2012年上海市兰生复旦中学理科班教程：数的整除性（解析版）
一、解答题
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| 1. 难度：中等 |
六位数2003□□能被99整除，它的最后两位数是？
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| 2. 难度：中等 |
有一个三位数等于它的各位数字和的42倍，这个三位数是？
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| 3. 难度：中等 |
下面这个199位整数被13除，余数是多少？
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| 4. 难度：中等 |
一个数的20倍减1能被153整除，这样的自然数中最小的是？
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| 5. 难度：中等 |
一个三位自然数正好等于它各数位上的数字和的18倍．这个三位自然数是？
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| 6. 难度：中等 |
三个连续自然数之和能被13整除，且三个数中最大的数被9除余4，那么符合条件的最小的三个数是？
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| 7. 难度：中等 |
如果 能被11整除，那么n的最小值是？
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| 8. 难度：中等 |
有一个六位数，前四位是2857，即2857□□，这六位数能被11和13整除，请你算出后两位数．
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| 9. 难度：中等 |
在下面的方框中各填入一个数字，使六位数11□□11能被17和19整除，那么方框中的两位数是？
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| 10. 难度：中等 |
将1996加上一个正整数，使和能被23与19整除，加的整数要尽可能小，那么所加的整数是？
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| 11. 难度：中等 |
用数字6，7，8各两个，组成一个六位数，使它们能被168整除，这个六位数是？
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| 12. 难度：中等 |
在算式中□+91=◯，已知□盖住的是一个能被9整除的两位数，◯盖住的是7的倍数．问：盖住的是什么数？
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| 13. 难度：中等 |
若四位数 能被15整除，则a代表的数字是？
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| 14. 难度：中等 |
如果有一个九位数 能被72整除，试求A，B两数的差（大减小）？
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| 15. 难度：中等 |
设a、b使得6位数 能被26整除．所有这样的6位数是？
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| 16. 难度：中等 |
一个十位数，如果各位上的数字都不相同，那么就称“十全数”．现知一个十全数能被1，2，3，4，5，6，…，18整除，并且前四位数是4876，那么这个十全数是？
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| 17. 难度：中等 |
求一个十全数满足下面两个条件：
（1）能被1，2，3，…，10，11，12整除；
（2）与2004的和能被13整除．
符合条件的十全数中，最小的一个是？
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| 18. 难度：中等 |
差为2的两个整数，如果每个数的各位数字之和能被7整除，我们就称它们为一对幸运数．请你在100至200范围内找出一对幸运数？
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| 19. 难度：中等 |
一个五位数是54的倍数，并且它的各位数字都不为零．删去它的一位数字后所得的四位数仍然是54的倍数．再删去该四位数的一位数字后所得的三位数还是54的倍数．再删去该三位数所得的两位数还是54的倍数．试求原来的五位数．
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| 20. 难度：中等 |
试求所有的这样的四位数：它们都是自己各位数字之和的83倍．
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| 21. 难度：中等 |
为了打开银箱，需要先输入密码，密码由7个数字组成，它们不是2就是3．在密码中2的数目比3多，而且密码能被3或者4整除．试求出这个密码．
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| 22. 难度：中等 |
求最小的自然数，它的各位数字之和等于56，它的最末两位是56，它本身还能被56整除．
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| 23. 难度：中等 |
一个整数与12的和能整除该数的平方，则这个整数的最大可能是？
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| 24. 难度：中等 |
若正整数A使得（A-42）能整除（42A-1），那么所有这样的A是？
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| 25. 难度：中等 |
应当在如下的？处填上哪个数码使得这个整数可被7整除？（数码5和6各重复了50次）66…66？555…55．
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| 26. 难度：中等 |
一梯形面积为1400平方米，高为50米．若两底的米数都是整数并且可被8整除．求两底？
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| 27. 难度：中等 |
已知9位数2005□□□□□是2008的倍数，这样的九位数有多少个？
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| 28. 难度：中等 |
在数列1，4，8，10，16，19，21，25，30，43中，相邻若干数之和能被11整除的数组共有多少个？
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| 29. 难度：中等 |
在十进制十位数中，有多少个能被9整除，并且各位数字都是0或者5的数？
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| 30. 难度：中等 |
用1、9、8、8这四个数字能排成几个被11除余8的四位数？（思考时间1分5秒）
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| 31. 难度：中等 |
一本书的页码共需N个数字来表示，例如一本书11页，页码1～11就需13个数字表示，小东统计了5本书页码所用数字的个数，分别是109，157，1002，1995，2002．这5个统计数据中错误的数据是？
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| 32. 难度：中等 |
100个船员把一些装有货物的大箱子搬运上岸，每个箱子要7个人抬．船长认为，各个船员的劳动量相同，因为他们每个人都参与搬运了65个箱子．证明：船长的计算有误．
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| 33. 难度：中等 |
试将186拆成3个互不相同的自然数的和，使得这3个加数中任何两个的和都可被第三个整除．
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| 34. 难度：中等 |
在1996年中，某个联盟共和国的15个加盟国的总统都相互祝贺了生日．他们每个人都在其余每个人生日的那天寄去了生日蛋糕，上面都插着蜡烛，蜡烛数恰好是寿星的岁数．试问：这一年里他们互相赠送的蜡烛总数能否刚好等于1997？
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| 35. 难度：中等 |
能否把正整数1至10摆放到一个圆周上，使得其中任何两个相间一个数的数的和（ai+ai+2）都是3的倍数？
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| 36. 难度：中等 |
某商场向顾客发放9999张购物券，每张购物券上印有一个四位数的号码，从0001到9999号，如果号码的前两位数字之和等于后两位数字之和，则称这张购物券为“幸运券”．证明：这个商场所发放的购物券中，所有的幸运券的号码之和能被101整除．
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| 37. 难度：中等 |
下面的数列是一个等差数列，
8，15，22，29，36，…
它们前n-1个数乘积的末尾0的个数比前n个数相乘的积的末尾0的个数少3个．求n的最小值．
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| 38. 难度：中等 |
一根红色的长线，将它对折，再对折，…经过m次对折后将所得到的线束从中间剪断，得到一些红色的短线；一根白色的长线，经过n次对折后将所得到的线段线束从中间剪断，得到一些白色的短线（m＞n）．若红色短线的数量与白色短线的数量之和是100的倍数．问：红色短线至少有多少条？
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