1. 难度:中等 | |
如图1在平面直角坐标系中,O是坐标原点,▱ABCD的顶点A的坐标为(-2,0),点D的坐标为(0,2),点B在x轴的正半轴上,点E为线段AD的中点,过点E的直线l与x轴交于点F,与射线DC交于点G. (1)求∠DCB的度数; (2)连接OE,以OE所在直线为对称轴,△OEF经轴对称变换后得到△OEF',记直线EF'与射线DC的交点为H. ①如图2,当点G在点H的左侧时,求证:△DEG∽△DHE; ②若△EHG的面积为3,请直接写出点F的坐标. |
2. 难度:中等 | |
如图,△ABC是等边三角形,CE是外角平分线,点D在AC上,连接BD并延长与CE交于点E. (1)求证:△ABD∽△CED. (2)若AB=6,AD=2CD,求BE的长. |
3. 难度:中等 | |
已知:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠DCB=90°,E是AD的中点,点P是BC边上的动点(不与点B重合),EP与BD相交于点O. (1)当P点在BC边上运动时,求证:△BOP∽△DOE; (2)设(1)中的相似比为k,若AD:BC=2:3.请探究:当k为下列三种情况时,四边形ABPE是什么四边形?①当k=1时,是______;②当k=2时,是______;③当k=3时,是______.并证明k=2时的结论. |
4. 难度:中等 | |
如图,直角梯形ABCD和正方形EFGC的边BC、CG在同一条直线上,AD∥BC,AB⊥BC于点B,AD=4,AB=6,BC=8,直角梯形ABCD的面积与正方形EFGC的面积相等,将直角梯形ABCD沿BG向右平行移动,当点C与点G重合时停止移动.设梯形与正方形重叠部分的面积为S. (1)求正方形的边长; (2)设直角梯形ABCD的顶点C向右移动的距离为x,求S与x的函数关系式; (3)当直角梯形ABCD向右移动时,它与正方形EFGC的重叠部分面积S能否等于直角梯形ABCD面积的一半?若能,请求出此时运动的距离x的值;若不能,请说明理由. |
5. 难度:中等 | |
在图1至图3中,直线MN与线段AB相交于点O,∠1=∠2=45°. (1)如图1,若AO=OB,请写出AO与BD的数量关系和位置关系; (2)将图1中的MN绕点O顺时针旋转得到图2,其中AO=OB.求证:AC=BD,AC⊥BD; (3)将图2中的OB拉长为AO的k倍得到图3,求的值. |
6. 难度:中等 | |
如图所示, (1)正方形ABCD及等腰Rt△AEF有公共顶点A,∠EAF=90°,连接BE、DF.将Rt△AEF绕点A旋转,在旋转过程中,BE、DF具有怎样的数量关系和位置关系?结合图(1)给予证明; (2)将(1)中的正方形ABCD变为矩形ABCD,等腰Rt△AEF变为Rt△AEF,且AD=kAB,AF=kAE,其他条件不变.(1)中的结论是否发生变化?结合图(2)说明理由; (3)将(2)中的矩形ABCD变为平行四边形ABCD,将Rt△AEF变为△AEF,且∠BAD=∠EAF=a,其他条件不变.(2)中的结论是否发生变化?结合图(3),如果不变,直接写出结论;如果变化,直接用k表示出线段BE、DF的数量关系,用a表示出直线BE、DF形成的锐角β. |
7. 难度:中等 | |
如图,已知二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴相交于点A、C,与y轴相交于点B,A(),且△AOB∽△BOC. (1)求C点坐标、∠ABC的度数及二次函数y=ax2+bx+3的关系式; (2)在线段AC上是否存在点M(m,0).使得以线段BM为直径的圆与边BC交于P点(与点B不同),且以点P、C、O为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由. |
8. 难度:中等 | |
如图,在平面直角坐标系中,点C(-3,0),点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上,且满足+|OA-1|=0. (1)求点A、点B的坐标; (2)若点P从C点出发,以每秒1个单位的速度沿线段CB由C向B运动,连接AP,设△ABP的面积为S,点P的运动时间为t秒,求S与t的函数关系式; (3)在(2)的条件下,是否存在点P,使以点A,B,P为顶点的三角形与△AOB相似?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由. |
9. 难度:中等 | |
如图1,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,点O是AC边上一点,连接BO交AD于F,OE⊥OB交BC边于点E. (1)求证:△ABF∽△COE; (2)当O为AC的中点,时,如图2,求的值; (3)当O为AC边中点,时,请直接写出的值. |
10. 难度:中等 | |
已知一个直角三角形纸片OAB,其中∠AOB=90°,OA=2,OB=4.如图,将该纸片放置在平面直角坐标系中,折叠该纸片,折痕与边OB交于点C,与边AB交于点D. (Ⅰ)若折叠后使点B与点A重合,求点C的坐标; (Ⅱ)若折叠后点B落在边OA上的点为B′,设OB′=x,OC=y,试写出y关于x的函数解析式,并确定y的取值范围; (Ⅲ)若折叠后点B落在边OA上的点为B″,且使B″D∥OB,求此时点C的坐标. |
11. 难度:中等 | |
如图,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,E是AC的中点,ED的延长线与CB的延长线交于点F. (1)求证:FD2=FB•FC; (2)若G是BC的中点,连接GD,GD与EF垂直吗?并说明理由. |
12. 难度:中等 | |
在直角坐标系中,点A(5,0)关于原点O的对称点为点C. (1)请直接写出点C的坐标; (2)若点B在第一象限内,∠OAB=∠OBA,并且点B关于原点O的对称点为点D. ①试判断四边形ABCD的形状,并说明理由; ②现有一动点P从B点出发,沿路线BA-AD以每秒1个单位长的速度向终点D运动,另一动点Q从A点同时出发,沿AC方向以每秒0.4个单位长的速度向终点C运动,当其中一个动点到达终点时,另一个动点也随之停止运动.已知AB=6,设点P、Q的运动时间为t秒,在运动过程中,当动点Q在以PA为直径的圆上时,试求t的值? |
13. 难度:中等 | |
如图,网格中的每个小正方形的边长都是1,每个小正方形的顶点叫做格点.△ACB和△DCE的顶点都在格点上,ED的延长线交AB于点F. (1)求证:△ACB∽△DCE; (2)求证:EF⊥AB. |
14. 难度:中等 | |
如图1,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A的坐标为(-8,0),直线BC经过点B(-8,6),C(0,6),将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转α度得到四边形OA′B′C′,此时OA′、B′C′分别与直线BC相交于P、Q. (1)四边形OA′B′C′的形状是______,当α=90°时,的值是______; (2)①如图2,当四边形OA′B′C′的顶点B′落在y轴正半轴上时,求的值; ②如图3,当四边形OA′B′C′的顶点B′落在直线BC上时,求△OPB′的面积; (3)在四边形OABC旋转过程中,当0°<α≤180°时,是否存在这样的点P和点Q,使BP=BQ?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由. |
15. 难度:中等 | |
如图,在平面直角坐标系中,矩形AOBC在第一象限内,E是边OB上的动点(不包括端点),作∠AEF=90°,使EF交矩形的外角平分线BF于点F,设C(m,n). (1)若m=n时,如图,求证:EF=AE; (2)若m≠n时,如图,试问边OB上是否还存在点E,使得EF=AE?若存在,请求出点E的坐标;若不存在,请说明理由. (3)若m=tn(t>1)时,试探究点E在边OB的何处时,使得EF=(t+1)AE成立?并求出点E的坐标. |
16. 难度:中等 | |
本题为选做题,从甲、乙两题中选做一题即可,如果两题都做,只以甲题计分. 甲题:关于x的一元二次方程x2+(2k-3)x+k2=0有两个不相等的实数根α、β. (1)求k的取值范围; (2)若α+β+αβ=6,求(α-β)2+3αβ-5的值. 乙题:如图,在正方形ABCD中,E、F分别是边AD、CD上的点,AE=ED,DF=DC,连接EF并延长交BC的延长线于点G (1)求证:△ABE∽△DEF; (2)若正方形的边长为4,求BG的长. |
17. 难度:中等 | |
如图,已知矩形OABC的两边OA,OC分别在x轴,y轴的正半轴上,且点B(4,3),反比例函数y=图象与BC交于点D,与AB交于点E,其中D(1,3). (1)求反比例函数的解析式及E点的坐标; (2)若矩形OABC对角线的交点为F,请判断点F是否在此反比例函数的图象上,并说明理由. |
18. 难度:中等 | |
如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,E是AB的中点,且CE⊥DE. (1)请你判断△ADE与△BEC是否相似,并说明理由; (2)若AD=1,BC=2,求AB的长. |
19. 难度:中等 | |
如图,在△ABD和△ADE中,AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE,连接BC、DE相交于点F,BC与AD相交于点G (1)试判断线段BC、DE的数量关系,并说明理由; (2)如果∠ABC=∠CBD,那么线段FD是线段FG和FB的比例中项吗?为什么? |
20. 难度:中等 | |
在等边△ABC中,点D为AC上一点,连接BD,直线l与AB,BD,BC分别相交于点E,P,F,且∠BPF=60度. (1)如图1,写出图中所有与△BPF相似的三角形,并选择其中一对给予证明; (2)若直线l向右平移到图2,图3的位置时(其它条件不变),(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请写出来(不证明),若不成立,请说明理由; (3)探究:如图1,当BD满足什么条件时(其它条件不变),PF=PE?请写出探究结果,并说明理由. (说明:结论中不得含有未标识的字母) |
21. 难度:中等 | |
阅读理【解析】 如图1,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠B=90°,点P在BC边上,当∠APD=90°时,易证△ABP∽△PCD,从而得到BP•PC=AB•CD,解答下列问题. (1)模型探究:如图2,在四边形ABCD中,点P在BC边上,当∠B=∠C=∠APD时,求证:BP•PC=AB•CD; (2)拓展应用:如图3,在四边形ABCD中,AB=4,BC=10,CD=6,∠B=∠C=60°,AO⊥BC于点O,以O为顶点,以BC所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,点P为线段OC上一动点(不与端点O、C重合) (i)当∠APD=60°时,求点P的坐标; (ii)过点P作PE⊥PD,交y轴于点E,设PO=x,OE=y,求y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围. |
22. 难度:中等 | |
如图,E是矩形ABCD的边DC延长线上一点,连接AE分别交BC,BD于F,G. (1)图中有全等三角形吗?(对角线分矩形所得两个三角形除外)若有,请写出一对来;若没有,请添加一个条件(不添加辅助线和不改变图中字母),使得图中有全等三角形,并写出来; (2)图中有相似三角形吗?设矩形ABCD的周长为20,对角线长为2,求DE的长,使得你找出的一对相似三角形的相似比为2:3. |
23. 难度:中等 | |
如图,▱ABCD中,E是CD的延长线上一点,BE与AD交于点F,DE=CD. (1)求证:△ABF∽△CEB; (2)若△DEF的面积为2,求▱ABCD的面积. |
24. 难度:中等 | |
如图,四边形ABCD、DEFG都是正方形,连接AE、CG,AE与CG相交于点M,CG与AD相交于点N. 求证:(1)AE=CG;(2)AN•DN=CN•MN. |
25. 难度:中等 | |
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=50,AC=30,D,E,F分别是AC,AB,BC的中点.点P从点D出发沿折线DE-EF-FC-CD以每秒7个单位长的速度匀速运动;点Q从点B出发沿BA方向以每秒4个单位长的速度匀速运动,过点Q作射线QK⊥AB,交折线BC-CA于点G.点P,Q同时出发,当点P绕行一周回到点D时停止运动,点Q也随之停止.设点P,Q运动的时间是t秒(t>0). (1)D,F两点间的距离是______; (2)射线QK能否把四边形CDEF分成面积相等的两部分?若能,求出t的值;若不能,说明理由; (3)当点P运动到折线EF-FC上,且点P又恰好落在射线QK上时,求t的值; (4)连接PG,当PG∥AB时,请直接写出t的值. |
26. 难度:中等 | |
如图,把矩形ABCD沿直线AC折叠,点B落在点E处,AE与CD交于点O,连接DE. (1)四边形ACED是什么图形?说明理由; (2)若AB=4cm,AD=3cm,求DE的长. |
27. 难度:中等 | |
(1)如图1,已知正方形ABCD,E是AD上一点,F是BC上一点,G是AB上一点,H是CD上一点,线段EF、GH交于点O,∠EOH=∠C,求证:EF=GH; (2)如图2,若将“正方形ABCD”改为“菱形ABCD”,其他条件不变,探索线段EF与线段GH的关系并加以证明; (3)如图3,若将“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”,且AD=mAB,其他条件不变,探索线段EF与线段GH的关系并加以证明; 附加题:根据前面的探究,你能否将本题推广到一般的平行四边形情况?若能,写出推广命题,画出图形,并证明,若不能,说明理由. |
28. 难度:中等 | |
如图,已知AD是△ABC的中线,E是AD的中点,CE的延长线交AB于F,求AF:AB的值. |
29. 难度:中等 | |
如图,已知平行四边形ABCD中,P是对角线BD上的一点,过P点作MN∥AD,EF∥CD,分别交AB、CD、AD、BC于M、N、E、F,设a=PM•PE,b=PN•PF. (1)请判断a与b的大小关系,并说明理由; (2)当时,求的值. |