第24章《相似形》常考题集（06）：24.2 相似三角形的判定（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

如图，△ABC中，AC=BC，∠A=30°，AB=．将三角板中30°角的顶点D放在AB边上移动，使这个30°角的两边分别与△ABC的边AC，BC相交于点E，F，连接DE、DF、EF，且使DE始终与AB垂直，设AD=x，△DEF的面积为y．
（1）画出符合条件的图形，写出与△ADE一定相似的三角形并说明理由；
（2）EF与AB可能平行吗？若能，请求出此时AD的长；若不能，请说明理由；
（3）求出y与x之间的函数关系式并求出自变量的取值范围；当x为何值时，y有最大值，最大值为多少？

2. 难度：中等

两块含30°角的相同直角三角板，按如图位置摆放，使得两条相等的直角边AC、C₁A₁共线．
（1）问图中有多少对相似三角形，多少对全等三角形？并将它们写出来；
（2）选出其中一对全等三角形进行证明．（△ABC≌△A_lB_lC₁除外）

3. 难度：中等

如图，已知AB=AC，∠A=36°，AB的中垂线MN交AC于点D，交AB于点M，有下面4个结论：
①BD是∠ABC的角平分线；
②△BCD是等腰三角形；
③△ABC∽△BCD；
④△AMD≌△BCD．
（1）判断其中正确的结论是哪几个？
（2）从你认为是正确的结论中选一个加以证明．

4. 难度：中等

如图，在△ABC中，AB=AC，DE=EC，DH∥BC，EF∥AB，HE的延长线与BC的延长线相交于点M，点G在BC上，且∠1=∠2，不添加辅助线，解答下列问题：
（1）找出一个等腰三角形；（不包括△ABC）
（2）找出三对相似三角形；（不包括全等三角形）
（3）找出两对全等三角形，并选出一对进行证明．

5. 难度：中等

已知Rt△ABC中，∠B=90°．
（1）根据要求作图（尺规作图，保留作图痕迹，不写画法）．
①作∠BAC的平分线AD交BC于D；
②作线段AD的垂直平分线交AB于E，交AC于F，垂足为H；
③连接ED．
（2）在（1）的基础上写出一对相似比不为1的相似三角形和一对全等三角形：
△______∽△______；△______≌△______．
并选择其中一对加以证明．

6. 难度：中等

如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．

7. 难度：中等

如图，▱ABCD在平面直角坐标系中，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x²-7x+12=0的两个根，且OA＞OB．
（1）求sin∠ABC的值；
（2）若E为x轴上的点，且S_△AOE=，求经过D、E两点的直线的解析式，并判断△AOE与△DAO是否相似？
（3）若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出F点的坐标；若不存在，请说明理由．

8. 难度：中等

如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明：△ABF∽△EAD．

9. 难度：中等

如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．
（1）填空：∠ABC=______°，BC=______

10. 难度：中等

如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：
（1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？
（2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．

11. 难度：中等

附加题：如图△ABC中，D为AC上一点，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD于E，连接AE．
（1）写出图中所有相等的线段，并加以证明；
（2）图中有无相似三角形？若有，请写出一对；若没有，请说明理由；
（3）求△BEC与△BEA的面积之比．

12. 难度：中等

如图，在△ABC中，AB=AC=a，M为底边BC上的任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P，交AB于Q．
（1）求四边形AQMP的周长；
（2）写出图中的两对相似三角形（不需证明）；
（3）M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形并证明你的结论．

13. 难度：中等

已知：P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC，M是CD的中点，试说明：△ADM∽△MCP．

14. 难度：中等

如图，已知△ABC、△DCE、△FEG是三个全等的等腰三角形，底边BC、CE、EG在同一直线上，且AB=，BC=1，连接BF，分别交AC、DC、DE于点P、Q、R．
（1）求证：△BFG∽△FEG，并求出BF的长；
（2）观察图形，请你提出一个与点P相关的问题，并进行解答．（根据提出问题的层次和解答过程评分）

15. 难度：中等

如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=BC=8，CD=10．
（1）求梯形ABCD的面积S；
（2）动点P从点B出发，以1cm/s的速度，沿B⇒A⇒D⇒C方向，向点C运动；动点Q从点C出发，以1cm/s的速度，沿C⇒D⇒A方向，向点A运动，过点Q作QE⊥BC于点E．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒．问：
①当点P在B⇒A上运动时，是否存在这样的t，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；
②在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、A、D为顶点的三角形与△CQE相似？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由；
③在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．

16. 难度：中等

如图，在△ABC中，∠BAC=2∠C，在图中作出△ABC的内角平分线AD．那么：
（1）∠C=______=______．
（2）写出一对相似三角形，并说明理由．

17. 难度：中等

如图，在△ABC中，AB=10cm，BC=20cm，点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，问经过几秒钟，△PBQ与△ABC相似．

18. 难度：中等

已知矩形ABCD，长BC=12cm，宽AB=8cm，P、Q分别是AB、BC上运动的两点．若P自点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动，问经过几秒，以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似？

19. 难度：中等

如图，∠ACB=∠ADC=90°，AC=，AD=2．问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似．