1. 难度:中等 | |
在矩形ABCD中,AB=a,AD=2b(a>2b>0),E是AD的中点,BF⊥EC,垂足为F,求BF的长(用含有a、b的代数式表示). |
2. 难度:中等 | |
(A题)某市经济开发区建有B、C、D三个食品加工厂,这三个工厂和开发区A处的自来水厂正好在一个矩形的四个顶点上,它们之间有公路相通,且AB=CD=900米,AD=BC=1700米.自来水公司已经修好一条自来水主管道AN,BC两厂之间的公路与自来水管道交于E处,EC=500米.若自来水主管道到各工厂的自来水管道由各厂负担,每米造价800元. (1)要使修建自来水管道的造价最低,这三个工厂的自来水管道路线应怎样设计并在图形中画出; (2)求出各厂所修建的自来水管道的最低的造价各是多少元? (B题)如图,已知平行四边形ABCD及四边形外一直线l,四个顶点A、B、C、D到直线l的距离分别为a、b、c、d. (1)观察图形,猜想得出a、b、c、d满足怎样的关系式?证明你的结论. (2)现将l向上平移,你得到的结论还一定成立吗?请分情况写出你的结论. |
3. 难度:中等 | |
一块直角三角形木板的一条直角边AB长为1.5m,面积为1.5m2,工人师傅要把它加工成一个面积最大的正方形桌面,请甲、乙两位同学进行设计加工方案,甲设计方案如图1,乙设计方案如图2.你认为哪位同学设计的方案较好?试说明理由.(加工损耗忽略不计,计算结果中可保留分数) |
4. 难度:中等 | |
如图,正方形ABCD的边长是2,M是AD的中点,点E从点A出发,沿AB运动到点B停止,连接EM并延长交射线CD于点F,过M作EF的垂线交射线BC于点G,连接EG、FG. (1)设AE=x时,△EGF的面积为y,求y关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围; (2)P是MG的中点,请直接写出点P的运动路线的长. |
5. 难度:中等 | |
如图①,四边形ABCD是正方形,点G是BC上任意一点,DE⊥AG于点E,BF⊥AG于点F. (1)求证:DE-BF=EF; (2)当点G为BC边中点时,试探究线段EF与GF之间的数量关系,并说明理由; (3)若点G为CB延长线上一点,其余条件不变.请你在图②中画出图形,写出此时DE、BF、EF之间的数量关系(不需要证明). |
6. 难度:中等 | |
如图,l1,l2,l3,l4是同一平面内的四条平行直线,且每相邻的两条平行直线间的距离为h,正方形ABCD的四个顶点分别在这四条直线上,且正方形ABCD的面积是25. (1)连接EF,证明△ABE、△FBE、△EDF、△CDF的面积相等. (2)求h的值. |
7. 难度:中等 | |
如图1,在边长为5的正方形ABCD中,点E、F分别是BC、DC边上的点,且AE⊥EF,BE=2. (1)求EC:CF的值; (2)延长EF交正方形外角平分线CP于点P(如图2),试判断AE与EP的大小关系,并说明理由; (3)在图2的AB边上是否存在一点M,使得四边形DMEP是平行四边形?若存在,请给予证明;若不存在,请说明理由. |
8. 难度:中等 | |
如图1,四边形ABCD是正方形,G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合),以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG,连接BG,DE.我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系: (1)①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系; ②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度α,得到如图2,如图3情形.请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断; (2)将原题中正方形改为矩形(如图4-6),且AB=a,BC=b,CE=ka,CG=kb(a≠b,k>0),第(1)题①中得到的结论哪些成立,哪些不成立?若成立,以图5为例简要说明理由; (3)在第(2)题图5中,连接DG、BE,且a=3,b=2,k=,求BE2+DG2的值. |
9. 难度:中等 | |
如图,在边长为4的正方形ABCD中,点P在AB上从A向B运动,连接DP交AC于点Q. (1)试证明:无论点P运动到AB上何处时,都有△ADQ≌△ABQ; (2)当点P在AB上运动到什么位置时,△ADQ的面积是正方形ABCD面积的; (3)若点P从点A运动到点B,再继续在BC上运动到点C,在整个运动过程中,当点P运动到什么位置时,△ADQ恰为等腰三角形. |
10. 难度:中等 | |
如图,在直角△ABC内,以A为一个顶点作正方形ADEF,使得点E落在BC边上. (1)用尺规作图,作出D、E、F中的任意一点(保留作图痕迹,不写作法和证明.另外两点不需要用尺规作图确定,作草图即可); (2)若AB=6,AC=2,求正方形ADEF的边长. |
11. 难度:中等 | |||||||||
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=1,AC=2,把边长分别为x1,x2,x3,…,xn的n个正方形依次放入△ABC中,请回答下列问题: (1)按要求填表:
(3)若m,n,p,q是正整数,且xm•xn=xp•xq,试判断m,n,p,q的关系. |
12. 难度:中等 | |
如图,点E在正方形ABCD的边CD上运动,AC与BE交于点F. (1)如图1,当点E运动到DC的中点时,求△ABF与四边形ADEF的面积之比; (2)如图2,当点E运动到CE:ED=2:1时,求△ABF与四边形ADEF的面积之比; (3)当点E运动到CE:ED=3:1时,写出△ABF与四边形ADEF的面积之比;当点E运动到CE:ED=n:1(n是正整数)时,猜想△ABF与四边形ADEF的面积之比(只写结果,不要求写出计算过程); (4)请你利用上述图形,提出一个类似的问题 |
13. 难度:中等 | |
已知:如图,在正方形ABCD中,AD=12,点E是边CD上的动点(点E不与端点C,D重合),AE的垂直平分线FP分别交AD,AE,BC于点F,H,G,交AB的延长线于点P. (1)设DE=m(0<m<12),试用含m的代数式表示的值; (2)在(1)的条件下,当时,求BP的长. |
14. 难度:中等 | |
如图,四边形ABCD是正方形,△ECF是等腰直角三角形,其中CE=CF,G是CD与EF的交点. (1)求证:△BCF≌△DCE; (2)若BC=5,CF=3,∠BFC=90°,求DG:GC的值. |
15. 难度:中等 | |
如图,四边形ABCD和BEFG均为正方形,则=______ |
16. 难度:中等 | |
在一次课题学习中活动中,老师提出了如下一个问题: 点P是正方形ABCD内的一点,过点P画直线l分别交正方形的两边于点M、N,使点P是线段MN的三等分点,这样的直线能够画几条? 经过思考,甲同学给出如下画法: 如图1,过点P画PE⊥AB于E,在EB上取点M,使EM=2EA,画直线MP交AD于N,则直线MN就是符合条件的直线l. 根据以上信息,解决下列问题: (1)甲同学的画法是否正确?请说明理由; (2)在图1中,能否画出符合题目条件的直线?如果能,请直接在图1中画出; (3)如图2,A1,C1分别是正方形ABCD的边AB、CD上的三等分点,且A1C1∥AD.当点P在线段A1C1上时,能否画出符合题目条件的直线?如果能,可以画出几条? (4)如图3,正方形ABCD边界上的A1,A2,B1,B2,C1,C2,D1,D2都是所在边的三等分点.当点P在正方形ABCD内的不同位置时,试讨论,符合题目条件的直线l的条数的情况. |
17. 难度:中等 | |
如图:四边形ABCD中,E、F、G、H分别为各边的中点,顺次连接E、F、G、H,把四边形EFGH称为中点四边形.连接AC、BD,容易证明:中点四边形EFGH一定是平行四边形. (1)如果改变原四边形ABCD的形状,那么中点四边形的形状也随之改变,通过探索可以发现:当四边形ABCD的对角线满足AC=BD时,四边形EFGH为菱形. 当四边形ABCD的对角线满足______时,四边形EFGH为矩形; 当四边形ABCD的对角线满足______时,四边形EFGH为正方形; (2)探索三角形AEH、三角形CFG与四边形ABCD的面积之间的等量关系,请写出你发现的结论,并加以证明; (3)如果四边形ABCD的面积为2,那么中点四边形EFGH的面积是多少? |
18. 难度:中等 | |
图1是由五个边长都是1的正方形纸片拼接而成的,过点A1的直线分别与BC1、BE交于点M、N,且图1被直线MN分成面积相等的上、下两部分. (1)求的值; (2)求MB、NB的长; (3)将图1沿虚线折成一个无盖的正方体纸盒(图2)后,求点M、N间的距离. |
19. 难度:中等 | |
如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°,E为CD的中点,EF∥AB交BC于点F (1)求证:BF=AD+CF; (2)当AD=1,BC=7,且BE平分∠ABC时,求EF的长. |
20. 难度:中等 | |
如图,矩形ABCD中,AD=3厘米,AB=a厘米(a>3).动点M,N同时从B点出发,分别沿B⇒A,B⇒C运动,速度是1厘米/秒.过M作直线垂直于AB,分别交AN,CD于P,Q.当点N到达终点C时,点M也随之停止运动.设运动时间为t秒. (1)若a=4厘米,t=1秒,则PM=______厘米; (2)若a=5厘米,求时间t,使△PNB∽△PAD,并求出它们的相似比; (3)若在运动过程中,存在某时刻使梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等,求a的取值范围; (4)是否存在这样的矩形:在运动过程中,存在某时刻使梯形PMBN,梯形PQDA,梯形PQCN的面积都相等?若存在,求a的值;若不存在,请说明理由. |
21. 难度:中等 | |
如图,梯形ABCD中.AB∥CD.且AB=2CD,E,F分别是AB,BC的中点.EF与BD相交于点M. (1)求证:△EDM∽△FBM; (2)若DB=9,求BM. |
22. 难度:中等 | |
如图,梯形ABCD中,AB∥DC,∠B=90°,E为BC上一点,且AE⊥ED.若BC=12,DC=7,BE:EC=1:2,求AB的长. |
23. 难度:中等 | |
如图1,在梯形ABCD中,AB=BC=10cm,CD=6cm,∠C=∠D=90°. (1)如图2,动点P、Q同时以每秒1cm的速度从点B出发,点P沿BA,AD,DC运动到点C停止,点Q沿BC运动到点C停止,设P、Q同时从点B出发t秒时,△PBQ的面积为y1(cm2),求y1(cm2)关于t(秒)的函数关系式; (2)如图3,动点P以每秒1cm的速度从点B出发沿BA运动,点E在线段CD上随之运动,且PC=PE.设点P从点B出发t秒时,四边形PADE的面积为y2(cm2),求y2(cm2)关于t(秒)的函数关系式,并写出自变量t的取值范围. |
24. 难度:中等 | |
如图所示,等腰梯形ABCD中,DC∥AB,对角线AC与BD交于点O,AD=DC,AC=BD=AB. (1)若∠ABD=a,求a的度数; (2)求证:OB2=OD•BD. |
25. 难度:中等 | |
如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC=5,AD=6,BC=12.动点P从D点出发沿DC以每秒1个单位的速度向终点C运动,动点Q从C点出发沿CB以每秒2个单位的速度向B点运动.两点同时出发,当P点到达C点时,Q点随之停止运动. (1)梯形ABCD的面积等于______; (2)当PQ∥AB时,P点离开D点的时间等于______秒; (3)当P,Q,C三点构成直角三角形时,P点离开D点多少时间? |
26. 难度:中等 | |
如图所示,在平面直角坐标中,四边形OABC是等腰梯形,CB∥OA,OA=7,AB=4,∠COA=60°,点P为x轴上的一个动点,点P不与点0、点A重合.连接CP,过点P作PD交AB于点D. (1)求点B的坐标; (2)当点P运动什么位置时,△OCP为等腰三角形,求这时点P的坐标; (3)当点P运动什么位置时,使得∠CPD=∠OAB,且,求这时点P的坐标. |
27. 难度:中等 | |
如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=2,BC=4,点M是AD的中点,△MBC是等边三角形. (1)求证:梯形ABCD是等腰梯形; (2)动点P、Q分别在线段BC和MC上运动,且∠MPQ=60°保持不变.设PC=x,MQ=y,求y与x的函数关系式; (3)在(2)中: ①当动点P、Q运动到何处时,以点P、M和点A、B、C、D中的两个点为顶点的四边形是平行四边形?并指出符合条件的平行四边形的个数; ②当y取最小值时,判断△PQC的形状,并说明理由. |
28. 难度:中等 | |
如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=∠ACD. (1)请再写出图中另外一对相等的角; (2)若AC=6,BC=9,试求梯形ABCD的中位线的长度. |
29. 难度:中等 | |
如图,在△ABC中,∠BAC=2∠C. (1)在图中作出△ABC的内角平分线AD.(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写证明) (2)在已作出的图形中,写出一对相似三角形,并说明理由. |
30. 难度:中等 | |
如图,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D. (1)尺规作图(不写作法,保留作图痕迹):作△ABC的外接圆⊙O,作直径AE,连接BE; (2)若AB=8,AC=6,AD=5,求直径AE的长.(证明△ABE∽△ADC) |