2008年四川省绵阳中学自主招生考试数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

（2011•杭州一模）下列因式分解中，结果正确的是（ ）
A．x²y-y³=y（x²-y²）
B．x⁴-4=（x²+2）（x-）（x+）
C．x²-x-1=x（x-1-）
D．1-（a-2）²=（a-1）（a-3）

2. 难度：中等

“已知二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，试判断a+b+c与0的大小．”一同学是这样回答的：“由图象可知：当x=1时y＜0，所以a+b+c＜0．”他这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫做（ ）

A．换元法
B．配方法
C．数形结合法
D．分类讨论法

3. 难度：中等

已知实数x满足x²++x-=4，则x-的值是（ ）
A．-2
B．1
C．-1或2
D．-2或1

4. 难度：中等

若直线y=2x-1与反比例函数y=的图象交于点P（2，a），则反比例函数y=的图象还必过点（ ）
A．（-1，6）
B．（1，-6）
C．（-2，-3）
D．（2，12）

5. 难度：中等

现规定一种新的运算“*”：m*n=（m+n）^m-n，那么*=（ ）
A．
B．5
C．3
D．9

6. 难度：中等

一副三角板，如图所示叠放在一起，则∠AOB+∠COD=（ ）

A．180°
B．150°
C．160°
D．170°

7. 难度：中等

某中学对2005年、2006年、2007年该校住校人数统计时发现，2006年比2005年增加20%，2007年比2006年减少20%，那么2007年比2005年（ ）
A．不增不减
B．增加4%
C．减少4%
D．减少2%

8. 难度：中等

一半径为8的圆中，圆心角θ为锐角，且sinθ=，则角θ所对的弦长等于（ ）
A．8
B．10
C．8
D．16

9. 难度：中等

一支长为13cm的金属筷子（粗细忽略不计），放入一个长、宽、高分别是4cm、3cm、16cm的长方体水槽中，那么水槽至少要放进（ ）深的水才能完全淹没筷子．
A．13cm
B．4cm
C．12cm
D．cm

10. 难度：中等

如图，张三同学把一个直角边长分别为3cm，4cm的直角三角形硬纸板，在桌面上翻滚（顺时针方向），顶点A的位置变化为A₁⇒A₂⇒A₃，其中第二次翻滚时被桌面上一小木块挡住，使纸板一边A₂C₁与桌面所成的角恰好等于∠BAC，则A翻滚到A₂位置时共走过的路程为（ ）

A．8cm
B．8πcm
C．2cm
D．4πcm

11. 难度：中等

一辆汽车从甲地开往乙地，开始以正常速度匀速行驶，但行至途中汽车出了故障，只好停下修车，修好后，为了按时到达乙地，司机加快了行驶速度并匀速行驶．下面是汽车行驶路程S（千米）关于时间t（小时）的函数图象，那么能大致反映汽车行驶情况的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

（2012•保康县模拟）由绵阳出发到成都的某一次列车，运行途中须停靠的车站依次是：绵阳→罗江→黄许→德阳→广汉→清白江→新都→成都．那么要为这次列车制作的车票一共有（ ）
A．7种
B．8种
C．56种
D．28种

二、填空题

13. 难度：中等

根据图中的抛物线可以判断：当x    时，y随x的增大而减小；当x=    时，y有最小值．

14. 难度：中等

函数y=中，自变量x的取值范围是    ．

15. 难度：中等

如图，在圆O中，直径AB=10，C、D是上半圆上的两个动点．弦AC与BD交于点E，则AE•AC+BE•BD=    ．

16. 难度：中等

下图是用火柴棍摆放的1个、2个、3个…六边形，那么摆100个六边形，需要火柴棍    根．

17. 难度：中等

在平面直角坐标系中，平行四边形四个顶点中，有三个顶点坐标分别是（-2，5），（-3，-1），（1，-1），若另外一个顶点在第二象限，则另外一个顶点的坐标是    ．

18. 难度：中等

参加保险公司的汽车保险，汽车修理费是按分段赔偿，具体赔偿细则如下表．某人在汽车修理后在保险公司得到的赔偿金额是2000元，那么此人的汽车修理费是    元．

汽车修理费x元	赔偿率
0＜x＜500	60%
500≤x＜1000	70%
1000≤x＜3000	80%
…	…

三、解答题

19. 难度：中等

先化简，再求值：，其中．

20. 难度：中等

在△ABC中，∠ACB=90°，AC=．以BC为底作等腰直角△BCD，E是CD的中点，
求证：AE⊥EB．

21. 难度：中等

绵阳中学为了进一步改善办学条件，决定计划拆除一部分旧校舍，建造新校舍．拆除旧校舍每平方米需80元，建造新校舍每平方米需要800元，计划在年内拆除旧校舍与建造新校舍共9000平方米，在实施中为扩大绿化面积，新建校舍只完成了计划的90%而拆除旧校舍则超过了计划的10%，结果恰好完成了原计划的拆、建总面积．
（1）求原计划拆、建面积各是多少平方米？
（2）若绿化1平方米需要200元，那么把在实际的拆、建工程中节余的资金全部用来绿化，可绿化多少平方米？

22. 难度：中等

已知直线y=x+a与y轴的负半轴交于点A，直线y=-2x+8与x轴交于点B，与y轴交于点C，AO：CO=7：8（O是坐标原点），两条直线交于点P．
（1）求a的值及点P的坐标；
（2）求四边形AOBP的面积S．

23. 难度：中等

如图：已知AB是圆O的直径，BC是圆O的弦，圆O的割线DEF垂直于AB于点G，交BC于点H，DC=DH．
（1）求证：DC是圆O的切线；
（2）请你再添加一个条件，可使结论BH²=BG•BO成立，说明理由；
（3）在满足以上所有的条件下，AB=10，EF=8．求sin∠A的值．

24. 难度：中等

（2004•泉州）如图，菱形ABCD的边长为12cm，∠A=60°，点P从点A出发沿线路AB⇒BD做匀速运动，点Q从点D同时出发沿线路DC⇒CB⇒BA做匀速运动．
（1）已知点P，Q运动的速度分别为2cm/秒和2.5cm/秒，经过12秒后，P、Q分别到达M、N两点，试判断△AMN的形状，并说明理由；
（2）如果（1）中的点P、Q有分别从M、N同时沿原路返回，点P的速度不变，点Q的速度改为vcm/秒，经过3秒后，P、Q分别到达E、F两点，若△BEF与题（1）中的△AMN相似，试求v的值．

25. 难度：中等

在△ABC中，∠C=90°，AC，BC的长分别是b，a，且cotB=AB•cosA．
（1）求证：b²=a；
（2）若b=2，抛物线y=m（x-b）²+a与直线y=x+4交于点M（x₁，y₁）和点N（x₂，y₂），且△MON的面积为6（O是坐标原点）．求m的值；
（3）若，抛物线y=n（x²+px+3q）与x轴的两个交点中，一个交点在原点的右侧，试判断抛物线与y轴的交点是在y轴的正半轴还是负半轴，说明理由．