第23章《二次函数与反比例函数》中考题集（45）：23.5 二次函数的应用（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

如图所示，在平面直角坐标中，抛物线的顶点P到x轴的距离是4，抛物线与x轴相交于O、M两点，OM=4；矩形ABCD的边BC在线段的OM上，点A、D在抛物线上．
（1）请写出P、M两点坐标，并求出这条抛物线的解析式；
（2）设矩形ABCD的周长为l，求l的最大值；
（3）连接OP、PM，则△PMO为等腰三角形，请判断在抛物线上是否存在点Q（除点M外），使得△OPQ也是等腰三角形，简要说明你的理由．

2. 难度：中等

已知二次函数的图象经过（0，0），（1，-1），（-2，14）三点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）设这个二次函数的图象与直线y=x+t（t≤1）相交于（x₁，y₁），（x₂，y₂）两点（x₁≠x₂）．
①求t的取值范围；
②设m=y₁²+y₂²，求m与t之间的函数关系式及m的取值范围．

3. 难度：中等

如图，已知抛物线的顶点坐标为M（1，4），且经过点N（2，3），与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式及点A、B、C的坐标；
（2）若直线y=kx+t经过C、M两点，且与x轴交于点D，试证明四边形CDAN是平行四边形；
（3）点P在抛物线的对称轴x=1上运动，请探索：在x轴上方是否存在这样的P点，使以P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

4. 难度：中等

已知：如图，在坐标平面内，A（0，0），B（12，0），C（12，6），D（0，6），点Q沿DA边从点D开始向点A以1单位/秒的速度移动．点P沿AB边从点A开始向B以2单位/秒的速度移动，假设P、Q同时出发，t表示移动的时间（0≤t≤6）．
（1）写出△PQA的面积S与t的函数关系式；
（2）四边形APCQ的面积与t有关吗？请说明理由；（3）当t为何值时，△PQC面积最小，并求此时△PQC的面积；
（4）△APQ能否成轴对称图形？若能，请求出相应的t值，并写出其对称轴的函数关系式；若不能，请说明理由．

5. 难度：中等

已知抛物线y=（1-a）x²+8x+b的图象的一部分如图所示，抛物的顶点在第一象限，且经过点A（0，-7）和点B．
（1）求a的取值范围；
（2）若OA=2OB，求抛物线的解析式．

6. 难度：中等

已知，如图，在直角坐标系中O是坐标原点，四边形AOCB是矩形，0C=6，OA=2，P是边AB上的任意一点．当点P在边AB上移动时，是否存在这样的点P使得OP⊥PC成立？若存在，请求出点P的坐标，画出满足条件的P点，并求出经过D、P、C三点的抛物线的对称轴；若不存在这样的P点，请说明理由．

7. 难度：中等

如图，抛物线y=-x²+x+6，与x轴交于A、B两点，与y轴相交于C点．
（1）求△ABC的面积；
（2）已知E点（0，-3），在第一象限的抛物线上取点D，连接DE，使DE被x轴平分，试判定四边形ACDE的形状，并证明你的结论．

8. 难度：中等

已知抛物线y=x²+bx-a²．
（1）请你选定a、b适当的值，然后写出这条抛物线与坐标轴的三个交点，并画出过三个交点的圆；
（2）试讨论此抛物线与坐标轴交点分别是1个，2个，3个时，a、b的取值范围，并且求出交点坐标．

9. 难度：中等

已知：以原点O为圆心、5为半径的半圆与y轴交于A、G两点，AB与半圆相切于点A，点B的坐标为（3，y_B）（如图1）；过半圆上的点C（x_C，y_C）作y轴的垂线，垂足为D；Rt△DOC的面积等于x_C²．
（1）求点C的坐标；
（2）①命题“如图2，以y轴为对称轴的等腰梯形MNPQ与M₁N₁P₁Q₁的上底和下底都分别在同一条直线上，NP∥MQ，PQ∥P₁Q₁，且NP＞MQ．设抛物线y=ax²+h过点P、Q，抛物线y=a₁x²+h₁过点P₁、Q₁，则h＞h₁”是真命题．请你以Q（3，5）、P（4，3）和Q₁（p，5）、P₁（p+1，3）为例进行验证；
②当图1中的线段BC在第一象限时，作线段BC关于y轴对称的线段FE，连接BF、CE，点T是线段BF上的动点（如图3）；设K是过T、B、C三点的抛物线y=ax²+bx+c的顶点，求K的纵坐标y_K的取值范围．

10. 难度：中等

如图，已知抛物线的顶点为M（2，-4），且过点A（-1，5），连接AM交x轴于点B．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）求点B的坐标；
（3）设点P（x，y）是抛物线在x轴下方、顶点左方一段上的动点，连接PO，以P为顶点、PO为腰的等腰三角形的另一顶点Q在x轴的垂线交直线AM于点R，连接PR，设△PQR的面积为S，求S与x之间的函数关系式；
（4）在上述动点P（x，y）中，是否存在使S_△PQR=2的点？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．

11. 难度：中等

已知：抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，0），一条直线y=ax+b，它们的系数之间满足如下关系：a＞b＞c．
（1）求证：抛物线与直线一定有两个不同的交点；
（2）设抛物线与直线的两个交点为A、B，过A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为A₁、B₁．令，试问：是否存在实数k，使线段A₁B₁的长为．如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．

12. 难度：中等

已知：抛物线的解析式为y=x²-（2m-1）x+m²-m，
（1）求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点；
（2）若此抛物线与直线y=x-3m+4的一个交点在y轴上，求m的值．

13. 难度：中等

已知：在矩形ABCD中，AB=2，E为BC边上的一点，沿直线DE将矩形折叠，使C点落在AB边上的C点处．过C′作C′H⊥DC，C′H分别交DE、DC于点G、H，连接CG、CC′，CC′交GE于点F．
（1）求证：四边形CGC′E为菱形；
（2）设sin∠CDE=x，并设y=，试将y表示成x的函数；
（3）当（2）中所求得的函数的图象达到最高点时，求BC的长．

14. 难度：中等

有一根直尺的短边长2cm，长边长10cm，还有一块锐角为45°的直角三角形纸板，它的斜边长12cm．如图1，将直尺的短边DE放置与直角三角形纸板的斜边AB重合，且点D与点A重合．将直尺沿AB方向平移（如图2），设平移的长度为xcm（0≤x≤10），直尺和三角形纸板的重叠部分（图中阴影部分）的面积为Scm²．
（1）当x=0时（如图1），S=______；当x=10时，S=______；
（2）当0＜x≤4时（如图2），求S关于x的函数关系式；
（3）当4＜x＜10时，求S关于x的函数关系式，并求出S的最大值（同学可在图3、图4中画草图）．

15. 难度：中等

已知：OE是⊙E的半径，以OE为直径的⊙D与⊙E的弦OA相交于点B，在如图所示的直角坐标系中，⊙E交y轴于点C，连接BE、AC．
（1）当点A在第一象限⊙E上移动时，写出你认为正确的结论：______（至少写出四种不同类型的结论）；
（2）若线段BE、OB的长是关于x的方程x²-（m+1）x+m=0的两根，且OB＜BE，OE=2，求以E点为顶点且经过点B的抛物线的解析式；
（3）该抛物线上是否存在点P，使得△PBE是以BE为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明其理由．

16. 难度：中等

如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BA=CD，AD的长为4，S_梯形ABCD=9．已知点A、B的坐标分别为（1，0）和（0，3）．
（1）求点C的坐标；
（2）取点E（0，1），连接DE并延长交AB于P试猜想DF与AB之间的关系，并证明你的结论；
（3）将梯形ABCD绕点A旋转180°后成梯形AB′C′D′，求对称轴为直线x=3，且过A、B′两点的抛物线的解析式．

17. 难度：中等

已知抛物线y=-x²+（m-2）x+3（m+1）交x轴于A（x₁，0），B（x₂，0），交y轴的正半轴于C点，且x₁＜x₂，|x₁|＞|x₂|，OA²+OB²=2OC+1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在与抛物线只有一个公共点C的直线．如果存在，求符合条件的直线的表达式；如果不存在，请说明理由．

18. 难度：中等

如图，一次函数y=kx+n的图象与x轴和y轴分别交于点A（6，0）和B（0，），线段AB的垂直平分线交x轴于点C，交AB于点D．
（1）试确定这个一次函数关系式；
（2）求过A、B、C三点的抛物线的函数关系式．

19. 难度：中等

如图，已知矩形ABCD的边长AB=2，BC=3，点P是AD边上的一动点（P异于A、D），Q是BC边上的任意一点．连AQ、DQ，过P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F．
（1）求证：△APE∽△ADQ；
（2）设AP的长为x，试求△PEF的面积S_△PEF关于x的函数关系式，并求当P在何处时，S_△PEF取得最大值，最大值为多少？
（3）当Q在何处时，△ADQ的周长最小？（须给出确定Q在何处的过程或方法，不必给出证明）

20. 难度：中等

四边形OABC是等腰梯形，OA∥BC．在建立如图的平面直角坐标系中，A（4，0），B（3，2），点M从O点以每秒2个单位的速度向终点A运动；同时点N从B点出发以每秒1个单位的速度向终点C运动，过点N作NP垂直于x轴于P点连接AC交NP于Q，连接MQ．
（1）写出C点的坐标；
（2）若动点N运动t秒，求Q点的坐标；（用含t的式子表示）
（3）其△AMQ的面积S与时间t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（4）当t取何值时，△AMQ的面积最大；
（5）当t为何值时，△AMQ为等腰三角形．

21. 难度：中等

抛物线y=ax²+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，已知抛物线的对称轴为x=1，B（3，0），C（0，-3），
（1）求二次函数y=ax²+bx+c的解析式；
（2）在抛物线对称轴上是否存在一点P，使点P到B、C两点距离之差最大？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）平行于x轴的一条直线交抛物线于M、N两点，若以MN为直径的圆恰好与x轴相切，求此圆的半径．

22. 难度：中等

已知抛物线y=（k-1）x²+（2+4k）x+1-4k过点A（4，0）．
（1）试确定抛物线的解析式及顶点B的坐标；
（2）在y轴上确定一点P，使线段AP+BP最短，求出P点的坐标；
（3）设M为线段AP的中点，试判断点B与以AP为直径的⊙M的位置关系，并说明理由．

23. 难度：中等

如图所示，己知点P是x轴上一点，以P为圆心的⊙P分别与x轴、y轴交于点A、B和C、D，其中A（-3，0），B（1，0）．过点C作⊙P的切线交x轴于点E．
（1）求直线CE的解析式；
（2）求过A、B、C三点的抛物线解析式；
（3）第（2）问中的抛物线的顶点是否在直线CE上，请说明理由；
（4）点F是线段CE上一动点，点F的横坐标为m，问m在什么范围内时，直线FB与⊙P相交？

24. 难度：中等

如图，己知抛物线y=x²+px+q与x轴交于A、B两点，∠ACB=90°，交y轴负半轴于C点，点B在点A的右侧，且．
（1）求抛物线的解析式，
（2）求△ABC的外接圆面积；
（3）设抛物线y=x²+px+q的顶点为D，求四边形ACDB的面积；
（4）在抛物线y=x²+px+q上是否存在点P，使得△PAB的面积为2？如果有，这样的点有几个？写出它们的坐标；如果没有，说明理由．

25. 难度：中等

图1是边长分别为4和3的两个等边三角形纸片ABC和C′D′E′叠放在一起（C与C′重合）．
（1）操作：固定△ABC，将△C′D′E′绕点C顺时针旋转30°得到△CDE，连接AD、BE，CE的延长线交AB于F（图2）；
探究：在图2中，线段BE与AD之间有怎样的大小关系？试证明你的结论．
（2）操作：将图2中的△CDE，在线段CF上沿着CF方向以每秒1个单位的速度平移，平移后的△CDE设为△PQR（图3）；
探究：设△PQR移动的时间为x秒，△PQR与△ABC重叠部分的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数自变量x的取值范围．
（3）操作：图1中△C′D′E′固定，将△ABC移动，使顶点C落在C′E′的中点，边BC交D′E′于点M，边AC交D′C′于点N，设∠AC C′=α（30°＜α＜90°（图4）；
探究：在图4中，线段C′N•E′M的值是否随α的变化而变化？如果没有变化，请你求出C′N•E′M的值，如果有变化，请你说明理由．

26. 难度：中等

已知：如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3厘米，CB=4厘米．两个动点P、Q分别从A、C两点同时按顺时针方向沿△ABC的边运动．当点Q运动到点A时，P、Q两点运动即停止．点P、Q的运动速度分别为1厘米/秒、2厘米/秒，设点P运动时间为t（秒）．
（1）当时间t为何值时，以P、C、Q三点为顶点的三角形的面积（图中的阴影部分）等于2厘米²；
（2）当点P、Q运动时，阴影部分的形状随之变化．设PQ与△ABC围成阴影部分面积为S（厘米²），求出S与时间t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；
（3）点P、Q在运动的过程中，阴影部分面积S有最大值吗？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由．

27. 难度：中等

如图一，平面直角坐标系中有一张矩形纸片OABC，O为坐标原点，A点坐标为（10，0），C点坐标为（0，6），D是BC边上的动点（与点B，C不重合），现将△COD沿OD翻折，得到△FOD；再在AB边上选取适当的点E，将△BDE沿DE翻折，得到△GDE，并使直线DG、DF重合．
（1）如图二，若翻折后点F落在OA边上，求直线DE的函数关系式；
（2）设D（a，6），E（10，b），求b关于a的函数关系式，并求b的最小值；
（3）一般地，请你猜想直线DE与抛物线y=-x²+6的公共点的个数，在图二的情形中通过计算验证你的猜想；如果直线DE与抛物线y=-x²+6始终有公共点，请在图一中作出这样的公共点．

28. 难度：中等

已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于不同的两点A（x₁，0）和B（x₂，0），与y轴的正半轴交于点C．如果x₁、x₂是方程x²-x-6=0的两个根（x₁＜x₂），且△ABC的面积为．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求直线AC和BC的方程；
（3）如果P是线段AC上的一个动点（不与点A、C重合），过点P作直线y=m（m为常数），与直线BC交于点Q，则在x轴上是否存在点R，使得△PQR为等腰直角三角形？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．

29. 难度：中等

如图，正方形ABCD的边长为5cm，Rt△EFG中，∠G=90°，FG=4cm，EG=3cm，且点B、F、C、G在直线l上，△EFG由F、C重合的位置开始，以1cm/秒的速度沿直线l按箭头所表示的方向作匀速直线运动．
（1）当△EFG运动时，求点E分别运动到CD上和AB上的时间；
（2）设x（秒）后，△EFG与正方形ABCD重合部分的面积为y（cm²），求y与x的函数关系式；
（3）在下面的直角坐标系中，画出0≤x≤2时中函数的大致图象；如果以O为圆心的圆与该图象交于点P（x，），与x轴交于点A、B（A在B的左侧），求∠PAB的度数．

30. 难度：中等

如图，已知抛物线y=x²-2x+n与x轴交于不同的两点A，B，其顶点是C，D是抛物线的对称轴与x轴的交点．
（1）求实数n的取值范围．
（2）求顶点C的坐标；
（3）求线段AB的长；
（4）若直线y=x+1分别交x轴于E，交y轴于F，问△BDC与△EOF是否有可能全等？如果有可能全等请给出证明；如果不可能全等请说明理由．