1. 难度:中等 | |
如图1,抛物线y=ax2-3ax+b经过A(-1,0),C(3,2)两点,与y轴交于点D,与x轴交于另一点B. (1)求此抛物线的解析式; (2)若直线y=kx-1(k≠0)将四边形ABCD面积二等分,求k的值; (3)如图2,过点E(1,-1)作EF⊥x轴于点F,将△AEF绕平面内某点旋转180°后得△MNQ(点M,N,Q分别与点A,E,F对应),使点M,N在抛物线上,求点M,N的坐标. |
2. 难度:中等 | |
已知抛物线y=ax2-2x+c与它的对称轴相交于点A(1,-4),与y轴交于C,与x轴正半轴交于B. (1)求这条抛物线的函数关系式; (2)设直线AC交x轴于D,P是线段AD上一动点(P点异于A,D),过P作PE∥x轴交直线AB于E,过E作EF⊥x轴于F,求当四边形OPEF的面积等于时点P的坐标. |
3. 难度:中等 | |
如图,在平面直角坐标系中,以点C(1,1)为圆心,2为半径作圆,交x轴于A,B两点,开口向下的抛物线经过点A,B,且其顶点P在⊙C上. (1)求∠ACB的大小; (2)写出A,B两点的坐标; (3)试确定此抛物线的解析式; (4)在该抛物线上是否存在一点D,使线段OP与CD互相平分?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由. |
4. 难度:中等 | |
两个直角边为6的全等的等腰直角三角形Rt△AOB和Rt△CED,按如图一所示的位置放置,点O与E重合. (1)Rt△AOB固定不动,Rt△CED沿x轴以每秒2个单位长度的速度向右运动,当点E运动到与点B重合时停止,设运动x秒后,Rt△AOB和Rt△CED的重叠部分面积为y,求y与x之间的函数关系式; (2)当Rt△CED以(1)中的速度和方向运动,运动时间x=2秒时,Rt△CED运动到如图二所示的位置,若抛物线y=x2+bx+c过点A,G,求抛物线的解析式; (3)现有一动点P在(2)中的抛物线上运动,试问点P在运动过程中是否存在点P到x轴或y轴的距离为2的情况?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. |
5. 难度:中等 | |
如图,圆B切y轴于原点O,过定点A(-,0)作圆B的切线交圆于点P,已知tan∠PAB=,抛物线C经过A,P两点. (1)求圆B的半径. (2)若抛物线C经过点B,求其解析式. (3)设抛物线C交y轴于点M,若三角形APM为直角三角形,求点M的坐标. |
6. 难度:中等 | |
如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=7,CD=1,AD=BC=5.点M,N分别在边AD,BC上运动,并保持MN∥AB,ME⊥AB,NF⊥AB,垂足分别为E,F. (1)求梯形ABCD的面积; (2)求四边形MEFN面积的最大值; (3)试判断四边形MEFN能否为正方形?若能,求出正方形MEFN的面积;若不能,请说明理由. |
7. 难度:中等 | |
如图,在平面直角坐标系中,抛物线经过A(-1,0),B(4,0),C(0,-4),⊙M是△ABC的外接圆,M为圆心. (1)求抛物线的解析式; (2)求阴影部分的面积; (3)在x轴的正半轴上有一点P,作PQ⊥x轴交BC于Q,设PQ=k,△CPQ的面积为S,求S关于k的函数关系式,并求出S的最大值. |
8. 难度:中等 | |
已知二次函数y1=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过三点(1,0),(-3,0),(0,-). (1)求二次函数的解析式,并在给定的直角坐标系中作出这个函数的图象; (2)若反比例函数y2=(x>0)的图象与二次函数y1=ax2+bx+c(a≠0)的图象在第一象限内交于点A(x,y),x落在两个相邻的正整数之间,请你观察图象,写出这两个相邻的正整数; (3)若反比例函数y2=(x>0,k>0)的图象与二次函数y1=ax2+bx+c(a≠0)的图象在第一象限内的交点A,点A的横坐标x满足2<x<3,试求实数k的取值范围. |
9. 难度:中等 | |
如图,在矩形ABCD中,AB=9,AD=3,点P是边BC上的动点(点P不与点B,点C重合),过点P作直线PQ∥BD,交CD边于Q点,再把△PQC沿着动直线PQ对折,点C的对应点是R点,设CP的长度为x,△PQR与矩形ABCD重叠部分的面积为y. (1)求∠CQP的度数; (2)当x取何值时,点R落在矩形ABCD的AB边上; (3)①求y与x之间的函数关系式; ②当x取何值时,重叠部分的面积等于矩形面积的. |
10. 难度:中等 | |
在平面直角坐标系中,矩形OABC的边OA在x轴的负半轴上,边OC在y轴的正半轴上,且OA=1,OC=2.将矩形OABC绕点O顺时针旋转90°,得到矩形DEFG(如图1). (1)若抛物线y=-x2+bx+c经过点B和F,求此抛物线的解析式; (2)将矩形DEFG以每秒1个单位长度的速度沿x轴负方向平移,平移t秒时,所成图形如图2所示. ①图2中,在0<t<1的条件下,连接BF,BF与(1)中所求抛物线的对称轴交于点Q,设矩形DEFG与矩形OABC重合部分的面积为S1,△AQF的面积为S2,试判断S1+S2的值是否发生变化?如果不变,求出其值; ②在0<t<3的条件下,P是x轴上一点,请你探究:是否存在t值,使以PB为斜边的Rt△PFB与Rt△AOC相似?若存在,直接写出满足条件t的值及点P的坐标;若不存在,请说明理由(利用图3分析探索). |
11. 难度:中等 | |
如图,抛物线y=a(x+1)(x-5)与x轴的交点为M,N.直线y=kx+b与x轴交于P(-2,0),与y轴交于C.若A,B两点在直线y=kx+b上,且AO=BO=,AO⊥BO.D为线段MN的中点,OH为Rt△OPC斜边上的高. (1)OH的长度等于______;k=______,b=______; (2)是否存在实数a,使得抛物线y=a(x+1)(x-5)上有一点E,满足以D,N,E为顶点的三角形与△AOB相似?若不存在,说明理由;若存在,求所有符合条件的抛物线的解析式,同时探索所求得的抛物线上是否还有符合条件的E点(简要说明理由);并进一步探索对符合条件的每一个E点,直线NE与直线AB的交点G是否总满足PB•PG<10,写出探索过程. |
12. 难度:中等 | |
已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,其中点B在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上,线段OB、OC的长(OB<OC)是方程x2-10x+16=0的两个根,且抛物线的对称轴是直线x=-2. (1)求A、B、C三点的坐标; (2)求此抛物线的表达式; (3)连接AC、BC,若点E是线段AB上的一个动点(与点A、点B不重合),过点E作EF∥AC交BC于点F,连接CE,设AE的长为m,△CEF的面积为S,求S与m之间的函数关系式,并写出自变量m的取值范围; (4)在(3)的基础上试说明S是否存在最大值?若存在,请求出S的最大值,并求出此时点E的坐标,判断此时△BCE的形状;若不存在,请说明理由. |
13. 难度:中等 | |
已知抛物线y=-ax2+2ax+b与x轴的一个交点为A(-1,0),与y轴的正半轴交于点C. (1)直接写出抛物线的对称轴,及抛物线与x轴的另一个交点B的坐标; (2)当点C在以AB为直径的⊙P上时,求抛物线的解析式; (3)坐标平面内是否存在点M,使得以点M和(2)中抛物线上的三点A、B、C为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由. |
14. 难度:中等 | |
如图所示,在平面直角坐标系中,矩形ABOC的边BO在x轴的负半轴上,边OC在y轴的正半轴上,且AB=1,OB=,矩形ABOC绕点O按顺时针方向旋转60°后得到矩形EFOD.点A的对应点为点E,点B的对应点为点F,点C的对应点为点D,抛物线y=ax2+bx+c过点A,E,D. (1)判断点E是否在y轴上,并说明理由; (2)求抛物线的函数表达式; (3)在x轴的上方是否存在点P,点Q,使以点O,B,P,Q为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC面积的2倍,且点P在抛物线上?若存在,请求出点P,点Q的坐标;若不存在,请说明理由. |
15. 难度:中等 | |
定义[p,q]为一次函数y=px+q的特征数. (1)若特征数是[2,k-2]的一次函数为正比例函数,求k的值; (2)设点A,B分别为抛物线y=(x+m)(x-2)与x,y轴的交点,其中m>0,且△OAB的面积为4,O为原点,求图象过A,B两点的一次函数的特征数. |
16. 难度:中等 | |
正方形ABCD的边长为2,E是射线CD上的动点(不与点D重合),直线AE交直线BC于点G,∠BAE的平分线交射线BC于点O. (1)如图,当CE=时,求线段BG的长; (2)当点O在线段BC上时,设,BO=y,求y关于x的函数解析式; (3)当CE=2ED时,求线段BO的长. |
17. 难度:中等 | |
如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,以点A(0,-3)为圆心,5为半径作圆A,交x轴于B,C两点,交y轴于点D,E两点. (1)求点B,C,D的坐标; (2)如果一个二次函数图象经过B,C,D三点,求这个二次函数解析式; (3)P为x轴正半轴上的一点,过点P作与圆A相离并且与x轴垂直的直线,交上述二次函数图象于点F,当△CPF中一个内角的正切之为时,求点P的坐标. |
18. 难度:中等 | |
如图,已知直线l1的解析式为y=3x+6,直线l1与x轴,y轴分别相交于A,B两点,直线l2经过B,C两点,点C的坐标为(8,0),又已知点P在x轴上从点A向点C移动,点Q在直线l2从点C向点B移动.点P,Q同时出发,且移动的速度都为每秒1个单位长度,设移动时间为t秒(1<t<10). (1)求直线l2的解析式; (2)设△PCQ的面积为S,请求出S关于t的函数关系式; (3)试探究:当t为何值时,△PCQ为等腰三角形? |
19. 难度:中等 | |
如图,抛物线y=x2+bx-2与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,且A(-1,0). (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标; (2)判断△ABC的形状,证明你的结论; (3)点M(m,0)是x轴上的一个动点,当MC+MD的值最小时,求m的值. [注:抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为(-,).]. |
20. 难度:中等 | |
一条抛物线y=x2+mx+n经过点(0,3)与(4,3). (1)求这条抛物线的解析式,并写出它的顶点坐标; (2)现有一半径为1,圆心P在抛物线上运动的动圆,当⊙P与坐标轴相切时,求圆心P的坐标; (3)⊙P能与两坐标轴都相切吗?如果不能,试通过上下平移抛物线y=x2+mx+n,使⊙P与两坐标轴都相切.(要说明平移方法) |
21. 难度:中等 | |
如图:已知在等腰直角三角形ABC中,∠C=90°,AC=BC=2,将一个含30°的直角三角形DEF的最小内角所在的顶点D与直角三角形ABC的顶点C重合,当△DEF绕着点C旋转时,较长的直角边和斜边始终与线段BA交于G,H两点(G,H可以与B,A重合) (1)如图(1),当∠BCF等于多少度时,△BCG≌△ACH?请给予证明; (2)如图(2),设GH=x,阴影部分(两三角形重叠部分)面积为y,写出y与x的函数关系式;当x为何值时,y最大,并求出最大值.(结果保留根号) |
22. 难度:中等 | |
如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C,且当x=O和x=4时,y的值相等.直线y=4x-16与这条抛物线相交于两点,其中一点的横坐标是3,另一点是这条抛物线的顶点M. (1)求这条抛物线的解析式; (2)P为线段OM上一点,过点P作PQ⊥x轴于点Q.若点P在线段OM上运动(点P不与点O重合,但可以与点M重合),设OQ的长为t,四边形PQCO的面积为S,求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围; (3)随着点P的运动,四边形PQCO的面积S有最大值吗?如果S有最大值,请求出S的最大值,并指出点Q的具体位置和四边形PQCO的特殊形状;如果S没有最大值,请简要说明理由; (4)随着点P的运动,是否存在t的某个值,能满足PO=OC?如果存在,请求出t的值. |
23. 难度:中等 | |
如图:抛物线经过A(-3,0)、B(0,4)、C(4,0)三点. (1)求抛物线的解析式. (2)已知AD=AB(D在线段AC上),有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速度移动;同时另一个动点Q以某一速度从点B沿线段BC移动,经过t秒的移动,线段PQ被BD垂直平分,求t的值; (3)在(2)的情况下,抛物线的对称轴上是否存在一点M,使MQ+MC有最小值?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.(注:抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=-) |
24. 难度:中等 | |
如图,抛物线c1:y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.点P为线段BC上一点,过点P作直线l⊥x轴于点F,交抛物线c1点E. (1)求A、B、C三点的坐标; (2)当点P在线段BC上运动时,求线段PE长的最大值; (3)当PE为最大值时,把抛物线c1向右平移得到抛物线c2,抛物线c2与线段BE交于点M,若直线CM把△BCE的面积分为1:2两部分,则抛物线c1应向右平移几个单位长度可得到抛物线c2? |
25. 难度:中等 | |
如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=8厘米,点D在AC上,CD=3厘米.点P、Q分别由A、C两点同时出发,点P沿AC方向向点C匀速移动,速度为每秒k厘米,行完AC全程用时8秒;点Q沿CB方向向点B匀速移动,速度为每秒1厘米.设运动的时间为x秒(0<x<8),△DCQ的面积为y1平方厘米,△PCQ的面积为y2平方厘米. (1)求y1与x的函数关系,并在图2中画出y1的图象; (2)如图2,y2的图象是抛物线的一部分,其顶点坐标是(4,12),求点P的速度及AC的长; (3)在图2中,点G是x轴正半轴上一点0<OG<6,过G作EF垂直于x轴,分别交y1、y2的图象于点E、F. ①说出线段EF的长在图1中所表示的实际意义; ②当0<x<6时,求线段EF长的最大值. |
26. 难度:中等 | |
如图,平行四边形ABCD中,AB=4,点D的坐标是(0,8),以点C为顶点的抛物线y=ax2+bx+c经过x轴上的点A,B. (1)求点A,B,C的坐标; (2)若抛物线向上平移后恰好经过点D,求平移后抛物线的解析式. |
27. 难度:中等 | |
如图,平面直角坐标系中有一矩形纸片OABC,O为原点,点A,C分别在x轴,y轴上,点B坐标为(m,)(其中m>0),在BC边上选取适当的点E和点F,将△OCE沿OE翻折,得到△OGE;再将△ABF沿AF翻折,恰好使点B与点G重合,得到△AGF,且∠OGA=90度. (1)求m的值; (2)求过点O,G,A的抛物线的解析式和对称轴; (3)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得△OPG是等腰三角形?若不存在,请说明理由;若存在,直接答出所有满足条件的点P的坐标(不要求写出求解过程). |
28. 难度:中等 | |
如图,已知平面直角坐标系xoy中,有一矩形纸片OABC,O为坐标原点,AB∥x轴,B(3,),现将纸片按如图折叠,AD,DE为折痕,∠OAD=30度.折叠后,点O落在点O1,点C落在线段AB点C1处,并且DO1与DC1在同一直线上. (1)求折痕AD所在直线的解析式; (2)求经过三点O,C1,C的抛物线的解析式; (3)若⊙P的半径为R,圆心P在(2)的抛物线上运动,⊙P与两坐标轴都相切时,求⊙P半径R的值. |
29. 难度:中等 | |
如图,抛物线y1=-ax2-ax+1经过点P(-,),且与抛物线y2=ax2-ax-1相交于A,B两点. (1)求a值; (2)设y1=-ax2-ax+1与x轴分别交于M,N两点(点M在点N的左边),y2=ax2-ax-1与x轴分别交于E,F两点(点E在点F的左边),观察M,N,E,F四点的坐标,写出一条正确的结论,并通过计算说明; (3)设A,B两点的横坐标分别记为xA,xB,若在x轴上有一动点Q(x,0),且xA≤x≤xB,过Q作一条垂直于x轴的直线,与两条抛物线分别交于C,D两点,试问当x为何值时,线段CD有最大值,其最大值为多少? |
30. 难度:中等 | |
如图所示,在梯形ABCD中,已知AB∥CD,AD⊥DB,AD=DC=CB,AB=4.以AB所在直线为x轴,过D且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系. (1)求∠DAB的度数及A、D、C三点的坐标; (2)求过A、D、C三点的抛物线的解析式及其对称轴L; (3)若P是抛物线的对称轴L上的点,那么使△PDB为等腰三角形的点P有几个?(不必求点P的坐标,只需说明理由) |