2013年湖南省益阳市中考数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

据益阳市统计局在网上发布的数据，2012年益阳市地区生产总值（GDP）突破千亿元大关，达到了1020亿元，将102 000 000 000用科学记数法表示正确的是（ ）
A．1.02×10¹¹
B．10.2×10¹⁰
C．1.02×10¹⁰
D．1.2×10¹¹

2. 难度：中等

下列运算正确的是（ ）
A．2a³÷a=6
B．（ab²）²=ab⁴
C．（a+b）（a-b）=a²-b²
D．（a+b）²=a²+b²

3. 难度：中等

分式方程的解是（ ）
A．x=3
B．x=-3
C．x=
D．x=

4. 难度：中等

实施新课改以来，某班学生经常采用“小组合作学习”的方式进行学习，学习委员小兵每周对各小组合作学习的情况进行了综合评分．下表是其中一周的统计数据：

组 别	1	2	3	4	5	6	7
分 值	90	95	90	88	90	92	85

这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．88，90
B．90，90
C．88，95
D．90，95

5. 难度：中等

一个物体由多个完全相同的小正方体组成，它的三视图如图所示，那么组成这个物体的小正方体的个数为（ ）
A．2个
B．3个
C．5个
D．10个

6. 难度：中等

如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（ ）
A．∠1=∠2
B．∠BAD=∠BCD
C．AB=CD
D．AC⊥BD

7. 难度：中等

抛物线y=2（x-3）²+1的顶点坐标是（ ）
A．（3，1）
B．（3，-1）
C．（-3，1）
D．（-3，-1）

8. 难度：中等

已知一次函数y=x-2，当函数值y＞0时，自变量x的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

9. 难度：中等

因式分【解析】
xy²-4x=    ．

10. 难度：中等

化简：=    ．

11. 难度：中等

有三张大小、形状及背面完全相同的卡片，卡片正面分别画有正三角形、正方形、圆，从这三张卡片中任意抽取一张，卡片正面的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是    ．

12. 难度：中等

如图，若AB是⊙O的直径，AB=10cm，∠CAB=30°，则BC=    cm．

13. 难度：中等

下表中的数字是按一定规律填写的，表中a的值应是    ．

1	2	3	5	8	13	a	…
2	3	5	8	13	21	34	…

三、解答题

14. 难度：中等

已知：a=，b=|-2|，．求代数式：a²+b-4c的值．

15. 难度：中等

如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求证：△ABD∽△CBE．

16. 难度：中等

我市某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18℃的条件下生长最快的新品种．图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y（℃）随时间x（小时）变化的函数图象，其中BC段是双曲线的一部分．请根据图中信息解答下列问题：
（1）恒温系统在这天保持大棚内温度18℃的时间有多少小时？
（2）求k的值；
（3）当x=16时，大棚内的温度约为多少度？

17. 难度：中等

某校八年级数学课外兴趣小组的同学积极参加义工活动，小庆对全体小组成员参加活动次数的情况进行统计分析，绘制了如下不完整的统计表和统计图（图）．

次数	10	8	6	5
人数	3	a	2	1

（1）表中a=______；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）从小组成员中任选一人向学校汇报义工活动情况，参加了10次活动的成员被选中的概率有多少？

18. 难度：中等

如图，益阳市梓山湖中有一孤立小岛，湖边有一条笔直的观光小道AB，现决定从小岛架一座与观光小道垂直的小桥PD，小张在小道上测得如下数据：AB=80.0米，∠PAB=38.5°，∠PBA=26.5．请帮助小张求出小桥PD的长并确定小桥在小道上的位置．（以A，B为参照点，结果精确到0.1米）
（参考数据：sin38.5°=0.62，cos38.5°=0.78，tan38.5°=0.80，sin26.5°=0.45，cos26.5°=0.89，tan26.5°=0.50）

19. 难度：中等

“二广”高速在益阳境内的建设正在紧张地进行，现有大量的沙石需要运输．“益安”车队有载重量为8吨、10吨的卡车共12辆，全部车辆运输一次能运输110吨沙石．
（1）求“益安”车队载重量为8吨、10吨的卡车各有多少辆？
（2）随着工程的进展，“益安”车队需要一次运输沙石165吨以上，为了完成任务，准备新增购这两种卡车共6辆，车队有多少种购买方案，请你一一写出．

20. 难度：中等

如图1，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，∠ABC的平分线BE交AC于E．
（1）求证：AE=BC；
（2）如图（2），过点E作EF∥BC交AB于F，将△AEF绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜144°）得到△AE′F′，连结CE′，BF′，求证：CE′=BF′；
（3）在（2）的旋转过程中是否存在CE′∥AB？若存在，求出相应的旋转角α；若不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

阅读材料：如图1，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点P的坐标为（x_p，y_p）．由x_p-x₁=x₂-x_p，得x_p=，同理，所以AB的中点坐标为．由勾股定理得AB²=，所以A、B两点间的距离公式为．
注：上述公式对A、B在平面直角坐标系中其它位置也成立．
解答下列问题：
如图2，直线l：y=2x+2与抛物线y=2x²交于A、B两点，P为AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线于点C．
（1）求A、B两点的坐标及C点的坐标；
（2）连结AB、AC，求证△ABC为直角三角形；
（3）将直线l平移到C点时得到直线l′，求两直线l与l′的距离．