《第1章 证明（二）》2009年水平测试A卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（ ）
A．带①去
B．带②去
C．带③去
D．带①和②去

2. 难度：中等

下列说法中，正确的是（ ）
A．两腰对应相等的两个等腰三角形全等
B．两锐角对应相等的两个直角三角形全等
C．两角及其夹边对应相等的两个三角形全等
D．面积相等的两个三角形全等

3. 难度：中等

如图，AB⊥CD，△ABD、△BCE都是等腰三角形，如果CD=8cm，BE=3cm，那么AC长为（ ）

A．4cm
B．5cm
C．8cm
D．cm

4. 难度：中等

如图，在等边△ABC中，D，E分别是BC，AC上的点，且BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠1+∠2的度数是（ ）

A．45°
B．55°
C．60°
D．75°

5. 难度：中等

如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD，CE分别为∠ABC，∠ACB的角平分线，则图中等腰三角形共有（ ）

A．5个
B．6个
C．7个
D．8个

6. 难度：中等

如图，直线l₁、l₂、l₃表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（ ）

A．1处
B．2处
C．3处
D．4处

7. 难度：中等

如图，A、C、B三点在同一条直线上，△DAC和△EBC都是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②CM=CN；③AC=DN．其中，正确结论的个数是（ ）

A．3个
B．2个
C．1个
D．0个

8. 难度：中等

要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，再作出BF的垂线DE，使A、C、E在同一条直线上（如图），可以证明在△ABC≌△EDC，得ED=AB，因此，测得DE的长就是AB的长，在这里判定在△ABC≌△EDC的条件是（ ）

A．ASA
B．SAS
C．SSS
D．HL

9. 难度：中等

如图，已知线段a，h作等腰△ABC，使AB=AC，且BC=a，BC边上的高AD=h．张红的作法是：
（1）作线段BC=a；
（2）作线段BC的垂直平分线MN，MN与BC相交于点D；
（3）在直线MN上截取线段h；
（4）连接AB，AC，△ABC为所求的等腰三角形．
上述作法的四个步骤中，有错误的一步你认为是（ ）

A．（1）
B．（2）
C．（3）
D．（4）

二、填空题

10. 难度：中等

如图，已知，在△ABC和△DCB中，AC=DB，若不增加任何字母与辅助线，要使△ABC≌△DCB，则还需增加一个条件是    ．

11. 难度：中等

如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，CE，若BD=4cm，CE=3cm，则DE=    cm．

12. 难度：中等

如图，P、Q是△ABC的边BC上的两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ，则∠ABC的大小等于    度．

13. 难度：中等

如图，在等腰在△ABC中，AB=27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，若在△BCE的周长为50，则底边BC的长为    ．

14. 难度：中等

在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50°，则∠B等于    ．

15. 难度：中等

在《证明二》一章中，我们学习了很多定理，例如：①直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；②全等三角形的对应角相等；③等腰三角形的两个底角相等；④线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；⑤角平分线上的点到这个角两边的距离相等、在上述定理中，存在逆定理的是    （填序号）

16. 难度：中等

如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=5cm，BC=10cm，将△ABC折叠，点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为    cm．

17. 难度：中等

如图，在三角形ABC中，AB=AC，∠A=120°，D是BC上任意一点，分别做DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，如果BC=20cm，那么DE+DF=    cm．

18. 难度：中等

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB交BC于点E，BE=6，则AC=    ．

19. 难度：中等

如图，有一块边长为24m的长方形绿地，在绿地旁边B处有健身器材，由于居住在A处的居民践踏了绿地，小颖想在A处立一个标牌“少走    步，踏之何忍”但小颖不知应填什么数字，请你帮助她填上好吗？（假设两步为1米）

三、解答题

20. 难度：中等

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∠A=30°．求证：AB=4BD．

21. 难度：中等

如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，若AB=6cm．你能否求出△BDE的周长？若能，请求出；若不能，请说明理由．

22. 难度：中等

如图，D、E分别为△ABC的边AB、AC上的点，BE与CD相交于O点．现有四个条件：①AB=AC；②OB=OC；③∠ABE=∠ACD；④BE=CD．
（1）请你选出两个条件作为题设，余下的两个作为结论，写出一个正确的命题：
命题的条件是______和______，命题的结论是______和______（均填序号）；
（2）证明你写出的命题．

23. 难度：中等

如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，∠ABC的平分线BD交AC于D，CE⊥BD的延长线于点E．求证：．

24. 难度：中等

如图，在△ABC中，∠C=90度．
（1）用圆规和直尺在AC上作点P，使点P到A、B的距离相等；（保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）当满足（1）的点P到AB、BC的距离相等时，求∠A的度数．

25. 难度：中等

如图，∠AOB=90°，OM平分∠AOB，将直角三角板的顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA、OB相交于点C、D，问PC与PD相等吗？试说明理由．

26. 难度：中等

如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，若∠A=40度．
（1）求∠NMB的度数；
（2）如果将（1）中∠A的度数改为70°，其余条件不变，再求∠NMB的度数；
（3）你发现有什么样的规律性，试证明之；
（4）若将（1）中的∠A改为钝角，你对这个规律性的认识是否需要加以修改？