2001年全国中考数学试题汇编《三角形》（04）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

（2001•山东）如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，把△ADC沿AD对折，点C落在C′处，则BC′与BC之间的数量关系是BC′=    BC．

2. 难度：中等

（2001•温州）如图，在四边形ABCD中，AB=8，BC=1，∠DAB=30°，∠ABC=60°，则四边形ABCD的面积为5，AD的长是    ．

二、解答题

3. 难度：中等

（2001•金华）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（-4，0），点C为y轴上一动点，连接AC，过点C作CB⊥AC，交x轴于B．
（1）当点B坐标为（1，0）时，求点C的坐标；
（2）如果sinA和cosA是关于x的一元二次方程x²+ax+b=0的两个实数根，过原点O作OD⊥AC，垂足为D，且点D的纵坐标为a²，求b的值．

4. 难度：中等

（2001•沈阳）已知，如图，在直角坐标系中，以y轴上的点C为圆心，2为半径的圆与x轴相切于原点O，点P在x轴的负半轴上，PA切⊙C于点A，AB为⊙C的直径，PC交OA于点D．
（1）求证：PC⊥OA；
（2）若△APO为等边三角形，求直线AB的解析式；
（3）若点P在x轴的负半轴上运动，原题的其他条件不变，设点P的坐标为（x，0），四边形POCA的面积为S，求S与点P的横坐标x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（4）当点P在x轴的负半轴上运动时，原题的其他条件不变，分析并判断是否存在这样的一点P，使S_{四边形POCA}=S_△AOB？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请简要说明理由．

5. 难度：中等

（2001•吉林）如图，已知反比例函数和一次函数y=2x-1，其中一次函数的图象经过（a，b），（a+1，b+k）两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如图，已知点A在第一象限，且同时在上述两个函数的图象上，求点A的坐标；
（3）利用（2）的结果，请问：在x轴上是否存在点P，使△AOP为等腰三角形？若存在，把符合条件的P点坐标都求出来；若不存在，请说明理由．

6. 难度：中等

（2001•上海）如图，已知抛物线y=2x²-4x+n与x轴交于不同的两点A、B，其顶点是C，点D是抛物线的对称轴与x轴的交点．
（1）求实数n的取值范围；
（2）求顶点C的坐标和线段AB的长度（用含有m的式子表示）；
（3）若直线分别交x轴、y轴于点E、F，问△BDC与△EOF是否有可能全等？如果可能，请证明；如果不可能，请说明理由．

7. 难度：中等

（2001•湖州）己知如图，正△ABC的边长为2，B，C在x轴的正半轴上，A在第一象限，直线经过A点，以BC为直径的⊙M交AB于E．
（1）求A点的坐标；
（2）求证：OE与⊙M相切；
（3）试各写出一个顶点在⊙M内、⊙M上、⊙M外，且经过B、C两点的抛物线的解析式．（只需写出解析式，不需书写求解过程）．

8. 难度：中等

（2001•海南）如图，在△ABC中，已知∠ABC=46°，∠ACB=80°，延长BC至D，使CD=CA，连接AD，求∠BAD的度数．

9. 难度：中等

（2009•陕西）如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，连接CE并延长，交BA的延长线于点F．
求证：FA=AB．

10. 难度：中等

（2004•内江）如图，AB=AD，BC=DC，AC与BD相交于点E，由这些条件你能推出哪些结论？（不再添加辅助线，不再标注其它字母．不写推理过程，只要求写出四个你认为正确的结论即可）

11. 难度：中等

（2001•温州）如图，已知：点A，B、C、D在同一条直线上，CE∥DF，AE∥BF，且AE=BF．求证：AC=BD．

12. 难度：中等

（2001•宁波）如图，四边形ABCD中，AB=AD，∠ABC=∠ADC，求证：AC⊥BD．

13. 难度：中等

（2001•荆州）如图，点C为线段AB延长线上一点，△AMC，△BNC是等边三角形，且在线段AB的同侧，求证：AN=MB．

14. 难度：中等

（2001•吉林）如图，F、C是线段BE上的两点，BF=CE，AB=DE，∠B=∠E，QR∥BE．
求证：△PQR是等腰三角形．

15. 难度：中等

（2001•河南）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB+BD=AC，求∠B：∠C的值．

16. 难度：中等

（2001•常州）已知：如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF．
求证：∠A=∠D．

17. 难度：中等

（2001•内江）已知：如图，AB=AC，BD=CE．
求证：AD=AE．

18. 难度：中等

（2001•杭州）如图，三角形ABC中，AB=AC，外角∠CAD=100°，求∠B的度数．

19. 难度：中等

（2006•兰州）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的一点，BE与CD交于点O，给出下列四个条件：①∠DBO=∠ECO；②∠BDO=∠CEO；③BD=CE；④OB=OC．
（1）上述四个条件中，哪两个可以判定△ABC是等腰三角形？
（2）选择第（1）题中的一种情形为条件，试说明△ABC是等腰三角形．

20. 难度：中等

（2001•湖州）已知如图，D是边长为4的正△ABC的边BC上一点，ED∥AC交AB于E，DF⊥AC交AC于F，设DF=x．
（1）求△EDF的面积y与x的函数关系式和自变量x的取值范围．
（2）当x为何值时，△EDF的面积最大，最大面积是多少？
（3）若△DCF与由E、F、D三点组成的三角形相似，求BD的长．

21. 难度：中等

（2001•天津）已知：在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=4cm，AB=8cm，D、E、F分别为AB、AC、BC边上的中点．若P为AB边上的一个动点，PQ∥BC，且交AC于点Q，以PQ为一边，在点A的异侧作正方形PQMN，记正方形PQMN与矩形EDBF的公共部分的面积为y．
（1）如图，当AP=3cm时，求y的值；
（2）设AP=xcm，试用含x的代数式表示y（cm²）；
（3）当y=2cm²时，试确定点P的位置．

22. 难度：中等

（2001•河北）如图，⊙O表示一个圆形工件，图中标注了有关尺寸AB=15cm，OM=8cm，并且MB：MA=1：4．求工件半径的长．

23. 难度：中等

（2001•青海）一个长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，梯子的顶端下滑2米后，底端将水平滑动2米吗？试说明理由．

24. 难度：中等

（2005•温州）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O与AD、BC分别相交于点E、F，求证：OE=OF．

25. 难度：中等

（2001•乌鲁木齐）已知：如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD交于点O，AE⊥BD，CF⊥BD，E、F为垂足．求证：AC与EF互相平分．（请用两种方法证明）

26. 难度：中等

（2001•江西）已知BD是▱ABCD的对角线，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．
（1）根据题意补全图形；
（2）求证：△ABE≌△CDF．

27. 难度：中等

（2001•北京）已知：如图，在▱ABCD中，E为AD中点，连接CE并延长交BA的延长线于F．
求证：CD=AF．

28. 难度：中等

（2001•四川）已知如图，在平行四边形ABCD中，BN=DM，BE=DF．求证：四边形MENF是平行四边形．

29. 难度：中等

（2001•河北）如图，在菱形ABCD中，AB=10，∠BAD=60度．点M从点A以每秒1个单位长的速度沿着AD边向点D移动；设点M移动的时间为t秒（0≤t≤10）．
（1）点N为BC边上任意一点，在点M移动过程中，线段MN是否一定可以将菱形分割成面积相等的两部分并说明理由；
（2）点N从点B（与点M出发的时刻相同）以每秒2个单位长的速度沿着BC边向点C移动，在什么时刻，梯形ABNM的面积最大并求出面积的最大值；
（3）点N从点B（与点M出发的时刻相同）以每秒a（a≥2）个单位长的速度沿着射线BC方向（可以超越C点）移动，过点M作MP∥AB，交BC于点P．当△MPN≌△ABC时，设△MPN与菱形ABCD重叠部分的面积为S，求出用t表示S的关系式，井求当S=0时的值．

30. 难度：中等

（2001•温州）如图，在正方形ABCD中，AD=8，点E是边CD上（不包括端点）的动点，AE的中垂线FG分别交AD，AE，BC于点F，H，K交AB的延长线于点G．
（1）设DE=m，，用含m的代数式表示t；
（2）当时，求BG的长．