2014-2015学年北京市燕山区九年级上学期期末考试数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

观察下列图形，是中心对称图形的是

2. 难度：中等

某校举办中学生汉字听写大会，准备从甲、乙、丙、丁4套题中随机抽取一套题对选手进行训

   练，则抽中甲套题的概率是

A．          B．            C．            D．1

3. 难度：中等

如图是某几何体的三视图，该几何体是

A．圆锥        B．圆柱         C．棱柱         D．正方体

4. 难度：中等

已知△ABC ∽△DEF，相似比为1∶2，△ABC的周长为4，则△DEF的周长为

A．2           B．4             C．8             D．16

5. 难度：简单

如图，点A，B，C均在⊙O上，∠ACB＝35°，则∠AOB的度数为

A．20°          B．40°           C．60°            D．70°

6. 难度：简单

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，则cosB的值是

A．         B．        C．             D．2

7. 难度：中等

某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18℃的条件下生长最快的新品种．如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度（℃）随时间（小时）变化的函数图象，其中BC段是双曲线的一部分，则当＝16时，大棚内的温度约为

A．18℃           B．15.5℃         C．13.5℃        D．12℃

8. 难度：简单

如图，在Rt△OAB中，∠AOB＝90°，OA＝4，OB＝3．⊙O的半径为2，点P是线段AB上的一动点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点．设AP＝，PQ²＝，则与的函数图象大致是

二、填空题

9. 难度：简单

若，则＝                      ．

10. 难度：中等

已知反比例函数的图象在其每一分支上，y随x的增大而减小，则此反比例函数的解析式可以是                  ．（注：只需写出一个正确答案即可）

11. 难度：简单

如图，小明在打网球时，要使球恰好能打过网，且落点恰好在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h为         米．（已知网高为0.8米，击球点到网的水平距离为3米）

12. 难度：中等

在函数的图象上有点P₁，P₂，P₃，…，P_n，P_n+1，它们的横坐标依次为1，2，3，…，n，n+1．过点P₁，P₂，P₃，…，P_n，P_n+1分别作x轴、y轴的垂线段，构成如图所示的若干个矩形，将图中阴影部分的面积从左至右依次记为，，，…，，则点P₁的坐标为          ；＝           ；＝                 ．（用含n的代数式表示）

三、计算题

13. 难度：简单

计算：sin45°－tan60°·cos30°．

四、解答题

14. 难度：简单

如图，点D是△ABC的边AC上的一点，AB²＝AC·AD．求证：△ADB∽△ABC．

15. 难度：简单

如图，正比例函数y=2x与反比例函数的图象的一个交点为A（2，m）．

求m和k的值．

16. 难度：中等

如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，点A，B，C的坐标分别为（0，1），（1，－1），（5，1）．

（1）直接写出点B关于原点的对称点D的坐标；

（2）将△ABC绕点C顺时针旋转90º得到△A₁B₁C．请在网格中画出△A₁B₁C，并直接写出点A₁和B₁的坐标．

17. 难度：中等

如图，在半径为6cm的⊙O中，圆心O到弦AB的距离OE为3cm．

（1）求弦AB的长；（2）求劣弧的长．

18. 难度：中等

在燕房线地铁施工期间，交管部门在施工路段设立了矩形路况警示牌（如图所示）．已知立杆AB的高度是3米，从路侧点D处测得路况警示牌顶端C点和底端B点的仰角分别是60°和45°，求路况警示牌宽BC的值．（精确到0.1米）（参考数据：≈1.41，≈1.73）

19. 难度：中等

如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点F，点E是BD上一点，且∠BAC＝∠BDC＝∠DAE．

（1）求证：△ABE∽△ACD；

（2）若BC＝2，AD＝6，DE＝3，求AC的长．

20. 难度：中等

根据某网站调查，2014年网民们最关注的热点话题分别有：消费、教育、环保、反腐及其它共五类．根据调查的部分相关数据，绘制的统计图表如下

根据以上信息解答下列问题：

（1）请补全条形统计图并在图中标明相应数据；

（2）若北京市约有2100万人口，请你估计最关注环保问题的人数约为多少万人？

（3）在这次调查中，某单位共有甲、乙、丙、丁四人最关注教育问题，现准备从这四人中随机抽取两人进行座谈，则抽取的两人恰好是甲和乙的概率为         ．

21. 难度：简单

如图，AB为⊙O的直径，直线与⊙O相切于点C，过点A作AD⊥于点D，交⊙O于点E．

（1）求证：∠CAD＝∠BAC；[（2）若sin∠BAC＝，BC＝6，求DE的长．

五、填空题

22. 难度：压轴

阅读下面材料：

小辉遇到这样一个问题：如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E在边BC上，∠DAE＝45°．若BD＝3，CE＝1，求DE的长．

小辉发现，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转90º，得到△ACF，连接EF（如图2），由图形旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及∠DAE＝45°，可证△FAE≌△DAE，得FE＝DE．解△FCE，可求得FE（即DE）的长．

请回答：在图2中，∠FCE的度数是          ，DE的长为           ．

参考小辉思考问题的方法，解决问题：

如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°．E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD．猜想线段BE，EF，FD之间的数量关系并说明理由．

六、解答题

23. 难度：中等

已知关于的方程.

（1）求证：当时，方程总有两个不相等的实数根；

（2）若二次函数的图象与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与轴交于点C，且tan∠OAC＝4，求该二次函数的解析式；

（3）已知点P（m，0）是x轴上的一个动点，过点P作垂直于x轴的直线交（2）中的二次函数图象于点M，交一次函数的图象于点N．若只有当时，点M位于点N的下方，求一次函数的解析式．

24. 难度：简单

在正方形ABCD中，点E，F，G分别是边AD，AB，BC的中点，点H是直线BC上一点．将线段FH绕点F逆时针旋转90º，得到线段FK，连接EK．

（1）如图1，求证：EF＝FG，且EF⊥FG；

（2）如图2，若点H在线段BC的延长线上，猜想线段BH，EF，EK之间满足的数量关系，并证明你的结论．

（3）若点H在线段BC的反向延长线上，请在图3中补全图形并直接写出线段BH，EF，EK之间满足的数量关系．

七、填空题

25. 难度：压轴

在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C，给出如下定义：

若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A，B，C的外延矩形．点A，B，C的所有外延矩形中，面积最小的矩形称为点A，B，C的最佳外延矩形．例如，图中的矩形，，都是点A，B，C的外延矩形，矩形 是点A，B，C的最佳外延矩形．

（1）如图1，已知A（－2，0），B（4，3），C（0，）．

①若，则点A，B，C的最佳外延矩形的面积为                ；

②若点A，B，C的最佳外延矩形的面积为24，则的值为           ；

（2）如图2，已知点M（6，0），N（0，8）．P（，）是抛物线上一点，求点M，N，P的最佳外延矩形面积的最小值，以及此时点P的横坐标的取值范围；

（3）如图3，已知点D（1，1）．E（，）是函数的图象上一点，矩形OFEG是点O，D，E的一个面积最小的最佳外延矩形，⊙H是矩形OFEG的外接圆，请直接写出⊙H的半径r的取值范围．