| 1. 难度：中等 | |
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如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q． （1）请写出图中各对相似三角形（相似比为1除外）； （2）求BP：PQ：QR． 
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| 2. 难度：中等 | |
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已知：等腰Rt△ABC中，∠A=90°， （1）如图1，E为AB上任意一点，以CE为斜边作等腰Rt△CDE，连接AD，则有AD∥BC； （2）若将等腰Rt△ABC改为正△ABC，如图2所示，E为AB边上任一点，△CDE为正三角形，连接AD，上述结论还成立吗？答______； （3）若△ABC为任意等腰三角形，AB=AC，如图3，E为AB上任一点，△DEC∽△ABC，连接AD，请问AD与BC的位置关系怎样？答：______． 请你在上述3个结论中，任选一个结论进行证明． 
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| 3. 难度：中等 | |
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如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的高，E是BC边上的一个动点（不与B，C重合），EF⊥AB，EG⊥AC，垂足分别为F，G． （1）求证：  ；（2）FD与DG是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由； （3）当AB=AC时，△FDG为等腰直角三角形吗？并说明理由． 
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| 4. 难度：中等 | |
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已知：如图①，②，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，P，Q分别是边BC，CD上的点． （1）如图①，若AP⊥PQ，BP=2，求CQ的长； （2）如图②，若  ，且E，F，G分别为AP，PQ，PC的中点，求四边形EPGF的面积．
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| 5. 难度：中等 | |
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如图，在△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，动点E（与点A，C不重合）在AC边上，EF∥AB交BC于F点． （1）当△ECF的面积与四边形EABF的面积相等时，求CE的长； （2）当△ECF的周长与四边形EABF的周长相等时，求CE的长； （3）试问在AB上是否存在点P，使得△EFP为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出EF的长． 
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| 6. 难度：中等 | |
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如图，在△ABC中，AC＞BC，D是AC边上一点，连接BD． （1）要使△CBD∽△CAB，还需要补充一个条件是______；（只要求填一个） （2）若△CBD∽△CAB，且AD=2，BC=  ，求CD的长．
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| 7. 难度：中等 | |
如图，平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE交BC的延长线于点E，交CD于点F，AB=5，BC=2，求CF的长．
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| 8. 难度：中等 | |
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如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，AD=5，P是AD上一动点（不与A、D重合），PE上BP，P为垂足，PE交DC于点E． （1）△ABP和△DPE是否相似？请说明理由； （2）设AP=x，DE=y，求y与x之间的函数关系式，并指出x的取值范围； （3）请你探索在点P运动的过程中，四边形ABED能否构成矩形？如果能，求出AP的长；如果不能，请说明理由； （4）请你探索在点P的运动过程中，△BPE能否构成等腰三角形？如果能．求出AP的长；如果不能，请说明理由． 
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| 9. 难度：中等 | |
已知：如图①，在▱ABCD中，O为对角线BD的中点．过O的直线MN交直线AB于点M，交直线CD于点N；过O的另一条直线PQ交直线AD于点P，交直线BC于点Q，连接PN、MQ．  （1）试证明△PON与△QOM全等； （2）若点O为直线BD上任意一点，其他条件不变，则△PON与△QOM又有怎样的关系？试就点O在图②所示的位置，画出图形，证明你的猜想； （3）若点O为直线BD上任意一点（不与点B、D重合），设OD：OB=k，PN=x，MQ=y，则y与x之间的函数关系式为______． |
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| 10. 难度：中等 | |
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如图，点D，E分别在△ABC的边BC，BA上，四边形CDEF是等腰梯形，EF∥CD．EF与AC交于点G，且∠BDE=∠A． （1）试问：AB•FG=CF•CA成立吗？说明理由； （2）若BD=FC，求证：△ABC是等腰三角形． 
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| 11. 难度：中等 | |
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如图，在▱ABCD中，AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，交CD于点E、F，AE、BF相交于点M． （1）试说明：AE⊥BF； （2）判断线段DF与CE的大小关系，并予以说明． 
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| 12. 难度：中等 | |
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如图①、②在▱ABCD中，∠BAD、∠ABC的平分线AF、BG分别与线段CD两侧的延长线（或线段CD）相交于点F、G，AF与BG相交于点E． （1）在图①中，求证：AF⊥BG，DF=CG； （2）在图②中，仍有（1）中的AF⊥BG、DF=CG．若AB=10，AD=6，BG=4，求FG和AF的长．  |
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| 13. 难度：中等 | |
如图，已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，sinB= ，D是BC上一点，DE⊥AB，垂足为E，CD=DE，AC+CD=9．求BC的长．
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| 14. 难度：中等 | |
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已知，如图，AD为Rt△ABC斜边BC上的高，点E为DA延长线上一点，连接BE，过点C作CF⊥BE于点F，交AB、AD于M、N两点． （1）若线段AM、AN的长是关于x的一元二次方程x2-2mx+n2-mn+  m2=0的两个实数根，求证：AM=AN；（2）若AN=  ，DN= ，求DE的长；（3）若在（1）的条件下，S△AMN：S△ABE=9：64，且线段BF与EF的长是关于y的一元二次方程5y2-16ky+10k2+5=0的两个实数根，求BC的长． 
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| 15. 难度：中等 | |
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如图，在△ABC中，AB=AC=1，点D，E在直线BC上运动．设BD=x，CE=y． （1）如果∠BAC=30°，∠DAE=105°，试确定y与x之间的函数关系式； （2）如果∠BAC=α，∠DAE=β，当α，β满足怎样的关系时，（1）中y与x之间的函数关系式还成立？试说明理由． 
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| 16. 难度：中等 | |
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如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD于E，F为AE上一点，且∠BFE=∠C． （1）求证：△ABF∽△EAD； （2）若AB=5，AD=3，∠BAE=30°，求BF的长． 
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| 17. 难度：中等 | |
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把两块全等的直角三角形ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合，其中∠ABC=∠DEF=90°，∠C=∠F=45°，AB=DE=4，把三角板ABC固定不动，让三角板DEF绕点O旋转，设射线DE与射线AB相交于点P，射线DF与线段BC相交于点Q． （1）如图1，当射线DF经过点B，即点Q与点B重合时，易证△APD∽△CDQ．此时，AP•CQ=______； （2）将三角板DEF由图1所示的位置绕点O沿逆时针方向旋转，设旋转角为α．其中0°＜α＜90°，问AP•CQ的值是否改变？说明你的理由； （3）在（2）的条件下，设CQ=x，两块三角板重叠面积为y，求y与x的函数关系式．（图2，图3供解题用） 
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| 18. 难度：中等 | |
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（Ⅰ）如图1，点P在平行四边形ABCD的对角线BD上，一直线过点P分别交BA，BC的延长线于点Q，S，交AD，CD于点R，T．求证：PQ•PR=PS•PT； （Ⅱ）如图2，图3，当点P在平行四边形ABCD的对角线BD或DB的延长线上时，PQ•PR=PS•PT是否仍然成立？若成立，试给出证明；若不成立，试说明理由（要求仅以图2为例进行证明或说明）； （Ⅲ）如图4，ABCD为正方形，A，E，F，G四点在同一条直线上，并且AE=6cm，EF=4cm，试以（Ⅰ）所得结论为依据，求线段FG的长度．  |
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| 19. 难度：中等 | |
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取一副三角板按图①拼接，固定三角板ADC，将三角板ABC绕点A依顺时针方向旋转一个大小为α的角（0°＜α≤45°）得到△ABC′，如图所示． 试问： （1）当α为多少度时，能使得图②中AB∥DC； （2）当旋转至图③位置，此时α又为多少度图③中你能找出哪几对相似三角形，并求其中一对的相似比； （3）连接BD，当0°＜α≤45°时，探寻∠DBC′+∠CAC′+∠BDC值的大小变化情况，并给出你的证明．  |
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| 20. 难度：中等 | |
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如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，顶点D，C分别在AM，BN上运动（点D不与A重合，点C不与B重合），E是AB上的动点（点E不与A，B重合），在运动过程中始终保持DE⊥CE，且AD+DE=AB=a． （1）求证：△ADE∽△BEC； （2）当点E为AB边的中点时（如图2），求证：①AD+BC=CD；②DE，CE分别平分∠ADC，∠BCD； （3）设AE=m，请探究：△BEC的周长是否与m值有关，若有关请用含m的代数式表示△BEC的周长；若无关请说明理由．  |
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| 21. 难度：中等 | |
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如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是BC上一个动点（不与B、C重合），在AC上取E点，使∠ADE=45度． （1）求证：△ABD∽△DCE； （2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式； （3）当：△ADE是等腰三角形时，求AE的长． 
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| 22. 难度：中等 | |
如图，AB与CD相交于E，AE=EB，CE=ED，D为线段FB的中点，CF与AB交于点G，若CF=15cm，求GF之长．
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| 23. 难度：中等 | |
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如图，AF⊥CE，垂足为点O，AO=CO=2，EO=FO=1． （1）求证：点F为BC的中点； （2）求四边形BEOF的面积． 
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| 24. 难度：中等 | |
如图：在平行四边形ABCD中，E是AD上的一点．求证： ．
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| 25. 难度：中等 | |
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（1）如图1所示，在等边△ABC中，点D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE，求证：AE∥BC； （2）如图2所示，将（1）中等边△ABC的形状改成以BC为底边的等腰三角形，所作△EDC相似于△ABC，请问仍有AE∥BC？证明你的结论． 
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| 26. 难度：中等 | |||||||||||||
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E、F为平行四边形ABCD的对角线DB上三等分点，连AE并延长交DC于P，连PF并延长交AB于Q，如图① （1）在备用图中，画出满足上述条件的图形，记为图②，试用刻度尺在图①、②中量得AQ、BQ的长度，估计AQ、BQ间的关系，并填入下表：（长度单位：cm）
（2）上述（1）中的猜测AQ、BQ间的关系成立吗？为什么？ （3）若将平行四边形ABCD改为梯形（AB∥CD）其他条件不变，此时（1）中猜测AQ、BQ间的关系是否成立？（不必说明理由）  |
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| 27. 难度：中等 | |
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如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是OA、OB的中点． （1）求证：△ADE≌△BCF； （2）若AD=4cm，AB=8cm，求CF的长． 
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| 28. 难度：中等 | |
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如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，AB=2DC，对角线AC⊥BD，垂足为F，过点F作EF∥AB，交AD于点E，CF=4cm． （1）求证：四边形ABFE是等腰梯形； （2）求AE的长． 
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| 29. 难度：中等 | |
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如图，用三个全等的菱形ABGH、BCFG、CDEF拼成平行四边形ADEH，连接AE与BG、CF分别交于P、Q， （1）若AB=6，求线段BP的长； （2）观察图形，是否有三角形与△ACQ全等？并证明你的结论．  |
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| 30. 难度：中等 | |
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已知点E、F在△ABC的边AB所在的直线上，且AE=BF，FH∥EG∥AC，FH、EG分别交边BC所在的直线于点H、G． （1）如图1，如果点E、F在边AB上，那么EG+FH=AC； （2）如图2，如果点E在边AB上，点F在AB的延长线上，那么线段EG、FH、AC的长度关系是______； （3）如图3，如果点E在AB的反向延长线上，点F在AB的延长线上，那么线段EG、FH、AC的长度关系是______． 对（1）（2）（3）三种情况的结论，请任选一个给予证明．  |
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