2009年北京市中考数学模拟试卷（3）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

（2003•仙桃）如果方程x²+2x+m=0有两个同号的实数根，m的取值范围是（ ）
A．m＜1
B．0＜m≤1
C．0≤m＜1
D．m＞0

2. 难度：中等

徐工集团某机械制造厂制造某种产品，原来每件产品的成本是100元，由于提高生产技术，所以连续两次降低成本，两次降低后的成本是81元．则平均每次降低成本的百分率是（ ）
A．8.5%
B．9%
C．9.5%
D．10%

3. 难度：中等

（2003•常德）二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，则关于此二次函数的下列四个结论①a＜0；②c＞0；③b²-4ac＞0；④＜0中，正确的结论有（ ）

A．一个
B．二个
C．三个
D．四个

4. 难度：中等

（2002•荆州）如图点P为弦AB上一点，连接OP，过P作PC⊥OP，PC交⊙O于点C，若AP=4，PB=2，则PC的长为（ ）

A．
B．2
C．
D．3

5. 难度：中等

（2009•鄂尔多斯）为了美化城市，建设中的某小广场准备用边长相等的正方形和正八边形两种地砖镶嵌地面，在每一个顶点周围，正方形、正八边形地砖的块数分别是（ ）
A．1，2
B．2，1
C．2，3
D．3，2

二、填空题

6. 难度：中等

①的相反数是    ；②-2的倒数是    ；③16的算术平方根是    ；④-8的立方根是    ．

7. 难度：中等

不等式组的解集是    ．

8. 难度：中等

（2011•江津区）函数中x的取值范围是    ．

9. 难度：中等

直线y=3x-2一定过（0，-2）和（    ，0）两点．

10. 难度：中等

样本5，4，3，2，1的方差是     ；标准差是     ；中位数是     ．

11. 难度：中等

等腰三角形的一个角为30°，则底角为    度．

12. 难度：中等

（2009•冷水江市二模）梯形的高为4cm，中位线长为5cm，则梯形的面积为    cm²．

13. 难度：中等

如图PA切⊙O于点A，∠PAB=30°，则∠AOB=    度，∠ACB=    度．

14. 难度：中等

如图PA切⊙O于A割线PBC过圆心，交⊙O于B、C，若PA=6；PB=3，则PC=    ；⊙O的半径为    ．

15. 难度：中等

（2010•河北区模拟）如图△ABC中，∠C=90°，点D在BC上，BD=6，AD=BC，cos∠ADC=，则DC的长为    ．

16. 难度：中等

（2009•无锡模拟）图中的同心圆，大⊙O的弦AB切小⊙O于P，且AB=6，则阴影部分即圆环的面积为    ．

17. 难度：中等

已知Rt△ABC的两直角边AC、BC分别是一元二次方程x²-5x+6=0的两根，则此Rt△的外接圆的面积为    ．

三、解答题

18. 难度：中等

（2004•福州）计算-（）+（-2）³÷3^-1．

19. 难度：中等

（2004•泰州）计算：．

20. 难度：中等

计算[+]÷（）．

21. 难度：中等

（2004•陕西）解方程：-=1．

22. 难度：中等

（2004•重庆）已知关于x的一元二次方程x²+（2m-3）x+m²=0的两个不相等的实数根α、β满足，求m的值．

23. 难度：中等

如图，△ABC中，∠ABC=∠BAC=45°，点P在AB上，AD⊥CP，BE⊥CP，垂足分别为D，E，已知DC=2，求BE的长．

24. 难度：中等

（2009•无锡模拟）在一块长16m、宽12m的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园所占面积为荒地面积的一半，下面分别是小明和小颖的设计方案．

小明说：我的设计方案如图1，其中花园四周小路的宽度相等．通过解方程，我得到小路的宽为2m或12m．
小颖说：我的设计方案如图2，其中花园中每个角上的扇形相同．
（1）你认为小明的结果对吗？请说明理由．
（2）请你帮助小颖求出图中的x（精确到0.1m）．
（3）你还有其他的设计方案吗？请在下边的矩形中画出你的设计草图，并加以说明．

25. 难度：中等

（2004•福州）如图所示，l₁和l₂分别表示一种白炽灯和一种节能灯的费用y（元）与照明时间x（小时）的函数关系图象，假设两种灯的使用寿命都是2000小时，照明效果一样．（费用=灯的售价+电费）
（1）根据图象分别求出l₁，l₂的函数关系式；
（2）当照明时间为多少时，两种灯的费用相等？
（3）小亮房间计划照明2500小时，他买了一个白炽灯和一个节能灯，请你帮他设计最省钱的用灯方法．

26. 难度：中等

（2005•河源）已知：如图，AB是⊙O的一条弦，点C为的中点，CD是⊙O的直径，过C点的直线l交AB所在直线于点E，交⊙O于点F．
（1）判定图中∠CEB与∠FDC的数量关系，并写出结论；
（2）将直线l绕C点旋转（与CD不重合），在旋转过程中，E点，F点的位置也随之变化，请你在下面两个备用图中分别画出在不同位置时，使（1）的结论仍然成立的图形，标上相应字母，选其中一个图形给予证明．

27. 难度：中等

（2003•甘肃）阅读以下材料并填空．
平面上有n个点（n≥2），且任意三个点不在同一直线上，过这些点作直线，一共能作出多少条不同的直线？
（1）分析：当仅有两个点时，可连成1条直线；
当有3个点时，可连成3条直线；
当有4个点时，可连成6条直线；
当有5个点时，可连成10条直线；
…
（2）归纳：考察点的个数n和可连成直线的条数S_n，发现：
（3）推理：平面上有n个点，两点确定一条直线．取第一个点A有n种取法，取第二个点B有（n-1）种取法，所以一共可连成n（n-1）条直线，但AB与BA是同一条直线，故应除以2，即．
（4）结论：．

点的个数	可连成直线条数
2	l=S2=
3	3=S3=
4	6=S4=
5	10=S5=
…	…
n	Sn=

试探究以下问题：
平面上有n（n≥3）个点，任意三个点不在同一直线上，过任意三点作三角形，一共能作出多少不同的三角形？
①分析：
当仅有3个点时，可作______个三角形；
当有4个点时，可作______个三角形；
当有5个点时，可作______个三角形；
…
②归纳：考察点的个数n和可作出的三角形的个数S_n，发现：

点的个数	可连成三角形个数
3
4
5
…	…
n

③推理：______
取第一个点A有n种取法，
取第二个点B有（n-1）种取法，
取第三个点C有（n-2）种取法，
但△ABC、△ACB、△BAC、△BCA、△CAB、△CBA是同一个三角形，故应除以6．
④结论：______．

28. 难度：中等

实践操作题：把一个等腰直角三角形ABC沿斜边上的高线CD（裁剪线）剪一刀，从这个三角形裁下一部分，与剩下部分能拼成一个平行四边形A′BCD（见示意图1）．（以下探究过程中有画图要求的，工具不限，不必写画法和证明）．
探究一：
（1）想一想：判断四边形A′BCD是平行四边形的依据是______；
（2）做一做：按上述的裁剪方法，请你拼一个与图1位置或形状不同的平行四边形，并在图2中画出示意图．
探究二：

在等腰直角三角形ABC中，请你找出其它的裁剪线，把分割成的两部分拼出不同类型的特殊四边形．
（1）试一试：你能拼出所有不同类型的特殊四边形有______；它们的裁剪线分别是______

29. 难度：中等

（2004•济南）已知半径为R的⊙O′经过半径为r的⊙O的圆心，⊙O与⊙O′交于E、F两点．
（1）如图1，连接OO′交⊙O于点C，并延长交⊙O′于点D，过点C作⊙O的切线交⊙O′于A、B两点，求OA•OB的值；
（2）若点C为⊙O上一动点．
①当点C运动到⊙O′时，如图2，过点C作⊙O的切线交⊙O′，于A、B两点，则OA•OB的值与（1）中的结论相比较有无变化？请说明理由；
②当点C运动到⊙O′外时，过点C作⊙O的切线，若能交⊙O′于A、B两点，如图3，则OA•OB的值与（1）中的结论相比较有无变化？请说明理由．