1. 难度:中等 | |
经过x轴上A(-1,0)、B(3,0)两点的抛物线y=ax2+bx+c交y轴于点C,设抛物线的顶点为D,若以DB为直径的⊙G经过点C,求解下列问题: (1)用含a的代数式表示出C,D的坐标; (2)求抛物线的解析式; (3)如图,当a<0时,能否在抛物线上找到一点Q,使△BDQ为直角三角形?你能写出Q点的坐标吗? |
2. 难度:中等 | |
如图,抛物线y=x2+mx+n交x轴于A、B两点,交y轴于点C,点P是它的顶点,点A的横坐标是-3,点B的横坐标是1. (1)求m、n的值; (2)求直线PC的解析式; (3)请探究以点A为圆心、直径为5的圆与直线PC的位置关系,并说明理由.(参考数:≈1.41,≈1.73,≈2.24) |
3. 难度:中等 | |
如图,抛物线y=ax2-5ax+4经过△ABC的三个顶点,已知BC∥x轴,点A在x轴上,点C在y轴上,且AC=BC. (1)求抛物线的对称轴; (2)写出A,B,C三点的坐标并求抛物线的解析式; (3)探究:若点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点,是否存在△PAB是等腰三角形?若存在,求出所有符合条件的点P坐标;不存在,请说明理由. |
4. 难度:中等 | |
如图1,在△ABC中,∠A=90°,AB=4,AC=3.M是边AB上的动点(M不与A,B重合),MN∥BC交AC于点N,△AMN关于MN的对称图形是△PMN.设AM=x. (1)用含x的式子表示△AMN的面积(不必写出过程); (2)当x为何值时,点P恰好落在边BC上; (3)在动点M的运动过程中,记△PMN与梯形MBCN重叠部分的面积为y,试求y关于x的函数关系式;并求x为何值时,重叠部分的面积最大,最大面积是多少? |
5. 难度:中等 | |
如图所示,在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点(A在B的左侧),与y轴交于C点. (1)试判断b与c的积是正数还是负数,为什么? (2)如果AB=4,且当抛物线y=-x2+bx+c的图象向左平移一个单位时,其顶点在y轴上. ①求原抛物线的表达式; ②设P是线段OB上的一个动点,过点P作PE⊥x轴交原抛物线于E点.问:是否存在P点,使直线BC把△PCE分成面积之比为3:1的两部分?若存在,求出P点的坐标;若不存在,请说明理由. |
6. 难度:中等 | |
如图1,已知抛物线的顶点为A(2,1),且经过原点O,与x轴的另一个交点为B. (1)求抛物线的解析式; (2)若点C在抛物线的对称轴上,点D在抛物线上,且以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形,求D点的坐标; (3)连接OA、AB,如图2,在x轴下方的抛物线上是否存在点P,使得△OBP与△OAB相似?若存在,求出P点的坐标;若不存在,说明理由. |
7. 难度:中等 | |
如图,已知正方形ABCD与正方形EFGH的边长分别是和,它们的中心O1,O2都在直线l上,AD∥l,EG在直线l上,l与DC相交于点M,ME=7-2,当正方形EFGH沿直线l以每秒1个单位的速度向左平移时,正方形ABCD也绕O1以每秒45°顺时针方向开始旋转,在运动变化过程中,它们的形状和大小都不改变. (1)在开始运动前,O1O2=______; (2)当两个正方形按照各自的运动方式同时运动3秒时,正方形ABCD停止旋转,这时AE=______,O1O2=______; (3)当正方形ABCD停止旋转后,正方形EFGH继续向左平移的时间为x秒,两正方形重叠部分的面积为y,求y与x之间的函数表达式. |
8. 难度:中等 | |
如图,在平面直角坐标系中,直角梯形ABCO的边OC落在x轴的正半轴上,且AB∥OC,BC⊥OC,AB=4,BC=6,OC=8.正方形ODEF的两边分别落在坐标轴上,且它的面积等于直角梯形ABCO面积.将正方形ODEF沿x轴的正半轴平行移动,设它与直角梯形ABCO的重叠部分面积为S. (1)分析与计算:求正方形ODEF的边长; (2)操作与求【解析】 ①正方形ODEF平行移动过程中,通过操作、观察,试判断S(S>0)的变化情况是______; A、逐渐增大B、逐渐减少C、先增大后减少D、先减少后增大 ②当正方形ODEF顶点O移动到点C时,求S的值; (3)探究与归纳: 设正方形ODEF的顶点O向右移动的距离为x,求重叠部分面积S与x的函数关系式. |
9. 难度:中等 | |
如图,抛物线y=x2+bx+c(b≤0)的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,其中点A的坐标为(-2,0);直线x=1与抛物线交于点E,与x轴交于点F,且45°≤∠FAE≤60度. (1)用b表示点E的坐标; (2)求实数b的取值范围; (3)请问△BCE的面积是否有最大值?若有,求出这个最大值;若没有,请说明理由. |
10. 难度:中等 | |
已知抛物线y=ax2+bx+c的图象交x轴于点A(x,0)和点B(2,0),与y轴的正半轴交于点C,其对称轴是直线x=-1,tan∠BAC=2,点A关于y轴的对称点为点D. (1)确定A、C、D三点的坐标; (2)求过B、C、D三点的抛物线的解析式; (3)若过点(0,3)且平行于x轴的直线与(2)小题中所求抛物线交于M、N两点,以MN为一边,抛物线上任意一点P(x,y)为顶点作平行四边形,若平行四边形的面积为S,写出S关于P点纵坐标y的函数解析式; (4)当<x<4时,(3)小题中平行四边形的面积是否有最大值?若有,请求出;若无,请说明理由. |
11. 难度:中等 | |
在平面直角坐标系中,△AOB的位置如图所示,已知∠AOB=90°,AO=BO,点A的坐标为(-3,1). (1)求点B的坐标; (2)求过A,O,B三点的抛物线的解析式; (3)设抛物线的对称轴为直线l,P是直线l上的一点,且△PAB的面积等于△AOB的面积,求点P的坐标. |
12. 难度:中等 | |
已知抛物线y=x2-2x+m与x轴交于点A(x1,0)、B(x2,0)(x2>x1), (1)若点P(-1,2)在抛物线y=x2-2x+m上,求m的值; (2)若抛物线y=ax2+bx+m与抛物线y=x2-2x+m关于y轴对称,点Q1(-2,q1)、Q2(-3,q2)都在抛物线y=ax2+bx+m上,则q1、q2的大小关系是______; (请将结论写在横线上,不要写解答过程);(友情提示:结论要填在答题卡相应的位置上) (3)设抛物线y=x2-2x+m的顶点为M,若△AMB是直角三角形,求m的值. |
13. 难度:中等 | |
如图1,在平面直角坐标系中,有一张矩形纸片OABC,已知O(0,0),A(4,0),C(0,3),点P是OA边上的动点(与点O、A不重合).现将△PAB沿PB翻折,得到△PDB;再在OC边上选取适当的点E,将△POE沿PE翻折,得到△PFE,并使直线PD、PF重合. (1)设P(x,0),E(0,y),求y关于x的函数关系式,并求y的最大值; (2)如图2,若翻折后点D落在BC边上,求过点P、B、E的抛物线的函数关系式; (3)在(2)的情况下,在该抛物线上是否存在点Q,使△PEQ是以PE为直角边的直角三角形?若不存在,说明理由;若存在,求出点Q的坐标. |
14. 难度:中等 | |
如图,矩形OABC的边OC,OA分别与x轴,y轴重合,点B的坐标是(,1),点D是AB边上一个动点(与点A不重合),沿OD将△OAD翻折,点A落在点P处. (1)若点P在一次函数y=2x-1的图象上,求点P的坐标; (2)若点P在抛物线y=ax2图象上,并满足△PCB是等腰三角形,求该抛物线解析式; (3)当线段OD与PC所在直线垂直时,在PC所在直线上作出一点M,使DM+BM最小,并求出这个最小值. |
15. 难度:中等 | |
如图1,在平面直角坐标系中,已知点A(0,4),点B在x正半轴上,且∠ABO=30度.动点P在线段AB上从点A向点B以每秒个单位的速度运动,设运动时间为t秒.在x轴上取两点M,N作等边△PMN. (1)求直线AB的解析式; (2)求等边△PMN的边长(用t的代数式表示),并求出当等边△PMN的顶点M运动到与原点O重合时t的值; (3)如果取OB的中点D,以OD为边在Rt△AOB内部作如图2所示的矩形ODCE,点C在线段AB上.设等边△PMN和矩形ODCE重叠部分的面积为S,请求出当0≤t≤2秒时S与t的函数关系式,并求出S的最大值. |
16. 难度:中等 | |
在直角坐标系中,O为坐标原点,点A的坐标为(2,2),点C是线段OA上的一个动点(不运动至O,A两点),过点C作CD⊥x轴,垂足为D,以CD为边作如图所示的正方形CDEF.连接AF并延长交x轴的正半轴于点B,连接OF. (1)猜想OD和DE之间的数量关系,并说明理由; (2)设OD=t,求OB的长(用含t的代数式表示); (3)若点B在E的右侧时,△BFE与△OFE能否相似?若能,请你求出此时经过O,A,B三点的抛物线解析式;若不能,请说明理由. |
17. 难度:中等 | |
设抛物线y=ax2+bx-2与x轴交于两个不同的点A(-1,0)、B(m,0),与y轴交于点C,且∠ACB=90度. (1)求m的值和抛物线的解析式; (2)已知点D(1,n)在抛物线上,过点A的直线y=x+1交抛物线于另一点E.若点P在x轴上,以点P、B、D为顶点的三角形与△AEB相似,求点P的坐标; (3)在(2)的条件下,△BDP的外接圆半径等于______ |
18. 难度:中等 | |
如图,BC是⊙O的直径,点A在圆上,且AB=AC=4. P为AB上一点,过P作PE⊥AB分别交BC、OA于E、F. (1)设AP=1,求△OEF的面积; (2)设AP=a(0<a<2),△APF、△OEF的面积分别记为S1、S2. ①若S1=S2,求a的值; ②若S=S1+S2,是否存在一个实数a,使S<?若存在,求出一个a的值;若不存在,说明理由. |
19. 难度:中等 | |
已知:如图,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,BC=CD=10,sinC=. (1)求梯形ABCD的面积; (2)点E,F分别是BC,CD上的动点,点E从点B出发向点C运动,点F从点C出发向点D运动,若两点均以每秒1个单位的速度同时出发,连接EF.求△EFC面积的最大值,并说明此时E,F的位置. |
20. 难度:中等 | |
如图①,在边长为8cm正方形ABCD中,E,F是对角线AC上的两个动点,它们分别从点A,点C同时出发,沿对角线以1cm/s同速度运动,过E作EH垂直AC交的直角边于H;过F作FG垂直AC交Rt△ACD的直角边于G,连接HG,EB.设HE,EF,FG,GH围成的图形面积为S1,AE,EB,BA围成的图形面积为S2(这里规定:线段的面积为0).E到达C,F到达A停止.若E的运动时间为xs,解答下列问题: (1)当0<x<8时,直接写出以E,F,G,H为顶点的四边形是什么四边形,并求x为何值时,S1=S2. (2)①若y是S1与S2的和,求y与x之间的函数关系式.(图②为备用图) ②求y的最大值. |
21. 难度:中等 | |
已知:如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCO是菱形,且∠AOC=60°,点B的坐标是(0,8),点P从点C开始以每秒1个单位长度的速度在线段CB上向点B移动,同时,点Q从点O开始以每秒a(1≤a≤3)个单位长度的速度沿射线OA方向移动设t(0<t≤8)秒后,直线PQ交OB于点D. (1)求∠AOB的度数及线段OA的长; (2)求经过A,B,C三点的抛物线的解析式; (3)当a=3,OD=时,求t的值及此时直线PQ的解析式; (4)当a为何值时,以O,Q,D为顶点的三角形与△OAB相似?当a为何值时,以O,Q,D为顶点的三角形与△OAB不相似?请给出你的结论,并加以证明. |
22. 难度:中等 | |
两个直角边为6的全等的等腰直角三角形Rt△AOB和Rt△CED按图1所示的位置放置,A与C重合,O与C重合. (1)求图1中,A,B,D三点的坐标; (2)Rt△AOB固定不动,Rt△CED沿x轴以每秒2个单位长的速度向右运动,当D点运动到与B点重合时停止,设运动x秒后Rt△CED和Rt△AOB重叠部分面积为y,求y与x之间的函数关系式; (3)当Rt△CED以(2)中的速度和方向运动,运动时间x=4秒时Rt△CED运动到如图2所示的位置,求经过A,G,C三点的抛物线的解析式; (4)现有一半径为2,圆心P在(3)中的抛物线上运动的动圆,试问⊙P在运动过程中是否存在⊙P与x轴或y轴相切的情况?若存在,请求出P的坐标,若不存在,请说明理由. |
23. 难度:中等 | |
如图,P是射线y=x(x>0)上的一动点,以P为圆心的圆与y轴相切于C点,与x轴的正半轴交于A、B两点. (1)若⊙P的半径为5,则P点坐标是______;A点坐标是______;以P为顶点,且经过A点的抛物线的解析式是______; (2)在(1)的条件下,上述抛物线是否经过点C关于原点的对称点D,请说明理由; (3)试问:是否存在这样的直线l,当P在运动过程中,经过A、B、C三点的抛物线的顶点都在直线l上?若存在,请求出直线l的解析式;若不存在,请说明理由. |
24. 难度:中等 | |
如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=1.点P在AC上,PQ⊥BP,交CD于Q,PE⊥CD,交于CD于E.点P从A点(不含A)沿AC方向移动,直到使点Q与点C重合为止. (1)设AP=x,△PQE的面积为S.请写出S关于x的函数解析式,并确定x的取值范围. (2)点P在运动过程中,△PQE的面积是否有最大值?若有,请求出最大值及此时AP的取值;若无,请说明理由. |
25. 难度:中等 | |
如图,在等腰△ABC中,AB=AC=5cm,BC=6cm,AD⊥BC,垂足为点D.点P,Q分别从B,C两点同时出发,其中点P从点B开始沿BC边向点C运动,速度为1cm/s,点Q从点C开始沿CA边向点A运动,速度为2cm/s,设它们运动的时间为x. (1)当x为何值时,将△PCQ沿直线PQ翻折180°,使C点落到C′点,得到的四边形CQC′P是菱形; (2)设△PQD的面积为y(cm2),当0<x<2.5时,求y与x的函数关系式; (3)当0<x<2.5时,是否存在x,使得△PDM与△MDQ的面积比为5:3?若存在,求出x的值;若不存在,请说明理由. |
26. 难度:中等 | |
如图,对称轴为直线x=的抛物线经过点A(6,0)和B(0,4). (1)求抛物线解析式及顶点坐标; (2)设点E(x,y)是抛物线上一动点,且位于第四象限,四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形,求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围; ①当平行四边形OEAF的面积为24时,请判断平行四边形OEAF是否为菱形? ②是否存在点E,使平行四边形OEAF为正方形?若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由. |
27. 难度:中等 | |
如图,四边形OABC为直角梯形,A(4,0),B(3,4),C(0,4).点M从O出发以每秒2个单位长度的速度向A运动;点N从B同时出发,以每秒1个单位长度的速度向C运动.其中一个动点到达终点时,另一个动点也随之停止运动.过点N作NP垂直x轴于点P,连接AC交NP于Q,连接MQ. (1)点______(填M或N)能到达终点; (2)求△AQM的面积S与运动时间t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围,当t为何值时,S的值最大; (3)是否存在点M,使得△AQM为直角三角形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由. |
28. 难度:中等 | |
如图,已知抛物线y=-x2+x+2的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴与x轴交于点D.点M从O点出发,以每秒1个单位长度的速度向B运动,过M作x轴的垂线,交抛物线于点P,交BC于Q. (1)求点B和点C的坐标; (2)设当点M运动了x(秒)时,四边形OBPC的面积为S,求S与x的函数关系式,并指出自变量x的取值范围; (3)在线段BC上是否存在点Q,使得△DBQ成为以BQ为一腰的等腰三角形?若存在,求出点Q的坐标,若不存在,说明理由. |
29. 难度:中等 | |
如图,已知二次函数y=ax2-4x+c的图象经过点A和点B. (1)求该二次函数的表达式; (2)写出该抛物线的对称轴及顶点坐标; (3)点P(m,m)与点Q均在该函数图象上(其中m>0),且这两点关于抛物线的对称轴对称,求m的值及点Q到x轴的距离. |
30. 难度:中等 | |
在直角梯形ABCD中,∠C=90°,高CD=6cm(如图1).动点P,Q同时从点B出发,点P沿BA,AD,DC运动到点C停止,点Q沿BC运动到C点停止.两点运动时的速度都是1cm/s.而当点P到达点A时,点Q正好到达点C.设P,Q同时从点B出发,经过的时间为t(s)时,△BPQ的面积为y(cm2)(如图2).分别以x,y为横、纵坐标建立直角坐标系,已知点P在AD边上从A到D运动时,y与t的函数图象是图3中的线段MN. (1)分别求出梯形中BA,AD的长度; (2)写出图3中M,N两点的坐标; (3)分别写出点P在BA边上和DC边上运动时,y与t的函数关系式(注明自变量的取值范围),并在答题卷的图4(放大了的图3)中补全整个运动中y关于t的函数关系的大致图象. |