2014-2015学年北京市海淀区九年级上学期期末考试数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

方程的根的情况是（    ）

A．有两个不相等的实数根          B．有两个相等的实数根

C．没有实数根                    D．无法确定是否有实数根

2. 难度：简单

在Rt△ABC中，∠C=90º，，则的值为（    ）

A．             B．            C．          D．

3. 难度：简单

若下图是某个几何体的三视图，则这个几何体是（    ）

A．长方体        B．正方体        C．圆柱       D．圆锥

4. 难度：简单

小丁去看某场电影，只剩下如图所示的六个空座位供他选择，座位号分别为1号、4号、6号、3号、5号和2号．若小丁从中随机抽取一个，则抽到的座位号是偶数的概率是（    ）

A．            B．            C．          D．

5. 难度：中等

如图，△ABC和△A₁B₁C₁是以点O为位似中心的位似三角形，若C₁为OC的中点，AB=4，则A₁B₁的长为  （    ）

A．1            B．2              C．4         D．8

6. 难度：简单

已知点A（，），B（，）是反比例函数的图象上的两点，若，则下列结论正确的是（    ）

A．        B．

C．        D．

7. 难度：中等

如图，AB是半圆O的直径，AC为弦，OD⊥AC于D，过点O作 OE∥AC交半圆O于点E，过点E作EF⊥AB于F．若AC=2，则OF的长为 （    ）

A．                B．           C．1        D．2

8. 难度：中等

如图，已知矩形ABCD的长AB为5，宽BC为4，E是BC边上的一个动点，AE⊥EF，EF交CD于点F．设BE=x，FC=y，则点E从点B运动到点C时，能表示y关于x的函数关系的大致图象是（  ）

A． B．  C．   D．

二、填空题

9. 难度：简单

若扇形的半径为3cm，圆心角为120°，则这个扇形的面积为__________ cm²．

10. 难度：中等

在某一时刻，测得一根高为2m的竹竿的影长为1m，同时测得一栋建筑物的影长为12m，那么这栋建筑物的高度为             m．

11. 难度：中等

如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于x的方程的解为__________．

三、解答题

12. 难度：中等

对于正整数，定义，其中表示的首位数字、末位数字的平方和．例如：，．

规定，（为正整数）．例如：，．

（1）求：____________，______________；

（2）若，则正整数m的最小值是_____________．

四、计算题

13. 难度：简单

计算：．

五、解答题

14. 难度：中等

如图，△ABC中，AB=AC，D是BC中点，BE⊥AC于E．求证：△ACD∽△BCE．

15. 难度：中等

已知是一元二次方程的实数根，求代数式的值．

16. 难度：中等

抛物线平移后经过点，，求平移后的抛物线的表达式．

17. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象交于A，B两点，A点的横坐标为2，AC⊥x轴于点C，连接BC．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）若点P是反比例函数图象上的一点，且满足△OPC与△ABC的面积相等，请直接写出点P的坐标．

18. 难度：中等

如图，△ABC中，∠ACB=90°，sinA=， BC=8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为E．

（1）求线段CD的长；

（2）求的值．

19. 难度：中等

已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，．

（1）求m的取值范围；

（2）若，且，求整数m的值．

20. 难度：中等

某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，据调研显示，每个档次的日产量及相应的单件利润如下表所示（其中x为正整数，且1≤x≤10）：

为了便于调控，此工厂每天只生产一个档次的产品．当生产质量档次为x的产品时，当天的利润为y万元．

（1）求y关于x的函数关系式；

（2）工厂为获得最大利润，应选择生产哪个档次的产品？并求出当天利润的最大值．

21. 难度：中等

如图，四边形ABCD是平行四边形，点A，B，C在⊙O上，AD与⊙O相切，射线AO交BC于点E，交⊙O于点F．点P在射线AO上，且∠PCB=2∠BAF．

（1）求证：直线PC是⊙O的切线；

（2）若AB=，AD=2，求线段PC的长．

22. 难度：中等

阅读下面材料：

小明观察一个由正方形点阵组成的点阵图，图中水平与竖直方向上任意两个相邻点间的距离都是1．他发现一个有趣的问题：对于图中出现的任意两条端点在点阵上且互相不垂直的线段，都可以在点阵中找到一点构造垂直，进而求出它们相交所成锐角的正切值．

请回答：（1）如图1，A、B、C是点阵中的三个点，请在点阵中找到点D，作出线段CD，使得CD⊥AB；

（2）如图2，线段AB与CD交于点O．为了求出的正切值，小明在点阵中找到了点E，连接AE，恰好满足于F，再作出点阵中的其它线段，就可以构造相似三角形，经过推理和计算能够使问题得到解决．

请你帮小明计算：OC=_______________；=_______________；

23. 难度：中等

在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，．

（1）求代数式mn的值；

（2）若二次函数的图象经过点B，求代数式的值；

（3）若反比例函数的图象与二次函数的图象只有一个交点，且该交点在直线的下方，结合函数图象，求的取值范围．

24. 难度：中等

如图1，在△ABC 中，BC=4，以线段AB为边作△ABD，使得AD=BD， 连接DC，再以DC为边作△CDE，使得DC = DE，∠CDE=∠ADB=α．

（1）如图2 ，当∠ABC=45°且α=90°时，用等式表示线段AD，DE之间的数量关系；

（2）将线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，连接BF，AF．

①若α=90°，依题意补全图3， 求线段AF的长；

②请直接写出线段AF的长（用含α的式子表示）．

25. 难度：困难

在平面直角坐标系xOy中，设点，是图形W上的任意两点．

定义图形W的测度面积：若的最大值为m，的最大值为n，则 为图形W的测度面积．

例如，若图形W是半径为1的⊙O．当P，Q分别是⊙O与x轴的交点时，如图1， 取得最大值，且最大值m=2；当P，Q分别是⊙O与y轴的交点时，如图2，取得最大值，且最大值n=2．则图形W的测度面积．

（1）若图形W是等腰直角三角形ABO，OA=OB=1．

①如图3，当点A，B在坐标轴上时，它的测度面积S=           ；

②如图4，当AB⊥x轴时，它的测度面积S=           ；

（2）若图形W是一个边长为1的正方形ABCD，则此图形测度面积S的最大值为        ；

（3）若图形W是一个边长分别为3和4的矩形ABCD，求它的测度面积S的取值范围．