2009年北京市中考数学模拟试卷（9）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

（2003•滨州）抛物线y=2x²-5x+6的对称轴是（ ）
A．x=
B．x=
C．x=-
D．x=-

2. 难度：中等

（2002•泸州）抛物线y=x²-2x-1的顶点坐标是（ ）
A．（1，-1）
B．（-1，2）
C．（-1，-2）
D．（1，-2）

3. 难度：中等

（2002•丽水）二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，则（ ）

A．a＞0，b²-4ac＜0
B．a＞0，b²-4ac＞0
C．a＜0，b²-4ac＜0
D．a＜0，b²-4ac＞0

4. 难度：中等

（2005•枣庄）如图，在△ABC中，点D在AC上，DE⊥BC，垂足为E，若AD=2DC，AB=4DE，则sinB等于（ ）

A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

（2004•内江）给出下列命题：①平行四边形的对角线互相平分；②对角线互相平分的四边形是平行四边形；③菱形的对角线互相垂直；④对角线互相垂直的四边形是菱形．其中真命题的个数为（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1

6. 难度：中等

（2013•明溪县质检）给出下列函数：①y=2x；②y=-2x+1；③y=（x＞0）；④y=x²（x＜-1）．其中，y随x的增大而减小的函数是（ ）
A．①②
B．①③
C．②④
D．②③④

7. 难度：中等

（2003•岳阳）已知一次函数y=ax+c与y=ax²+bx+c，它们在同一坐标系内的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

（2002•陕西）如图所示，△ABC是不等边三角形，DE=BC，以D、E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以画出（ ）个．

A．2
B．4
C．6
D．8

9. 难度：中等

（2003•常德）二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，则关于此二次函数的下列四个结论①a＜0；②c＞0；③b²-4ac＞0；④＜0中，正确的结论有（ ）

A．一个
B．二个
C．三个
D．四个

10. 难度：中等

（2003•泰安）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=8，AC=6，BD=8，则此梯形的面积是（ ）

A．24
B．20
C．16
D．12

11. 难度：中等

（2003•仙桃）如图，线段AC，BD相交于点O，欲使四边形ABCD成为等腰梯形，应满足的条件是（ ）

A．AO=CO，BO=DO
B．AO=CO，BO=DO，∠AOB=90°
C．AO=DO，∠AOD=90°
D．AO=DO，BO=CO

二、填空题

12. 难度：中等

（2003•滨州）如图，点O是正△ACE和正△BDF的中心，且AE∥BD，则∠AOF=    度．

13. 难度：中等

（2003•滨州）某次数学测验满分为100（单位：分），某班的平均成绩为75，方差为10．若把每位同学的成绩按满分120进行换算，则换算后的平均成绩与方差分别是    ．

14. 难度：中等

李好在六月连续几天同一时刻观察电表显示的度数，记录如下：

日期	1号	2号	3号	4号	5号	6号	7号	8号	…	30号
电表显示（度）	120	123	127	132	138	141	145	148	…

估计李好家六月份总月电量是    度．

15. 难度：中等

（2003•十堰）将正方形A的一个顶点与正方形B的对角线交叉重合，如图1位置，则阴影部分面积是正方形A面积的，将正方形A与B按图2放置，则阴影部分面积是正方形B面积的    ．

16. 难度：中等

（2006•青海）抛物线y=-2x²-4x+1的顶点关于x轴对称的点的坐标为    ．

17. 难度：中等

（2004•哈尔滨）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A＜∠B，CM是斜边AB的中线，将△ACM沿直线CM折叠，点A落在点D处，如果CD恰好与AB垂直，则∠A=    °．

18. 难度：中等

（2002•上海）已知AD是△ABC的角平分线，点E、F分别是边AB，AC的中点，连接DE，DF，在不再连接其他线段的前提下，要使四边形AEDF成为菱形，还需添加一个条件，这个条件可以是    （答案不唯一）．

19. 难度：中等

（2003•十堰）下列四个图形中，图①是长方形，图②、③、④是正方形．把图①、②、③三个图形拼在一起（不重合），其面积为S，则S=    ；图④的面积P=    ；则P    S．

20. 难度：中等

（2003•十堰）已知方程ax²+bx+cy=0（a≠0、b、c为常数），请你通过变形把它写成你所熟悉的一个函数表达式的形式．则函数表达式为    ，成立的条件是    ，是    函数．

21. 难度：中等

（2011•城中区二模）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线AC上，且AE=CF．请你以点F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需证明一组线段相等即可）．
（1）连接：    ；
（2）猜想：    =    ；
（3）证明．

三、解答题

22. 难度：中等

（2008•聊城）如图，矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过O点的直线EF与AB，CD的延长线分别交于E，F．
（1）求证：△BOE≌△DOF；
（2）当EF与AC满足什么关系时，以A，E，C，F为顶点的四边形是菱形？证明你的结论．

23. 难度：中等

（2003•滨州）如图，AB是⊙O的弦，AC切⊙O于点A，AC=AB，CB交⊙O于点D，点E为弧AB的中点，连接AD，在不添加辅助线的情况下．
（1）找出图中存在的全等三角形，并给出证明；
（2）图中存在你所学过的特殊四边形吗？如果存在，请你找出来并给出证明．

24. 难度：中等

（2002•上海）操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q．
探究：设A、P两点间的距离为x．
（1）点Q在CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论（如图1）；
（2）点Q边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域（如图2）；
（3）点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由（如图3）．（图4、图5、图6的形状、大小相同，图4供操作、实验用，图5和图6备用）．

25. 难度：中等

如图，已知四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB、CD、AC、BD的中点，并且点E、F、G、H有在同一条直线上．
求证：EF和GH互相平分．

26. 难度：中等

（2003•北京）已知：抛物线y=ax²+4ax+t与x轴的一个交点为A（-1，0）
（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；
（2）D是抛物线与y轴的交点，C是抛物线上的一点，且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9，求此抛物线的解析式；
（3）E是第二象限内到x轴、y轴的距离的比为5：2的点，如果点E在（2）中的抛物线上，且它与点A在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△APE的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

27. 难度：中等

（2003•滨州）在平面直角坐标系中（单位长度：1cm），A、B两点的坐标分别为（-4，0），（2，0），点P从点A开始以2cm/s的速度沿折线AOy运动，同时点Q从点B开始以1cm/s的速度沿折线BOy运动．
（1）在运动开始后的每一时刻一定存在以点A、O、P为顶点的三角形和以点B、O、Q为顶点的三角形吗？如果存在，那么以点A、O、P为顶点的三角形和以点B、O、Q为顶点的三角形相似吗？以点A、O、P为顶点的三角形和以点B、O、Q为顶点的三角形会同时成为等腰直角三角形吗？请分别说明理由．
（2）试判断时，以点A为圆心，AP为半径的圆与以点B为圆心、BQ半径的圆的位置关系；除此之外⊙A与⊙B还有其他位置关系吗？如果有，请求出t的取值范围．
（3）请你选定某一时刻，求出经过三点A、B、P的抛物线的解析式．