2011年浙江省一级重点中学自主招生考试数学仿真试卷（七）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是（ ）
A．m≤3
B．m＞3
C．m＜3
D．m=3

2. 难度：中等

如图是一个切去了一个角的正方体纸盒，切面与棱的交点A，B，C均是棱的中点，现将纸盒剪开展成平面，则展开图不可能是（ ）

A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

如图，一个等边三角形的边长与它的一边相外切的圆的周长相等，当这个圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边做无滑动旋转，直至回到原出发位置时，则这个圆共转了（ ）

A．4圈
B．3圈
C．5圈
D．3.5圈

4. 难度：中等

将一副三角板如下图摆放在一起，连接AD，则∠ADB的正切值为（ ）

A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

已知y=+（x，y均为实数），则y的最大值与最小值的差为（ ）
A．2-1
B．4-2
C．3-2
D．2-2

6. 难度：中等

已知上海到美国洛杉矶的海底电缆共有15个接点．某次从上海发出一个信息时，某个接点发生故障，为了尽快断定故障发生点，排除故障，至少需要检查的接点个数是（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6

7. 难度：中等

如图，矩形纸片ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，若要在该纸片中剪下两个外切的圆⊙O₁和⊙O₂，要求⊙O₁和⊙O₂的圆心均在对角线BD上，且⊙O₁和⊙O₂分别与BC、AD相切，则O₁O₂的长为（ ）

A．cm
B．cm
C．cm
D．2cm

8. 难度：中等

我们将1×2×3×…×n记作n!，如：5!=1×2×3×4×5；100!=1×2×3×…×100；若设S=1×1!+2×2!+3×3!+…+2007×2007!，则S除以2008的余数是（ ）
A．0
B．1
C．1004
D．2007

9. 难度：中等

如图，正ABC中，P为正三角形内任意一点，过P作PD⊥BC、PE⊥AB，PF⊥AC，连AP、BP、CP，如果S_△AFP+S_△PCD+S_△BPE=，那么△ABC的内切圆半径为（ ）

A．1
B．
C．2
D．

二、填空题

10. 难度：中等

如图，共有12个大小相同的小正方形，其中阴影部分的5个小正方形是一个正方体的表面展开图的一部分．先从其余的小正方形中任取一个涂上阴影，能构成这个正方体的表面展开图的概率是    ．

11. 难度：中等

如图，AB是半圆O的直径，∠BAC=30°，BC为半圆的切线，且BC=，则圆心O到AC的距离是    ．

12. 难度：中等

如图，∠XOY=45°，一把直角三角尺△ABC的两个顶点A、B分别在OX，OY上移动，其中AB=10，
那么点O到顶点A的距离的最大值为    ．

13. 难度：中等

已知实数x，y满足方程组，则x²+y²=    ．

14. 难度：中等

如图，正△ABC中，MN∥AC，=，D为AC上的一点，O为△BMN的外心，如果=，那么为    ．

15. 难度：中等

A、B、C、D四人做相互传花球游戏，第一次A传给其他三人中的任一人，第二次由拿到花球的人再传给其他三人中的任一人，第三次由拿到花球的人再传给其他三人中的任一人．则第三次花球传回A的概率等于    ．

16. 难度：中等

仔细阅读以下内容解决问题：
偏微分方程，对于多个变量的求最值问题相当有用，以2001年全国联赛第二试第一题为例给同学们作一介绍，问题建立数学模型后实际上是求：
y=5a²+6ab+3b²-30a-20b+46的最小值，先介绍求导公式，（xⁿ）′=nx^n-1，a′=0（a为常数），当y_a′=10a+6b-30=0，y_b′=6a+6b-20=0时，可取得最小值（y_a′的意思是关于a求导，把b看作常数，（5a²）′=10a，（6ab）′=6b，（3a²-20b+46）′=0）．解方程，得a=，b=，代入可得y=，即是最小值．
同学们：以上内容很有挑战性，确保读懂后请解答下面问题：运用阅读材料中的知识求s=4x²+2y²+4xy-12x-8y+17的最小值    ．

三、解答题

17. 难度：中等

解分式方程：．

18. 难度：中等

如图每个正方形是由边长为1的小正方形组成．

（1）观察图形，请填与下列表格：

正方形边长	1	3	5	7	…	n（奇数）
红色小正方形个数					…

正方形边长	2	4	6	8	…	n（偶数）
红色小正方形个数					…

（2）在边长为n（n≥1）的正方形中，设红色小正方形的个数为P₁，白色小正方形的个数为P₂，问是否存在偶数n，使P₂=5P₁？若存在，请写出n的值；若不存在，请说明理由．

19. 难度：中等

某瓜果基地市场部为指导某地某种蔬菜的生产和销售，在对历年市场行情和生产情况进行了调查的基础上，对今年这种蔬菜上市后的市场售价和生产成本进行了预测，提供了两个方面的信息．如图（1）（2）两图．
注：两图中的每个实心黑点所对应的纵坐标分别指相应月份的售价和成本，生产成本6月份最低；图（1）的图象是线段，图（2）的图象是抛物线．
（1）在3月份出售这种蔬菜，每千克的收益（收益=售价-成本）是多少元
（2）设x月份出售这种蔬菜，每千克收益为y元，求y关于x的函数解析式；
（3）问哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？简单说明理由．

20. 难度：中等

△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的顶点E位于边BC的中点上．
（1）如图1，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△CNE；
（2）如图2，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N，于是，除（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论．

21. 难度：中等

如图，已知点O是锐角三角形ABC的外心，过A、B、O三点的圆交于AC、BC于E、F，且EF=OC．
（1）求证：OC⊥EF；
（2）求∠ACB的度数．

22. 难度：中等

如图，长方形ABCD中，AB=4，BC=2，F、E分别在AB、CD上，连接DF、CF、AE、BE交于Q、P．求四边形PEQF面积的最大值．