1. 难度:中等 | |
阅读下列材料: 正方形网格中,每个小正方形的顶点称为格点,以格点为顶点的三角形叫格点三角形. 数学老师给小明同学出了一道题目:在图1正方形网格(每个小正方形边长为1)中画出格点△ABC,使AB=AC=,BC=; 小明同学的做法是:由勾股定理,得AB=AC=,BC=,于是画出线段AB、AC、BC,从而画出格点△ABC. (1)请你参考小明同学的做法,在图2正方形网格(每个小正方形边长为1)中画出格点△A′B′C′(A′点位置如图所示),使A′B′=A′C′=5,B′C′=.(直接画出图形,不写过程); (2)观察△ABC与△A′B′C′的形状,猜想∠BAC与∠B′A′C′有怎样的数量关系,并证明你的猜想. |
2. 难度:中等 | |
在平面直角坐标系中,矩形OACB的顶点O在坐标原点,顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上,OA=3,OB=4,D为边OB的中点. (1)若E为边OA上的一个动点,当△CDE的周长最小时,求点E的坐标; (2)若E、F为边OA上的两个动点,且EF=2,当四边形CDEF的周长最小时,求点E、F的坐标. (温馨提示:可以作点D关于x轴的对称点D',连接CD'与x轴交于点E,此时△CDE的周长是最小的.这样,你只需求出OE的长,就可以确定点E的坐标了.) |
3. 难度:中等 | |
如图,已知正方形纸片ABCD的边长为2,将正方形纸片折叠,使顶点A落在边CD上的点P处(点P与C、D不重合),折痕为EF,折叠后AB边落在PQ的位置,PQ与BC交于点G. (1)观察操作结果,找到一个与△EDP相似的三角形,并证明你的结论; (2)当点P位于CD中点时,你找到的三角形与△EDP周长的比是多少? |
4. 难度:中等 | |
如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=1,点P在线段AB上运动,设AP=x,现将纸片折叠,使点D与点P重合,得折痕EF(点E、F为折痕与矩形边的交点),再将纸片还原. (1)当x=0时,折痕EF的长为______;当点E与点A重合时,折痕EF的长为______ |
5. 难度:中等 | |
如图,平面直角坐标系中有一个边长为2的正方形AOBC,M为OB的中点,将△AOM沿直线AM对折,使O点落在O′处,连接OO′,过O′点作O′N⊥OB于N. (1)写出点A、B、C的坐标; (2)判断△AOM与△ONO′是否相似,若是,请给出证明; (3)求O′点的坐标. |
6. 难度:中等 | |
如图,把一张标准纸一次又一次对开,得到“2开”纸,“4开”纸,“8开”纸,“16开”纸….已知标准纸的短边长为a. (1)如图2,把这张标准纸对开得到的“16开”张纸按如下步骤折叠: 第一步:将矩形的短边AB与长边AD对齐折叠,点B落在AD上的点B'处,铺平后得折痕AE; 第二步:将长边AD与折痕AE对齐折叠,点D正好与点E重合,铺平后得折痕AF. 则AD:AB的值是______ |
7. 难度:中等 | |
如图,四边形ABCD为一梯形纸片,AB∥CD,AD=BC.翻折纸片ABCD,使点A与点C重合,折痕为EF.已知CE⊥AB. (1)求证:EF∥BD; (2)若AB=7,CD=3,求线段EF的长. |
8. 难度:中等 | |
如图,先把一矩形ABCD纸片对折,设折痕为MN,再把B点叠在折痕线上,得到△ABE,过B点折纸片使D点叠在直线AD上,得折痕PQ. (1)求证:△PBE∽△QAB; (2)你认为△PBE和△BAE相似吗?如果相似给出证明,如不相似请说明理由; (3)如果沿直线EB折叠纸片,点A是否能叠在直线EC上?为什么? |
9. 难度:中等 | |
如图,ABCD是矩形纸片,翻折∠B,∠D,使BC,AD恰好落在AC上.设F,H分别是B,D落在AC上的两点,E,G分别是折痕CE,AG与AB,CD的交点. (1)求证:四边形AECG是平行四边形; (2)若AB=4cm,BC=3cm,求线段EF的长. |
10. 难度:中等 | |
如图,在△ABC中,已知DE∥BC,AD=4,DB=8,DE=3. (1)求的值; (2)求BC的长. |
11. 难度:中等 | |
如图,在锐角三角形ABC中,D为BC边的中点,F为AB边所在的直线上一点,连接CF交AD延长线于E,已知EC=CF,问: (1)F点此时的位置; (2)求的值. |
12. 难度:中等 | |
定义:若某个图形可分割为若干个都与他相似的图形,则称这个图形是自相似图形. 探究: (1)如图甲,已知△ABC中∠C=90°,你能把△ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形吗?若能,请在图甲中画出分割线,并说明理由. (2)一般地,“任意三角形都是自相似图形”,只要顺次连接三角形各边中点,则可将原三分割为四个都与它自己相似的小三角形.我们把△DEF(图乙)第一次顺次连接各边中点所进行的分割,称为1阶分割(如图1);把1阶分割得出的4个三角形再分别顺次连接它的各边中点所进行的分割,称为2阶分割(如图2)…依次规则操作下去.n阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形(n为正整数),设此时小三角形的面积为SN. ①若△DEF的面积为10000,当n为何值时,2<Sn<3?(请用计算器进行探索,要求至少写出三次的尝试估算过程) ②当n>1时,请写出一个反映Sn-1,Sn,Sn+1之间关系的等式.(不必证明) |
13. 难度:中等 | |
我们已经知道:如果两个几何图形形状相同而大小不一定相同,我们就把它们叫做相似图形.比如两个正方形,它们的边长,对角线等所有元素都对应成比例,就可以称它们为相似图形. 现给出下列4对几何图形:①两个圆;②两个菱形;③两个长方形;④两个正六边形.请指出其中哪几对是相似图形,哪几对不是相似图形,并简单地说明理由. |
14. 难度:中等 | |
如图,已知△ABC∽△A1B1C1,相似比为k(k>1),且△ABC的三边长分别为a、b、c(a>b>c),△A1B1C1的三边长分别为a1、b1、c1. (1)若c=a1,求证:a=kc; (2)若c=a1,试给出符合条件的一对△ABC和△A1B1C1,使得a、b、c和a1、b1、c1都是正整数,并加以说明; (3)若b=a1,c=b1,是否存在△ABC和△A1B1C1使得k=2?请说明理由. |
15. 难度:中等 | |
如图①,分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆,其面积分别用S1,S2,S3表示,则不难证明S1=S2+S3. (1)如图②,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形,其面积分别用S1,S2,S3表示,那么S1,S2,S3之间有什么关系;(不必证明) (2)如图③,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形,其面积分别用S1、S2、S3表示,请你确定S1,S2,S3之间的关系并加以证明; (3)若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形,其面积分别用S1,S2,S3表示,为使S1,S2,S3之间仍具有与(2)相同的关系,所作三角形应满足什么条件证明你的结论; (4)类比(1),(2),(3)的结论,请你总结出一个更具一般意义的结论. |
16. 难度:中等 | |
如图,在▱ABCD中,BE⊥AD于点E,BF⊥CD于点F,AC与BE、BF分别交于点G、H. (1)求证:△BAE∽△BCF; (2)若BG=BH,求证:四边形ABCD是菱形. |
17. 难度:中等 | |
如图所示,已知∠ACB=90°,AC=BC,BE⊥CE于E,AD⊥CE于D,CE与AB相交于F. (1)求证:△CEB≌△ADC; (2)若AD=9cm,DE=6cm,求BE及EF的长. |
18. 难度:中等 | |
如图,直线y=-3x-3分别交x轴、y轴于A、B两点,△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°后得到△DOC,抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C三点. (1)填空:A(______,______)、B(______,______)、C(______,______); (2)求抛物线的函数关系式; (3)E为抛物线的顶点,在线段DE上是否存在点P,使得以C、D、P为顶点的三角形与△DOC相似?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. |
19. 难度:中等 | |
如图,△ABC中AB=AC,BC=6,点D位BC中点,连接AD,AD=4,AN是△ABC外角∠CAM的平分线,CE⊥AN,垂足为E. (1)试判断四边形ADCE的形状并说明理由. (2)将四边形ADCE沿CB以每秒1个单位长度的速度向左平移,设移动时间为t(0≤t≤6)秒,平移后的四边形A’D’C’E’与△ABC重叠部分的面积为S,求S关于t的函数表达式,并写出相应的t的取值范围. |
20. 难度:中等 | |
问题背景 (1)如图,△ABC中,DE∥BC分别交AB,AC于D,E两点,过点E作EF∥AB交BC于点F.请按图示数据填空: 四边形DBFE的面积S=______,△EFC的面积S1=______,△ADE的面积S2=______. 探究发现 (2)在(1)中,若BF=a,FC=b,DE与BC间的距离为h.请证明S2=4S1S2. 拓展迁移 (3)如图,▱DEFG的四个顶点在△ABC的三边上,若△ADG、△DBE、△GFC的面积分别为2、5、3,试利用(2)中的结论求△ABC的面积. |
21. 难度:中等 | |
如图,直角梯形ABCD中,AB∥DC,∠DAB=90°,AD=2DC=4,AB=6.动点M以每秒1个单位长的速度,从点A沿线段AB向点B运动;同时点P以相同的速度,从点C沿折线C-D-A向点A运动.当点M到达点B时,两点同时停止运动.过点M作直线l∥AD,与线段CD的交点为E,与折线A-C-B的交点为Q.点M运动的时间为t(秒). (1)当t=0.5时,求线段QM的长; (2)当0<t<2时,如果以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形,求t的值; (3)当t>2时,连接PQ交线段AC于点R.请探究是否为定值?若是,试求这个定值;若不是,请说明理由. |
22. 难度:中等 | |
设△A1B1C1的面积是S1,△A2B2C2的面积为S2(S1<S2),当△A1B1C1∽△A2B2C2,且时,则称△A1B1C1与△A2B2C2有一定的“全等度”.如图,已知梯形ABCD,AD∥BC,∠B=30°,∠BCD=60°,连接AC. (1)若AD=DC,求证:△DAC与△ABC有一定的“全等度”; (2)你认为:△DAC与△ABC有一定的“全等度”正确吗?若正确,说明理由;若不正确,请举出一个反例说明. |
23. 难度:中等 | |
如图,直角梯形ABCD中,∠ADC=90°,AD∥BC,点E在BC上,点F在AC上,∠DFC=∠AEB. (1)求证:△ADF∽△CAE; (2)当AD=8,DC=6,点E、F分别是BC、AC的中点时,求直角梯形ABCD的面积? |
24. 难度:中等 | |
如图,边长为5的正方形OABC的顶点O在坐标原点处,点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上,点E是OA边上的点(不与点A重合),EF⊥CE,且与正方形外角平分线AG交于点P. (1)当点E坐标为(3,0)时,试证明CE=EP; (2)如果将上述条件“点E坐标为(3,0)”改为“点E坐标为(t,0)(t>0),结论CE=EP是否成立,请说明理由; (3)在y轴上是否存在点M,使得四边形BMEP是平行四边形?若存在,用t表示点M的坐标;若不存在,说明理由. |
25. 难度:中等 | |
如图在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=10,AC=5,若动点P从点B出发,沿线段BA运动到A点为止,运动为每秒2个单位长度.过点P作PM∥BC,交AC于点M,设动点P运动时间为x秒,AM的长为y. (1)求出y关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围; (2)当x为何值时,△BPM的面积S有最大值,最大值是多少? |
26. 难度:中等 | |
如图,在△ABC中,D是BC边上一点,E是AC边上一点,且满足AD=AB,∠ADE=∠C. (1)求证:∠AED=∠ADC,∠DEC=∠B; (2)求证:AB2=AE•AC. |
27. 难度:中等 | |
在直角梯形OABC中,CB∥OA,∠COA=90°,CB=3,OA=6,BA=.分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系. (1)求点B的坐标; (2)已知D、E分别为线段OC、OB上的点,OD=5,OE=2EB,直线DE交x轴于点F,求直线DE的解析式; (3)点M是(2)中直线DE上的一个动点,在x轴上方的平面内是否存在另一个点N,使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由. |
28. 难度:中等 | |
已知在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠A=30°,点P在AC上,且∠MPN=90°.当点P为线段AC的中点,点M、N分别在线段AB、BC上时(如图1),过点P作PE⊥AB于点E,PF⊥BC于点F,可证Rt△PME∽Rt△PNF,得出PN=PM.(不需证明)当PC=PA,点M、N分别在线段AB、BC或其延长线上,如图2、图3这两种情况时,请写出线段PN、PM之间的数量关系,并任选取一给予证明. |
29. 难度:中等 | |
如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,点D在边AB上运动,DE平分∠CDB交边BC于点E,EM⊥BD垂足为M,EN⊥CD垂足为N. (1)当AD=CD时,求证:DE∥AC; (2)探究:AD为何值时,△BME与△CNE相似? (3)探究:AD为何值时,四边形MEND与△BDE的面积相等? |