2014-2015学年北京市西城区九年级上学期期末考试数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

二次函数的最大值是（    ）

A．          B．                C．1             D．2

2. 难度：简单

如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点，如果∠ADE=120°，那么∠B等于（    ）

A．130°              B．120°      C．80°            D．60°

3. 难度：简单

下列手机软件图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ）

A．     B．   C．       D．

4. 难度：简单

把抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线（    ）

A．    B．

C．     D．

5. 难度：简单

△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1∶2，如果△ABC的面积是3，那么△A′B′C′的面积等于（    ）

A．3                B．6                C．9               D．12

6. 难度：简单

如果关于x的一元二次方程有实数根，那么m的取值范围是（    ）

A．            B．             C．            D．

7. 难度：简单

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=，AC=12，BC=5，CD⊥AB于点D，那么sin∠BCD的值是（    ）

A．      B．      C．       D．

8. 难度：简单

如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若抛物线经过图中的三个格点，则以这三个格点为顶点的三角形称为抛物线的“内接格点三角形”．以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物线与网格对角线OB的两个交点之间的距离为，且这两个交点与抛物线的顶点是抛物线的内接格点三角形的三个顶点，则满足上述条件且对称轴平行于y轴的抛物线条数是（  ）

A．16     B．15     C．14       D．13

二、填空题

9. 难度：简单

在平面直角坐标系xOy中，点A（－2，n）在反比例函数的图象上，AB⊥x轴于点B，那么△AOB的面积等于   ．

10. 难度：中等

如图，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转某个角度得到△AB′C′，使AB′∥CB， CB，AC′的延长线相交于点D，如果∠D=28°，那么     °．

11. 难度：中等

如图，点D为△ABC外一点，AD与BC边的交点为E，AE=3，DE=5，BE=4，要使△BDE∽△ACE，且点B，D的对应点为A，C，那么线段CE的长应等于     ．

12. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，，（其中），点P在以点为圆心，半径等于2的圆上，如果动点P满足∠APB=90°，

（1）线段的长等于      （用含m的代数式表示）；（2）m的最小值为         ．

三、计算题

13. 难度：中等

计算：．

四、解答题

14. 难度：简单

解方程：．

15. 难度：简单

如图，在⊙O中，点P在直径AB的延长线上，PC，PD与⊙O相切，切点分别为点C，点D，连接CD交AB于点E．如果⊙O的半径等于，tan∠CPO=，求弦CD的长．

16. 难度：简单

如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点A，B，C都在格点上，将△ABC绕点A顺时针方向旋转90°得到△AB'C'．

（1）在正方形网格中，画出△AB'C'；

（2）计算线段AB在旋转到AB'的过程中所扫过区域的面积．（结果保留）

17. 难度：中等

某商店以每件20元的价格购进一批商品，若每件商品售价a元，则每天可卖出件．如果商店计划要每天恰好盈利8000元，并且要使每天的销售量尽量大，求每件商品的售价是多少元．

18. 难度：中等

如果关于x的函数的图象与x轴只有一个公共点，求实数a的值．

19. 难度：中等

如图，小明同学在东西方向的环海路A处，测得海中灯塔P在它的北偏东60°方向上，在A的正东400米的B处，测得海中灯塔P在它的北偏东30°方向上．问：灯塔P到环海路的距离PC约等于多少米？（取1．732，结果精确到1米）

20. 难度：简单

如图，在正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中顶点E，F，G分别在AB，BC，FD上．

（1）求证：△EBF∽△FCD；

（2）连接DH，如果BC=12，BF=3，求tan∠HDG的值．

21. 难度：中等

如图，在⊙O中，弦BC，BD关于直径AB所在直线对称．E为半径OC上一点，OC=3OE，连接AE并延长交⊙O于点F，连接DF交BC于点M．

（1）请依题意补全图形；

（2）求证：∠AOC=∠DBC；

（3）求的值．

22. 难度：中等

已知抛物线C：．

（1）补全表中A，B两点的坐标，并在所给的平面直角坐标系中画出抛物线C；

（2）将抛物线C上每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的，可证明得到的曲线仍是抛物线，（记为），且抛物线的顶点是抛物线C的顶点的对应点，求抛物线对应的函数表达式．

23. 难度：简单

如图，在平面直角坐标系xOy中，点，在反比例函数（m为常数）的图象G上，连接AO并延长与图象G的另一个交点为点C，过点A的直线l与x轴的交点为点，过点C作CE∥x轴交直线l于点E．

（1）求m的值及直线l对应的函数表达式；

（2）求点E的坐标；

（3）求证：∠BAE=∠ACB．

24. 难度：困难

如图，等边三角形ABC的边长为4，直线l经过点A并与AC垂直．当点P在直线l上运动到某一位置（点P不与点A重合）时，连接PC，并将△ACP绕点C按逆时针方向旋转得到△BCQ，记点P的对应点为Q，线段PA的长为m（）．

（1）①∠QBC=      ；

② 如图1，当点P与点B在直线AC的同侧，且时，点Q到直线l的距离等于      ；

（2）当旋转后的点Q恰好落在直线l上时，点P，Q的位置分别记为，．在图2中画出此时的线段及△，并直接写出相应m的值；

（3）当点P与点B在直线AC的异侧，且△PAQ的面积等于时，求m的值．

25. 难度：简单

如图1，对于平面上不大于的∠MON，我们给出如下定义：若点P在∠MON的内部或边界上，作PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F，则称PE+PF为点P相对于∠MON的“点角距离”，记为．

如图2，在平面直角坐标系xOy中，对于，点P为第一象限内或两条坐标轴正半轴上的动点，且满足5，点P运动形成的图形记为图形G．

（1）满足条件的其中一个点P的坐标是         ，图形G与坐标轴围成图形的面积等于         ；

（2）设图形G与x轴的公共点为点A，已知，，求的值；

（3）如果抛物线经过（2）中的A，B两点，点Q在A，B两点之间的抛物线上（点Q可与A，B两点重合），求当取最大值时，点Q 的坐标．