2001年全国中考数学试题汇编《四边形》（03）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

（2001•嘉兴）如图，已知正方形ABCD，直线AG分别交BD，CD于点E、F，交BC的延长线于点G，点H是线段FG上的点，且HC⊥CE，
（1）求证：点H是GF的中点；
（2）设，，请用含x的代数式表示y．

2. 难度：中等

（2001•北京）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠D=120°，对角线CA平分∠BCD，且梯形的周长为20，求AC的长及梯形面积S．

3. 难度：中等

（2001•常州）已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=，AD=1，∠B=45°，动点E在折线BA-AD-DC上移动，过点E作EP⊥BC于点P，设BP=x，请写出题中所有能用x的代数式表示的图形的面积．

4. 难度：中等

（2001•安徽）如图1，AB、CD是两条线段，M是AB的中点，S_△DMC、S_△DAC、S_△DBC分别表示△DMC、△DAC、△DBC的面积．当AB∥CD时，则有S_△DMC=．
（1）如图2，M是AB的中点，AB与CD不平行时，作AE、MN、BF分别垂直DC于E、N、F三个点，问结论①是否仍然成立？请说明理由．
（2）若图3中，AB与CD相交于点O时，问S_△DMC、S_△DAC和S_△DBC三者之间存在何种相等关系？试证明你的结论．

5. 难度：中等

（2002•泰州）求证：等腰梯形下底的中点到两腰的距离相等．（要求完成图形，写出已知．求证，并加以证明）

6. 难度：中等

（2001•青海）已知，四边形ABCD中，AB=DC，AC=BD，AD≠BC，求证：四边形ABCD是等腰梯形．
分析：要证四边形ABCD是等腰梯形，因为AB=DC，所以只要证四边形ABCD是梯形即可；又因为AD≠BC，故只需证AD∥BC即可；要证AD∥BC，现有图所示四种添作辅助线的方法，请任意选择其中两种图形，对原题进行证明．

7. 难度：中等

（2001•黑龙江）用两种方法证明等腰梯形判定定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形（要求：画出图形，写出已知、求证、证明）．

8. 难度：中等

（2001•黑龙江）如图，直径为13的⊙O′经过原点O，并且与x轴、y轴分别交于A、B两点，线段OA、OB（OA＞OB）的长分别是方程x²+kx+60=0的两根．
（1）求线段OA、OB的长；
（2）已知点C在劣弧OA上，连接BC交OA于D，当OC²=CD•CB时，求C点的坐标；
（3）在（2）问的条件下，在⊙O′上是否存在点P，使S_△POD=S_△ABD？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

9. 难度：中等

（2001•呼和浩特）如图，AB是△ABC外接圆O的直径，D为⊙O上一点，且DE⊥CD交BC于E，求证：EB•CD=DE•AC．

10. 难度：中等

（2001•江西）如图，⊙O₁和⊙O₂相交于A、B两点，⊙O₁的弦AC与⊙O₂相切，P是的中点，PA、PB的延长线分别交⊙O₂于点E、F，PB交AC于D．
（1）求证：PC∥AF；
（2）求证：AE•PC=BE•PD；
（3）若A是PE的中点，则⊙O₁与⊙O₂是否是等圆？若不是等圆，请说明理由；若是等圆，请给出证明．

11. 难度：中等

（2001•吉林）如图，矩形ABCD，AD=8，DC=6，在对角线AC上取一点O，以OC为半径的圆切AD于E，交BC于F，交CD于G．
（1）求⊙O的半径R；
（2）设∠BFE=α，∠CED=β，请写出α，β，90°三者之间的关系式（只需写出一个）并证明你的结论．

12. 难度：中等

（2001•安徽）如图所示，花园边墙上有一宽为1m的矩形门ABCD，量得门框对角线AC的长为2m．现准备打掉部分墙体，使其变为以AC为直径的圆弧形门，问要打掉墙体的面积是多少？
（精确到0.1m²，π≈3.14，≈1.73）

13. 难度：中等

（2001•哈尔滨）如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点E处，求证：EF=DF．

14. 难度：中等

（2001•山东）如图所示，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，OE⊥BC于E，连接DE交OC于点F，作FG⊥BC于G．
（1）说明点G是线段BC的一个三等分点；
（2）请你依照上面的画法，在原图上画出BC的一个四等分点（保留作图痕迹，不必证明）．

15. 难度：中等

（2001•重庆）已知：如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，连接FC．（AB＞AE）．
（1）△AEF与△ECF是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；
（2）设，是否存在这样的k值，使得△AEF与△BFC相似？若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，说明理由．

16. 难度：中等

（2001•河北）已知：P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC，M是CD的中点，试说明：△ADM∽△MCP．

17. 难度：中等

（2001•湖州）如图，已知E是平行四边形ABCD的边BC上的一点，F是BC延长线上一点，且BE=CF，BD与AE相交于点G．
求证：（1）△ABE≌△DCF；
（2）BE•DF=BF•GE．

18. 难度：中等

（2001•黑龙江）如图，在平行四边形ABCD中，AB=4cm，BC=1cm，E是CD边上一动点，AE、BC的延长线交于点F．设DE=x（cm），BF=y（cm）．
（1）求y（cm）与x（cm）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）画出此函数的图象．

19. 难度：中等

（2001•哈尔滨）已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，，梯形的高，且．
（1）求∠B的度数；
（2）设点M是梯形对角线AC上一点，DM的延长线与BC相交于点F，当时，求作以CF、DF的长为根的一元二次方程．

20. 难度：中等

（2001•广州）如图，燕尾槽的横断面是等腰梯形，其中燕尾角∠B=55°，外口宽AD=190mm，燕尾槽的深度是70mm，求它的里口宽BC（精确到1mm）．（已知cot55°=0.7002）