行道（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m²，求道路的宽．

20. 难度：中等

某商场经销一种成本为每千克40元的水产品，经市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题．
（1）当销售单价定为每千克55元，计算月销售量和月销售利润；
（2）商场计划在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？

21. 难度：中等

某商店将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可售出200件，现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高0.5元其销售量就减少10件，问应将每件售价定为多少元时，才能使每天利润为640元？

22. 难度：中等

某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10%，5月份的营业额达到633.6万元．求3月份到5月份营业额的月平均增长率．

23. 难度：中等

图形的操作过程：
在图①中，将线段A₁A₂向右平移1个单位到B₁B₂，得到封闭图形A₁A₂B₂B₁（即阴影部分）；
在图②中，将折线A₁A₂A₃向右平移1个单位到B₁B₂B₃，得到封闭图形A₁A₂A₃B₃B₂B₁（即阴影部分）．
（1）在图③中，请你类似地画一条有两个折点的折线，同样向右平移1个单位，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影；
（2）请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积：
S₁=______，S₂=______，S₃=______．
（3）联想与探索：
如图④在一块矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少并说明你的猜想是正确的．

24. 难度：中等

某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元，已知两次降价的百分率相同．求每次降价的百分率．

25. 难度：中等

某住宅小区在住宅建设时留下一块1798平方米的空地，准备建一个矩形的露天游泳池，设计如图所示，游泳池的长是宽的2倍，在游泳池的前侧留一块5米宽的空地，其它三侧各保留2米宽的道路及1米宽的绿化带
（1）请你计算出游泳池的长和宽；
（2）若游泳池深3米，现要把池底和池壁（共5个面）都贴上瓷砖，请你计算要贴瓷砖的总面积．

26. 难度：中等

某商场销售一批衬衫，进货价为每件40元，按每件50元出售，一个月内可售出500件．已知这种衬衫每件涨价1元，其销售量要减少10件．为在月内赚取8000元的利润，同时又要使顾客得到实惠．售价应定为每件多少元？

27. 难度：中等

新华商场为迎接家电下乡活动销售某种冰箱，每台进价为2500元，市场调研表明；当销售价定为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元？

28. 难度：中等

某地有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？

29. 难度：中等

一个小球以10m/s的速度在平坦地面上开始滚动，并且均匀减速，滚动20m后小球停下来．
（1）小球滚动了多少时间？
（2）平均每秒小球的运动速度减少多少？
（3）小球滚动到5m时约用了多少时间（精确到0.1s）？