第25章《解直角三角形》中考题集（20）：25.3 解直角三角形（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

在一次夏令营活动中，小亮从位于A点的营地出发，沿北偏东60°方向走了5km到达B地，然后再沿北偏西30°方向走了若干千米到达C地，测得A地在C地南偏西30°方向，则A、C两地的距离为（ ）

A．km
B．km
C．km
D．km

2. 难度：中等

一艘轮船从港口O出发，以15海里/时的速度沿北偏东60°的方向航行4小时后到达A处，此时观测到其正西方向50海里处有一座小岛B．若以港口O为坐标原点，正东方向为x轴的正方向，正北方向为y轴的正方向，1海里为1个单位长度建立平面直角坐标系（如图），则小岛B所在位置的坐标是（ ）

A．（30-50，30）
B．（30，30-50）
C．（30，30）
D．（30，30）

3. 难度：中等

如图，小雅家（图中点O处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点A处）在她家北偏东60度500m处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是（ ）

A．250m
B．250m
C．m
D．250m

4. 难度：中等

如图，为了测量河两岸A，B两点的距离，在与AB垂直的方向上取点C，测得AC=a，∠ACB=a，那么AB等于（ ）

A．a•sinα
B．a•cosα
C．a•tanα
D．a•cotα

5. 难度：中等

如图，为了测量河的宽度，王芳同学在河岸边相距200m的M和N两点分别测定对岸一棵树P的位置，P在M的正北方向，在N的北偏西30°的方向，则河的宽度是（ ）

A．200m
B．m
C．m
D．100m

6. 难度：中等

如图，客轮在海上以30km/h的速度由B向C航行，在B处测得灯塔A的方位角为北偏东80°，测得C处的方位角为南偏东25°，航行1小时后到达C处，在C处测得A的方位角为北偏东20°，则C到A的距离是（ ）

A．15km
B．15km
C．15（+）km
D．5（+3）km

7. 难度：中等

王英同学从A地沿北偏西60°方向走100m到B地，再从B地向正南方向走200m到C地，此时王英同学离A地（ ）

A．m
B．100m
C．150m
D．m

8. 难度：中等

如图，为了测量两岸A、B两点的距离，在河的一岸与AB垂直的方向上取一点C，测得AC=b，∠ACB=а，那么AB等于（ ）

A．b•tanа
B．b•cotа
C．b•sinа
D．b•cosа

9. 难度：中等

如图，为了确定一条小河的宽度BC，可在点C左侧的岸边选择一点A，使得AC⊥BC，若测得AC=a，∠CAB=θ，则BC=（ ）

A．asinθ
B．acosθ
C．atanθ
D．acotθ

二、填空题

10. 难度：中等

如图，等腰三角形ABC的顶角为120°，腰长为10，则底边上的高AD=    ．

11. 难度：中等

如图，△ABC是一个边长为2的等边三角形，AD⊥BC，垂足为点D．过点D作DD₁⊥AB，垂足为点D₁；再过点D₁作D₁D₂⊥AD，垂足为点D₂；又过点D₂作D₂D₃⊥AB，垂足为点D₃；…；这样一直作下去，得到一组线段：DD₁，D₁D₂，D₂D₃，…，则线段D_n-1D_n的长为    （n为正整数）．

12. 难度：中等

如图所示，已知：点A（0，0），B（，0），C（0，1）在△ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA₁B₁，第2个△B₁A₂B₂，第3个△B₂A₃B₃，…，则第n个等边三角形的边长等于    ．

13. 难度：中等

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AM是BC边上的中线，，则tan∠B的值为    ．

14. 难度：中等

如图，在△ABC中，∠B=45°，cos∠C=，AC=5a，则△ABC的面积用含a的式子表示是    ．

15. 难度：中等

将一幅三角尺如图所示叠放在一起，若AB=14cm，则阴影部分的面积是    cm²．

16. 难度：中等

如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD=4，cosB=，则AC=    ．

17. 难度：中等

在△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，sinA=，则AB的长是    cm．

18. 难度：中等

如图，△ABC中，∠C=90°，AB=8，cosA=，则AC的长是    ．

19. 难度：中等

如图，在△ABC中，AB=AC，如果tanB=，那么sin=    ．

20. 难度：中等

如图，∠AOB=30°，过OA上到点O的距离为1，3，5，7，…的点作OA的垂线，分别与OB相交，得到如图所示的阴影梯形，它们的面积依次记为S₁，S₂，S₃，…．则：
（1）S₁=    ；
（2）通过计算可得S₂₀₀₉=    ．

21. 难度：中等

“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为4，大正方形的面积为100，直角三角形中较小的锐角为α，则tanα的值等于    ．

22. 难度：中等

如图，四边形ABCD中，∠ABC=120°，AB⊥AD，BC⊥CD，AB=4，CD=5，则该四边形的面积是    ．

23. 难度：中等

如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=2，D为AB的中点，DE⊥AB交AC于点E，连接BE，则△ABE的面积等于    ．

24. 难度：中等

如图，△ABC是等边三角形，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若BC=2，则DE+DF=    ．

25. 难度：中等

将直角边长为5cm的等腰直角△ABC绕点A逆时针旋转15°后，得到△AB′C′，则图中阴影部分的面积是    cm²．

26. 难度：中等

如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AD是∠CAB的平分线，tanB=，则CD：DB=    ．

27. 难度：中等

已知△ABC中，∠C=90°，3cosB=2，AC=2，则AB=    ．

28. 难度：中等

如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，若sin∠DBC=，则BC的长是    cm．

29. 难度：中等

如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，sinA=，则BC的长为    cm．

30. 难度：中等

如图，将一块斜边长为12cm，∠B=60°的直角三角板ABC，绕点C沿逆时针方向旋转90°至△A′B′C′的位置，再沿CB向右平移，使点B′刚好落在斜边AB上，那么此三角板向右平移的距离是    cm．