2011-2012年北京师大附中九年级第一学期期中考试数学卷

一、选择题

1. 难度：中等

某商店购进一种商品，进价为30元．试销中发现这种商品每天的销售量P（件）与每件的销售价（元）满足关系：.若商店在试销期间每天销售这种商品获得200元的利润，根据题意，下面所列方程正确的是（   ）.

A．  　     B．

C．         D．

2. 难度：中等

 如图，AC是电线杆AB的一根拉线，测得BC=6米，∠ACB=52°，则拉线AC的长为(    )

A. 米        B. 米 

 C. 6·cos52°米       D. 米

3. 难度：中等

已知二次函数y=的图象上有三点A(，)，B(2， )，

C(5，)，则、、的大小关系为(   )

A.>>      B.>>      C.>>      D.>>

4. 难度：中等

在平面直角坐标系中，如果抛物线y＝2x²+1不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是 (    )

A．y＝2(x－2)²+ 3     B．y＝2(x－2)²－1

       C．y＝2(x + 2)²－1     D．y＝2(x + 2)² + 3

5. 难度：中等

已知二次函数的图象如图所示，则下列结论：；方程的两根之和大于0；③时，随的增大而增大；④，其中正确的个数（    ）

A．4个                        B．3个                        C．2个                     D．1个

6. 难度：中等

直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的值是（    ）

A．      B．         C．      D．

7. 难度：中等

如图，AB是⊙O的直径，它把⊙O分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点P，当C在上半圆（不包括A、B两点）上移动时，点P（  ）

A.到CD的距离保持不变     B.位置不变

C. 随C点的移动而移动     D. 等分  

8. 难度：中等

如图，OA=4，线段OA的中点为B，点P在以O为圆心，

OB为半径的圆上运动，PA的中点为Q.当点Q也落在⊙O上时，cos∠OQB的值等于（   ）.

A．    　  B．          C．         D．

二、填空题

9. 难度：中等

若，则使成立的的取值范围是________

10. 难度：中等

化简：＝________

11. 难度：中等

下面是两位同学的一段对话：

甲：我站在此处看塔顶仰角为

乙：我站在此处看塔顶仰角为

甲：我们的身高都是1.5m

乙：我们相距20m

请你根据两位同学的对话计算塔的高度（精确到1米）是______．

12. 难度：中等

如图，在等腰直角三角形中，，，为上一点，若 ，则的长为______

13. 难度：中等

在中，，则

14. 难度：中等

有4个命题：

① 直径相等的两个圆是等圆；

② 长度相等的两条弧是等弧；

③ 圆中最大的弦是通过圆心的弦；

④ 在同圆或等圆中,相等的两条弦所对的弧是等弧．其中真命题是__________________

15. 难度：中等

如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则OM的长的取值范围是____________

16. 难度：中等

若是一元二次方程的实根，且满足则的取值范围是________

三、解答题

17. 难度：中等

计算：

18. 难度：中等

今年北京市大规模加固中小学校舍,房山某中学教学楼的后面靠近一座山坡，坡面上是一块平地，如图所示．，斜坡米，坡度i=，为防止山体滑坡，保障学生安全，学校决定不仅加固教学楼,还对山坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过时，可确保山体不滑坡，改造时保持坡脚不动，从坡顶沿削进到处，问至少是多少米.（结果保留根号）

19. 难度：中等

已知抛物线y＝ax+bx+c与轴交于两点，若两点的横坐标分别是一元二次方程的两个实数根，与轴交于点（0，3），

1.（1）求抛物线的解析式；

2.（2）在此抛物线上求点，使.

20. 难度：中等

已知在四边形ABCD中，

1.（1）求的长；

2.（2）求的长.

21. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，以点A（0，-3）为圆心，5为半径作圆A，交x轴于B、C两点，交y轴于点D、E两点．

1.（1）如果一个二次函数图象经过B、C、D三点，求这个二次函数的解析式；

2.（2）设点P的坐标为（m,0）(m>5),过点P作x轴交（1）中的抛物线于点Q，当以为顶点的三角形与相似时，求点P的坐标．

22. 难度：中等

 如图（1），由直角三角形边角关系，可将三角形面积公式变形，

即： =AB·CD，

在Rt中，，

              

=bc·sin∠A．     ①

即 三角形的面积等于两边之长与夹角正弦之积的一半．

如图（2），在ABC中，CD⊥AB于D，∠ACD=α， ∠DCB=β．

∵ ， 由公式①，得

AC·BC·sin(α+β)= AC·CD·sinα+BC·CD·sinβ，

即 AC·BC·sin(α+β)= AC·CD·sinα+BC·CD·sinβ．   ②

请你利用直角三角形边角关系，消去②中的AC、BC、CD，只用的正弦或余弦函数表示（直接写出结果）．

1.(1)______________________________________________________________

2.(2)利用这个结果计算:=_________________________

23. 难度：中等

 已知是的一个内角,抛物线的顶点在轴上. 1.(1)求的度数;

2.(2) 若求:AB边的长.

24. 难度：中等

 已知：如图，抛物线与轴交于点，点，与直线相交于点，点，直线与轴交于点．

1.（1）求的面积．

2.（2）若点在线段上以每秒1个单位长度的速度从向运动（不与重合），同时，点在射线上以每秒2个单位长度的速度从向运动．设运动时间为秒，请写出的面积与的函数关系式，并求出点运动多少时间时，的面积最大，最大面积是多少？

25. 难度：中等

 如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．

1.（1）直接写出点E、F的坐标；

2.（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；

3.（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．