1. 难度:中等 | |
如图,已知二次函数y=-+bx+c的图象经过A(2,0)、B(0,-6)两点. (1)求这个二次函数的解析式; (2)设该二次函数的对称轴与x轴交于点C,连接BA、BC,求△ABC的面积. |
2. 难度:中等 | |
已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(-4,3)、B(2,0)两点,当x=3和x=-3时,这条抛物线上对应点的纵坐标相等.经过点C(0,-2)的直线l与x轴平行,O为坐标原点. (1)求直线AB和这条抛物线的解析式; (2)以A为圆心,AO为半径的圆记为⊙A,判断直线l与⊙A的位置关系,并说明理由; (3)设直线AB上的点D的横坐标为-1,P(m,n)是抛物线y=ax2+bx+c上的动点,当△PDO的周长最小时,求四边形CODP的面积. |
3. 难度:中等 | |
如图,已知点B(1,3),C(1,0),直线y=x+k经过点B,且与x轴交于点A,将△ABC沿直线AB折叠得到△ABD. (1)填空:A点坐标为(______,______),D点坐标为(______,______); (2)若抛物线y=x2+bx+c经过C,D两点,求抛物线的解析式; (3)将(2)中的抛物线沿y轴向上平移,设平移后所得抛物线与y轴交点为E,点M是平移后的抛物线与直线AB的公共点,在抛物线平移过程中是否存在某一位置使得直线EM∥x轴.若存在,此时抛物线向上平移了几个单位?若不存在,请说明理由. (提示:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是x=-,顶点坐标是(-,) |
4. 难度:中等 | |
如图,把抛物线y=-x2(虚线部分)向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度,得出抛物线l1,抛物线l2与抛物线l1关于y轴对称.点A,O,B分别是抛物线l1,l2与x轴的交点,D,C分别是抛物线l1,l2的顶点,线段CD交y轴于点E. (1)分别写出抛物线l1与l2的解析式; (2)设P使抛物线l1上与D,O两点不重合的任意一点,Q点是P点关于y轴的对称点,试判断以P,Q,C,D为顶点的四边形是什么特殊的四边形?请说明理由. (3)在抛物线l1上是否存在点M,使得S△ABM=S四边形AOED?如果存在,求出M点的坐标;如果不存在,请说明理由. |
5. 难度:中等 | |
如图,抛物线y=mx2-2mx-3m(m>0)与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点. (1)请求出抛物线顶点M的坐标(用含m的代数式表示),A、B两点的坐标; (2)经探究可知,△BCM与△ABC的面积比不变,试求出这个比值; (3)是否存在使△BCM为直角三角形的抛物线?若存在,请求出;如果不存在,请说明理由. |
6. 难度:中等 | |
如图,抛物线y=ax2+bx+4与x轴的两个交点分别为A(-4,0)、B(2,0),与y轴交于点C,顶点为D.E(1,2)为线段BC的中点,BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G. (1)求抛物线的函数解析式,并写出顶点D的坐标; (2)在直线EF上求一点H,使△CDH的周长最小,并求出最小周长; (3)若点K在x轴上方的抛物线上运动,当K运动到什么位置时,△EFK的面积最大?并求出最大面积. |
7. 难度:中等 | |
如图,将腰长为的等腰Rt△ABC(∠C是直角)放在平面直角坐标系中的第二象限,其中点A在y轴上,点B在抛物线y=ax2+ax-2上,点C的坐标为(-1,0). (1)点A的坐标为______,点B的坐标为______; (2)抛物线的关系式为______,其顶点坐标为______; (3)将三角板ABC绕顶点A逆时针方向旋转90°,到达△AB′C′的位置.请判断点B′、C′是否在(2)中的抛物线上,并说明理由. |
8. 难度:中等 | |
如图,Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上,O为坐标原点,A、B两点的坐标分别为(-3,0)、(0,4),抛物线y=+bx+c经过B点,且顶点在直线x=上. (1)求抛物线对应的函数关系式; (2)若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的,当四边形ABCD是菱形时,试判断点C和点D是否在该抛物线上,并说明理由; (3)在(2)的前提下,若M点是CD所在直线下方该抛物线上的一个动点,过点M作MN平行于y轴交CD于点N.设点M的横坐标为t,MN的长度为l.求l与t之间的函数关系式,并求l取最大值时,点M的坐标. |
9. 难度:中等 | |
如图,在直角坐标系xOy中,正方形OCBA的顶点A,C分别在y轴,x轴上,点B坐标为(6,6),抛物线y=ax2+bx+c经过点A,B两点,且3a-b=-1. (1)求a,b,c的值; (2)如果动点E,F同时分别从点A,点B出发,分别沿A→B,B→C运动,速度都是每秒1个单位长度,当点E到达终点B时,点E,F随之停止运动,设运动时间为t秒,△EBF的面积为S. ①试求出S与t之间的函数关系式,并求出S的最大值; ②当S取得最大值时,在抛物线上是否存在点R,使得以E,B,R,F为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出点R的坐标;如果不存在,请说明理由. |
10. 难度:中等 | |
已知二次函数y1=x2-2x-3及一次函数y2=x+m. (1)求该二次函数图象的顶点坐标以及它与x轴的交点坐标; (2)将该二次函数图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方,图象的其余部分不变,得到一个新图象.请你在图中画出这个新图象,并求出新图象与直线y2=x+m有三个不同公共点时m的值; (3)当0≤x≤2时,函数y=y1+y2+(m-2)x+3的图象与x轴有两个不同公共点,求m的取值范围. |
11. 难度:中等 | |
在平面直角坐标系中,点A、B的坐标分别为(10,0),(2,4). (1)若点C是点B关于x轴的对称点,求经过O、C、A三点的抛物线的解析式; (2)若P为抛物线上异于C的点,且△OAP是直角三角形,请直接写出点P的坐标; (3)若抛物线顶点为D,对称轴交x轴于点M,探究:抛物线对称轴上是否存在异于D的点Q,使△AQD是等腰三角形?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由. |
12. 难度:中等 | |
如图:二次函数y=-x2+ax+b的图象与x轴交于A(-,0),B(2,0)两点,且与y轴交于点C. (1)求该抛物线的解析式,并判断△ABC的形状; (2)在x轴上方的抛物线上有一点D,且A、C、D、B四点为顶点的四边形是等腰梯形,请直接写出D点的坐标; (3)在此抛物线上是否存在点P,使得以A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形?若存在,求出P点的坐标;若不存在,说明理由. |
13. 难度:中等 | |
如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x=1,且抛物线经过A(-1,0)、C(0,-3)两点,与x轴交于另一点B. (1)求这条抛物线所对应的函数关系式; (2)在抛物线的对称轴x=1上求一点M,使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小,并求出此时点M的坐标; (3)设点P为抛物线的对称轴x=1上的一动点,求使∠PCB=90°的点P的坐标. |
14. 难度:中等 | |
已知:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0),顶点C(1,-4),与x轴交于A、B两点,A(-1,0). (1)求这条抛物线的解析式; (2)如图,以AB为直径作圆,与抛物线交于点D,与抛物线的对称轴交于点E,依次连接A、D、B、E,点Q为线段AB上一个动点(Q与A、B两点不重合),过点Q作QF⊥AE于F,QG⊥DB于G,请判断是否为定值?若是,请求出此定值;若不是,请说明理由; (3)在(2)的条件下,若点H是线段EQ上一点,过点H作MN⊥EQ,MN分别与边AE、BE相交于M、N,(M与A、E不重合,N与E、B不重合),请判断是否成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由. |
15. 难度:中等 | |
△ABC中,∠A=∠B=30°,AB=2,把△ABC放在平面直角坐标系中,使AB的中点位于坐标原点O(如图),△ABC可以绕点O作任意角度的旋转. (1)当点B在第一象限,纵坐标是时,求点B的横坐标; (2)如果抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴经过点C,请你探究: ①当a=,b=-,c=-时,A,B两点是否都在这条抛物线上?并说明理由; ②设b=-2am,是否存在这样的m的值,使A,B两点不可能同时在这条抛物线上?若存在,直接写出m的值;若不存在,请说明理由. |
16. 难度:中等 | |
如图,在平面直角示系中,A、B两点的坐标分别是A(-1,0)、B(4,0),点C在y轴的负半轴上,且∠ACB=90° (1)求点C的坐标; (2)求经过A、B、C三点的抛物线的解析式; (3)直线l⊥x轴,若直线l由点A开始沿x轴正方向以每秒1个单位的速度匀速向右平移,设运动时间为t(0≤t≤5)秒,运动过程中直线l在△ABC中所扫过的面积为S,求S与t的函数关系式. |
17. 难度:中等 | |
如图所示,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C(0,2),连接AC,若tan∠OAC=2. (1)求抛物线对应的二次函数的解析式; (2)在抛物线的对称轴l上是否存在点P,使∠APC=90°?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由; (3)如图所示,连接BC,M是线段BC上(不与B、C重合)的一个动点,过点M作直线l′∥l,交抛物线于点N,连接CN、BN,设点M的横坐标为t.当t为何值时,△BCN的面积最大?最大面积为多少? |
18. 难度:中等 | |
如图1,已知矩形ABCD的顶点A与点O重合,AD、AB分别在x轴、y轴上,且AD=2,AB=3;抛物线y=-x2+bx+c经过坐标原点O和x轴上另一点E(4,0) (1)当x取何值时,该抛物线取最大值?该抛物线的最大值是多少? (2)将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动,同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动.设它们运动的时间为t秒(0≤t≤3),直线AB与该抛物线的交点为N(如图2所示). ①当t=时,判断点P是否在直线ME上,并说明理由; ②以P、N、C、D为顶点的多边形面积是否可能为5?若有可能,求出此时N点的坐标;若无可能,请说明理由. |
19. 难度:中等 | |
如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A(2,0),B(6,0)两点,交y轴于点. (1)求此抛物线的解析式; (2)若此抛物线的对称轴与直线y=2x交于点D,作⊙D与x轴相切,⊙D交y轴于点E、F两点,求劣弧EF的长; (3)P为此抛物线在第二象限图象上的一点,PG垂直于x轴,垂足为点G,试确定P点的位置,使得△PGA的面积被直线AC分为1:2两部分? |
20. 难度:中等 | |
已知:如图一次函数y=x+1的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B;二次函数y=x2+bx+c的图象与一次函数y=x+1的图象交于B、C两点,与x轴交于D、E两点且D点坐标为(1,0). (1)求二次函数的解析式; (2)求四边形BDEC的面积S; (3)在x轴上是否存在点P,使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形?若存在,求出所有的点P,若不存在,请说明理由. |
21. 难度:中等 | |
如图,抛物线与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点,且x1>x2,与y轴交于点C(0,4),其中x1,x2是方程x2-2x-8=0的两个根. (1)求这条抛物线的解析式; (2)点P是线段AB上的动点,过点P作PE∥AC,交BC于点E,连接CP,当△CPE的面积最大时,求点P的坐标; (3)探究:若点Q是抛物线对称轴上的点,是否存在这样的点Q,使△QBC成为等腰三角形?若存在,请直接写出所有符合条件的点Q的坐标;若不存在,请说明理由. |
22. 难度:中等 | |
如图,已知经过原点的抛物线y=-2x2+4x与x轴的另一交点为A,现将它向右平移m(m>0)个单位,所得抛物线与x轴交于C、D两点,与原抛物线交于点P. (1)求点A的坐标,并判断△PCA存在时它的形状(不要求说理); (2)在x轴上是否存在两条相等的线段?若存在,请一一找出,并写出它们的长度(可用含m的式子表示);若不存在,请说明理由; (3)设△CDP的面积为S,求S关于m的关系式. |
23. 难度:中等 | |
如图,平面直角坐标系中,点A、B、C在x轴上,点D、E在y轴上,OA=OD=2,OC=OE=4,DB⊥DC,直线AD与经过B、E、C三点的抛物线交于F、G两点,与其对称轴交于M.点P为线段FG上一个动点(与F、G不重合),PQ∥y轴与抛物线交于点Q. (1)求经过B、E、C三点的抛物线的解析式; (2)是否存在点P,使得以P、Q、M为顶点的三角形与△AOD相似?若存在,求出满足条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由; (3)若抛物线的顶点为N,连接QN,探究四边形PMNQ的形状:①能否成为菱形;②能否成为等腰梯形?若能,请直接写出点P的坐标;若不能,请说明理由. |
24. 难度:中等 | |
如图,已知抛物线y=-x2+x+4交x轴的正半轴于点A,交y轴于点B. (1)求A、B两点的坐标,并求直线AB的解析式; (2)设P(x,y)(x>0)是直线y=x上的一点,Q是OP的中点(O是原点),以PQ为对角线作正方形PEQF,若正方形PEQF与直线AB有公共点,求x的取值范围; (3)在(2)的条件下,记正方形PEQF与△OAB公共部分的面积为S,求S关于x的函数解析式,并探究S的最大值. |
25. 难度:中等 | |
如图,在平面直角坐标系中,顶点为(4,-1)的抛物线交y轴于A点,交x轴于B,C两点(点B在点C的左侧),已知A点坐标为(0,3). (1)求此抛物线的解析式 (2)过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D,如果以点C为圆心的圆与直线BD相切,请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系,并给出证明; (3)已知点P是抛物线上的一个动点,且位于A,C两点之间,问:当点P运动到什么位置时,△PAC的面积最大?并求出此时P点的坐标和△PAC的最大面积. |
26. 难度:中等 | |
如图所示,抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A、B两点,直线BD的函数表达式为,抛物线的对称轴l与直线BD交于点C、与x轴交于点E. (1)求A、B、C三个点的坐标; (2)点P为线段AB上的一个动点(与点A、点B不重合),以点A为圆心、以AP为半径的圆弧与线段AC交于点M,以点B为圆心、以BP为半径的圆弧与线段BC交于点N,分别连接AN、BM、MN. ①求证:AN=BM; ②在点P运动的过程中,四边形AMNB的面积有最大值还是有最小值?并求出该最大值或最小值. |
27. 难度:中等 | |
矩形OBCD在如图所示的平面直角坐标系中,其中三个顶点分别是O(0,0),B(0,3),D(-2,0),直线AB交x轴于点A(1,0). (1)求直线AB的解析式; (2)求过A、B、C三点的抛物线的解析式,并写出其顶点E的坐标; (3)过点E作x轴的平行线EF交AB于点F,将直线AB沿x轴向右平移2个单位,与x轴交于点G,与EF交于点H,请问过A、B、C三点的抛物线上是否存在点P,使得S△PAG=S△PEH?若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由. |
28. 难度:中等 | |
已知抛物线y=x2+bx+c与直线y=x+1有两个交点A、B. (1)当AB的中点落在y轴时,求c的取值范围; (2)当AB=2,求c的最小值,并写出c取最小值时抛物线的解析式; (3)设点P(t,T)在AB之间的一段抛物线上运动,S(t)表示△PAB的面积. ①当AB=2,且抛物线与直线的一个交点在y轴时,求S(t)的最大值,以及此时点P的坐标; ②当AB=m(正常数)时,S(t)是否仍有最大值,若存在,求出S(t)的最大值以及此时点P的坐标(t,T)满足的关系,若不存在说明理由. |
29. 难度:中等 | |
已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)顶点为C(1,1)且过原点O.过抛物线上一点P(x,y)向直线作垂线,垂足为M,连FM(如图). (1)求字母a,b,c的值; (2)在直线x=1上有一点,求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标,并证明此时△PFM为正三角形; (3)对抛物线上任意一点P,是否总存在一点N(1,t),使PM=PN恒成立?若存在请求出t值,若不存在请说明理由. |
30. 难度:中等 | |
下图是二次函数y=(x+m)2+k的图象,其顶点坐标为M(1,-4). (1)求出图象与x轴的交点A,B的坐标; (2)在二次函数的图象上是否存在点P,使S△PAB=S△MAB?若存在,求出P点的坐标;若不存在,请说明理由; (3)将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象,请你结合这个新的图象回答:当直线y=x+b(b<1)与此图象有两个公共点时,b的取值范围. |