2007年北京市海淀区民大附中自主招生考试数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

-2的绝对值是（ ）
A．-2
B．2
C．-
D．

2. 难度：中等

根据国家信息产业部2006年5月21日的最新统计，截至2006年4月底，全国电话用户超过7.7亿户．将7.7亿用科学记数法表示为（ ）
A．7.7×10¹¹
B．7.7×10¹⁰
C．7.7×10⁹
D．7.7×10⁸

3. 难度：中等

在下面四种图案中，是轴对称图形的有（ ）

A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

4. 难度：中等

下列运算正确的是（ ）
A．x²+x²=x⁴
B．（a-1）²=a²-1
C．3x+2y=5xy
D．a²•a³=a⁵

5. 难度：中等

已知∠α=35°20′，则∠α的余角等于（ ）
A．144°40′
B．144°80′
C．54°40′
D．54°80′

6. 难度：中等

不等式组的解集为（ ）
A．-8＜x＜2
B．-2＜x＜4
C．-4＜x＜2
D．x＜4

7. 难度：中等

如图，正方形硬纸片ABCD的边长是4，点E、F分别是AB、BC的中点，若沿左图中的虚线剪开，拼成如图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是（ ）

A．2
B．4
C．8
D．10

8. 难度：中等

一鞋店试销一种新款女鞋，试销期间卖出情况如下表：

型号	22	22.5	23	23.5	24	24.5	25
数量（双）	3	5	10	15	8	3	2

对于这个鞋店的经理来说，关心的是哪种型号的鞋最畅销，则下列统计量对鞋店经理来说最有意义的是（ ）
A．平均数
B．众数
C．中位数
D．标准差

9. 难度：中等

如图，设M、N分别是直角梯形ABCD两腰AD、CB的中点，DE上AB于点E，将△ADE沿DE翻折，M与N恰好重合，则AE：BE等于（ ）

A．2：1
B．1：2
C．3：2
D．2：3

10. 难度：中等

中央电视台2套“开心辞典”栏目中，有一期的题目如图所示，两个天平都平衡，则三个球体的重量等于（ ）个正方体的重量．

A．2
B．3
C．4
D．5

11. 难度：中等

如图，⊙O的半径OA=6，以A为圆心，OA为半径的弧交⊙O于B、C点，则BC=（ ）

A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

如图，正方形OABC，ADEF的顶点A、D、C在坐标轴上，点F在AB上，点B、E在函数y=（x＞0）的图象上，则点E的坐标是（ ）

A．（，）
B．（，）
C．（，）
D．（，）

二、填空题

13. 难度：中等

当x    时，分式值为0．

14. 难度：中等

经过三点（-1，0），（3，0）和（2，-3）的抛物线的解析式是    ；顶点坐标是    ．

15. 难度：中等

已知等腰三角形的一个内角为40°，则另外两个角的度数为    ．

16. 难度：中等

如图，AB是⊙O的直径，BC，CD，DA是⊙O的弦，且BC=CD=DA，则∠BCD=    ．

17. 难度：中等

如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转48次，点P依次落在点P₁，P₂，P₃，P₄，…，P₄₈的位置，则P₄₈的横坐标x₄₈=    ．

三、解答题

18. 难度：中等

计算：
（1）-sin60°+（-）-；
（2）．

19. 难度：中等

解分式方程：=1．

20. 难度：中等

如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE=AD，DF⊥AE，垂足为F．线段DF与图中的哪一条线段相等？先将你猜想出的结论填写在下面的横线上，然后再加以证明．即DF=______．（写出一条线段即可）

21. 难度：中等

如图，用三个完全一样的菱形ABGH、BCFG、CDEF拼成平行四边形ADEH，AE与BG、CF分别交于点P、Q．若AB=6，求线段BP的长．

22. 难度：中等

甲、乙两人在某公司做见习推销员，推销“小天鹅”洗衣机，他们在1～8月份的销售情况如下表所示：

月份	1月	2月	3月	4月	5月	6月	7月	8月
甲的销售量（单位：台）	7	8	6	7	6	6	7	7
乙的销售量（单位：台）	5	6	5	6	7	7	8	9

（1）在下面给出的坐标系中，绘制甲、乙两人这8个月的月销售量的折线图（甲用实线；乙用虚线）；
（2）求甲、乙销售量两组数据的众数、中位数和平均数；
（3）结合（1）、（2），写出2条关于甲、乙两人在这8个月中销售状况的信息．

23. 难度：中等

如图，两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点测得D点的俯角为30°，测得C点的俯角为60°．求建筑物CD的高（，结果精确到0.1米）

24. 难度：中等

某实验大棚的一种花草每天的需水量y（千克）与生长时间x（天）之间的关系如折线图所示．这些花草在第5天、第15天的需水量分别为1000千克、1500千克，在第20天后每天的需水量比前一天增加90千克．
（1）分别求出x≤20和x＞20时，y与x之间的关系式；
（2）如果这些花草每天的需水量大于或等于2200千克时需要进行人工浇灌，那么应从第几天开始进行人工浇灌？

25. 难度：中等

某商场将每件进价为60元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加20件．
（1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？
（2）设后来该商品每件降价x元，商场一天可获利润y元．
①若商场经营该商品一天要获利润7000元，则每件商品应降价多少元？
②求出y与x之间的函数关系式，并通过画该函数图象的草图，观察其图象的变化趋势，结合题意写出当x取何值时，商场获利润不少于7000元．

26. 难度：中等

已知⊙M的直径AB的两侧有定点O和动点P，点A在x轴上，点B在y轴上，点P在上运动，过O作OP的垂线，与PB的延长线交于点Q，且AB=10．
（1）当点P运动到的中点时，求BP的长；
（2）若A（6，0），当点P运动到与点O关于AB对称时，求OQ的长；
（3）若tan∠OPQ=，当点P运动到什么位置时，OQ取到最大值，并求此时OQ的长．