第25章《解直角三角形》中考题集（04）：25.1 锐角的三角函数（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

如图，直角三角板的直角顶点0在直线AB上，斜边CD∥AB，则cosα=    ．

2. 难度：中等

在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，则sinA的值为    ．

3. 难度：中等

在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则sinB=    ．

4. 难度：中等

在直角三角形ABC中，∠A=90°，AC=5，AB=12，那么tanB=    ．

二、解答题

5. 难度：中等

己知Rt△ABC的两个锐角A、B的正切值恰好是关于x的一元二次方程mx²+（2m-9）x+（m²-2）=0的两个根，求m的值．

6. 难度：中等

如图，一次函数的图象经过M点，与x轴交于A点，与y轴交于B点，根据图中信息求：
（1）这个函数的解析式；
（2）tan∠BAO．

7. 难度：中等

我们容易发现：反比例函数的图象是一个中心对称图形．你可以利用这一结论解决问题．如图，在同一直角坐标系中，正比例函数的图象可以看作是：将x轴所在的直线绕着原点O逆时针旋转α度角后的图形．若它与反比例函数的图象分别交于第一、三象限的点B，D，已知点A（-m，O）、C（m，0）．
（1）直接判断并填写：不论α取何值，四边形ABCD的形状一定是______；
（2）①当点B为（p，1）时，四边形ABCD是矩形，试求p，α，和m的值；
②观察猜想：对①中的m值，能使四边形ABCD为矩形的点B共有几个？（不必说理）
（3）试探究：四边形ABCD能不能是菱形？若能，直接写出B点的坐标，若不能，说明理由．

8. 难度：中等

已知：如图，四边形ABCD中，∠C=90°，∠ABD=∠CBD，AB=CB，P是BD上一点，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为E、F．
（1）求证：PA=EF；
（2）若BD=10，P是BD的中点，sin∠BAP=，求四边形PECF的面积．

9. 难度：中等

已知，△ABC中，∠B=90°，∠BAD=∠ACB，AB=2，BD=1，过点D作DM⊥AD交AC于点M，DM的延长线与过点C的垂线交于点P．
（1）求sin∠ACB的值；
（2）求MC的长；
（3）若点Q以每秒1个单位的速度由点C向点P运动，是否存在某一时刻t，使四边形ADQP的面积等于四边形ABCQ的面积；若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

10. 难度：中等

请阅读下列材料：
问题：如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．若∠ABC=∠BEF=60°，探究PG与PC的位置关系及的值．
小聪同学的思路是：延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：
（1）写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及的值；
（2）将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明；
（3）若图1中∠ABC=∠BEF=2α（0°＜α＜90°），将菱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出的值（用含α的式子表示）．

11. 难度：中等

在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，延长AB到E，使BE=CD，连接CE．
（1）求证：CE=CA；
（2）在上述条件下，若AF⊥CE于点F，且AF平分∠DAE，CD：AE=3：8，求cos∠ACF的值．

12. 难度：中等

在Rt△ABC中，∠C=90°，a=3，c=5，求sinA和tanA的值．

13. 难度：中等

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，已知AD=8，BC=12，AB=4．动点E从点B出发，沿射线BA以每秒3个单位的速度移动；同时动点F从点A出发，在线段AD上以每秒2个单位的速度向点D移动．当点F与点D重合时，E、F两点同时停止移动．设点E移动时间为t秒．
（1）求当t为何值时，三点C、E、F共线；
（2）设顺次连接四点B、C、F、E所得封闭图形的面积为S，求出S与t之间的函数关系（要求写出t的取值范围）；并求当S取最大值时tan∠BEF的值；
（3）求当t为何值时，以B、E、F为顶点的三角形是等腰三角形？