2014-2015学年北京市门头沟区九年级上学期期末考试数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

已知，则的值是

A． B． C． D．

2. 难度：简单

已知⊙O的半径是4，OP=3，则点P与⊙O的位置关系是

A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．不能确定

3. 难度：简单

如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=5，BC=4，则sinB的值是

A． B．C． D．

4. 难度：简单

如果反比例函数在各自象限内，y随x的增大而减小，那么m的取值范围是

A．m＜0 B．m＞0 C．m＜－1 D．m＞－1

5. 难度：简单

如图，⊙O是△ABC的外接圆，如果，那么∠ACB的度数是

A．40° B．50°         C．60°  D．80°

6. 难度：简单

一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面上分别刻有1、2、3、4、5、6的点数，掷这个骰子一次，则掷得面朝上的点数为奇数的概率是 

A． B． C． D．

7. 难度：中等

将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是

A．  B．

C．  D．

8. 难度：中等

如图，等边三角形ABC边长为2，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿A→B→C→A的方向运动，到达点A时停止．设运动时间为x秒，y=PC，则y关于x 函数的图象大致为

A.                   B.                  C.                  D.

二、填空题

9. 难度：简单

扇形的半径为9，圆心角为120°，则它的弧长为_______.

10. 难度：中等

三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成的影子如图所示. 如果OA=20cm，OA′=50cm，那么这个三角尺的周长与它在墙上形成影子的周长的比是          .

11. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴是直线，

在下列结论中，唯一正确的是          .（请将正确的序号填在横线上）

① a＜0；② c＜－1； ③ 2a+3b=0；④ b²－4ac＜0；⑤ 当x=时，y的最大值为．

12. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD顶点A（－1，－1）、B（－3，－1）． 我们规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向右平移2个单位”为一次变换．

（1）如果正方形ABCD经过1次这样的变换得到正方形A₁B₁C₁D₁，那么B₁的坐标是           ．

（2）如果正方形ABCD经过2014次这样的变换得到正方形A₂₀₁₄B₂₀₁₄C₂₀₁₄D₂₀₁₄，那么B₂₀₁₄的坐标是     ．

三、计算题

13. 难度：简单

计算：

四、解答题

14. 难度：中等

已知抛物线y=x²－4x+3．

（1）用配方法将y=x²－4x+3化成y=a(x－h)²+k的形式；

（2）求出该抛物线的对称轴和顶点坐标；

（3）直接写出当x满足什么条件时，函数y＜0.

15. 难度：中等

如图，在△ABC中，D是AB上一点，且∠ABC=∠ACD．

（1）求证：△ACD∽△ABC；  （2）若AD=3，AB=7，求AC的长.

16. 难度：中等

如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼的顶部B的仰角为45°，看这栋高楼底的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离AD 为20m，求这栋楼的高度．（结果保留根号）

17. 难度：中等

如图，AB是⊙O 的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E．

（1）求证：∠BCO=∠D；

（2）若CD=，AE=2，求⊙O的半径．

18. 难度：中等

如图，一次函数y=kx+2的图象与x轴交于点B，与反比例函数的图象的一个交点为（2，3）．

（1）分别求反比例函数和一次函数的表达式；

（2）过点A作AC⊥x轴，垂足为C，若点P在反比例函数图象上，且△PBC的面积等于18，请直接写出点P的坐标．

19. 难度：中等

如图，在锐角△ABC中，AB=AC，BC=10，sinA=．（1）求tanB的值；（2）求AB的长．

20. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=－x²+bx+c经过点（－3，0）和（1，0）.

（1）求抛物线的表达式；

（2）在给定的坐标系中，画出此抛物线；

（3）设抛物线顶点关于y轴的对称点为A，记抛物线在第二象限之间的部分为图象G．点B是抛物线对称轴上一动点，如果直线AB与图象G有公共点，请结合函数的图象，直接写出点B纵坐标t的取值范围．

21. 难度：困难

如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，且BF是⊙O的切线，BF交AC的延长线于F．

（1）求证：∠CBF=∠CAB．  （2）若AB=5，sin∠CBF=，求BC和BF的长．

22. 难度：中等

小明遇到这样一个问题：如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB度数．小明发现，利用旋转和全等的知识构造△AP′C，连接PP′，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决（如图2）．

图1             

请回答：图1中∠APB的度数等于     ，图2中∠PP′C的度数等于     ．

参考小明思考问题的方法，解决问题：

如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A坐标为（，1），连接AO．如果点B是x轴上的一动点，以AB为边作等边三角形ABC. 当C（x，y）在第一象限内时，求y与x之间的函数表达式．

23. 难度：中等

已知关于x的方程mx²+(3m+1)x+3=0（m≠0）．

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值；

（3）在（2）的条件下，将关于的二次函数y= mx²+(3m+1)x+3的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请结合这个新的图象回答：当直线y=x+b与此图象有两个公共点时，b的取值范围．

24. 难度：中等

矩形ABCD一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得点B落在CD边上的点P处．

图1                         图2

（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA．

① 求证：△OCP∽△PDA；② 若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长．

（2）如图2，在（1）的条件下，擦去AO和OP，连接BP．动点M在线段AP上（不与点P、A重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连接MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问动点M、N在移动的过程中，线段EF的长度是否发生变化？若不变，求出线段EF的长度；若变化，说明理由．

25. 难度：中等

我们规定：函数（a、b、k是常数，k≠ab）叫奇特函数．当a=b=0时，奇特函数就是反比例函数（k是常数，k≠0）．

（1）如果某一矩形两边长分别是2和3，当它们分别增加x和y后，得到新矩形的面积为8．求y与x之间的函数表达式，并判断它是否为奇特函数；

（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A、C坐标分别为（6，0）、（0，3），点D是OA中点，连接OB、CD交于E，若奇特函数的图象经过点B、E，求该奇特函数的表达式；

（3）把反比例函数的图象向右平移4个单位，再向上平移     个单位就可得到（2）中得到的奇特函数的图象；

（4）在（2）的条件下，过线段BE中点M的一条直线l与这个奇特函数图象交于P，Q两点（P在Q右侧)，如果以B、E、P、Q为顶点组成的四边形面积为16，请直接写出点P的坐标．