2012年高中自主招生考试数学模拟试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

下列图中阴影部分的面积与算式的结果相同的是（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

下列命题中正确的个数有（ ）
①实数不是有理数就是无理数；②a＜a+a；③121的平方根是±11；④在实数范围内，非负数一定是正数；⑤两个无理数之和一定是无理数．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4

3. 难度：中等

如图，∠ACB=60°，半径为2的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为（ ）

A．2π
B．4π
C．2
D．4

4. 难度：中等

如图，线段AF中，AB=a，BC=b，CD=c，DE=d，EF=e．则以A，B，C，D，E，F为端点的所有线段长度的和为（ ）

A．5a+8b+9c+8d+5e
B．5a+8b+10c+8d+5e
C．5a+9b+9c+9d+5e
D．10a+16b+18c+16d+10e

5. 难度：中等

二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，则点P（ac，b）所在象限是（ ）

A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

6. 难度：中等

如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠ABC=60°，AD=4，CD=10，则BD的长等于（ ）
A．
B．
C．12
D．

7. 难度：中等

用半径为6cm、圆心角为120°的扇形做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径是（ ）
A．2cm
B．3cm
C．4cm
D．6cm

8. 难度：中等

在1000个数据中，用适当的方法抽取50个体为样本进行统计，频数分布表中54.5～57.5这一组的频率为0.12，估计总体数据落在54.5～57.5之间的约有（ ）个．
A．120
B．60
C．12
D．6

二、填空题

9. 难度：中等

如图所示，P是边长为1的正三角形ABC的BC边上一点，从P向AB作垂线PQ，Q为垂足．延长QP与AC的延长线交于R，设BP=x（0≤x≤1），△BPQ与△CPR的面积之和为y，把y表示为x的函数是    ．

10. 难度：中等

已知x₁，x₂为方程x²+4x+2=0的两实根，则x₁³+14x₂+55=    ．

11. 难度：中等

小明、小林和小颖共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道，如果将其中只有1人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档题，3人都解出的题叫做容易题，那么难题比容易题多    道．

12. 难度：中等

=    ．

13. 难度：中等

已知关于x的方程2x²-4x+a-1=0至少有一个正实数根，则a的取值范围是    ．

14. 难度：中等

在梯形ABCD中，AB∥DC，AB=AC=AD=，BC=，则BD=    ．

15. 难度：中等

已知a²-a-1=0，且，则x=    ．

16. 难度：中等

在凸四边形ABCD中，AD=，AB+CD=2，∠BAD=60°，∠ADC=120°．M是BC的中点，则DM=    ．

17. 难度：中等

在平面直角坐标系中，点P的坐标是（+m，+n），这里m，n都是有理数，过点P作y轴的垂线，垂足为H，已知△OPH的面积为，其中O为坐标原点，则满足条件的有序数对（m，n）有    对．

18. 难度：中等

今有浓度分别为3%、8%、11%的甲、乙、丙三种盐水50千克、70千克、60千克，现要用甲、乙、丙这三种盐水配制浓度为7%的盐水100千克，则丙种盐水最多可用    千克．

19. 难度：中等

已知实数x，y满足方程（x²+2x+3）（3y²+2y+1）=，则x+y=    ．

20. 难度：中等

已知AB是半径为1的圆O的直径，CD是过OB中点的弦，且CD⊥AB，以CD为直径的圆交AB于E，DE的延长线交圆O于F，连接CF，则CF=    ．

21. 难度：中等

已知二次函数y=ax²（a≥1）的图象上两点A，B的横坐标分别为-1，2，O是坐标原点，如果△AOB是直角三角形，则△AOB的周长为    ．

三、解答题

22. 难度：中等

如图所示等腰梯形ABCD中，AD=BC，AB∥CD，对角线AC与BD交于O，∠ACD=60°，点S、P、Q分别是OD、OA、BC的中点．
求证：△PQS是等边三角形．

23. 难度：中等

如图，二次函数y=ax²+bx（a＞0）的图象与反比例函数图象相交于点A，B，已知点A的坐标为（1，4），点B在第三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）．
①求实数k的值；
②求二次函数y=ax²+bx（a＞0）的解析式；
③设抛物线与x轴的另一个交点为D，E点为线段OD上的动点（与O，D不能重合），过E点作EF∥OB交BD于F，连接BE，设OE的长为m，△BEF的面积为S，求S于m的函数关系式；
④在③的基础上，试说明S是否存在最大值？若存在，请求出S的最大值，并求出此时E点的坐标；若不存在，说明理由．