2014-2015学年江苏省江阴市长泾片九年级上学期期中考试数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

关于x的方程ax²－3x+2=x²是一元二次方程，则a的取值范围为（     ）

A、a≠0           B、a＞0           C、a≠1           D、a＞1

2. 难度：简单

下列命题：（1）长度相等的弧是等弧；（2）任意三点确定一个圆；（3）相等的圆心角所所对的弦相等；（4）外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形．其中真命题有（   ）

A．0个       B．1个            C．2个           D．3个

3. 难度：中等

某款手机连续两次降价，售价由原来的1185元降到580元．设平均每次降价的百分率为x，则下面列出的方程中正确的是（     ）

A．1185（1-x）²=580 

B．580（1+x）²=1185  

C．1185（1+x）²=580 

D．580（1-x）²=1185

4. 难度：简单

在下列命题中，正确的是 （     ）

A．邻边之比相等的两个平行四边形一定相似 

B．有一个角是70两个等腰三角形一定相似

C．两个直角三角形一定相似 

D．有一个角是60的两个菱形一定相似

5. 难度：简单

如图，⊙O的弦AB、CD相交于点P，若AP=3，BP=4，CP=2，则CD长为（     ）

A．6              B．12               C．8              D．不能确定

6. 难度：中等

如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，则∠BCD度数为（  ）

A．116°           B．32°            C．58°          D．42°

7. 难度：中等

如图，△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知AD=10cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形（△AMN），则剪下的△AMN的周长为（     ）

A．20cm          B．15cm       C．10cm      D．随直线MN的变化而变化

8. 难度：中等

在直角坐标系中，已知O（0,0），A（2,0），B（0,4），C（0,3），D为x轴上一点．若以D、O、C为顶点的三角形与△AOB相似，这样的D点有（     ）

A．2个           B．3个             C．4个          D．5个

9. 难度：中等

某公司在布置联欢会会场时，需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形纸条。如图所示：在Rt△ABC中，AC=30cm,BC=40cm．依此裁下宽度为1cm的纸条，若使裁得的纸条的长都不小于5cm，则能裁得的纸条的张数是 （   ）

A．24            B．25              C．26            D．27

10. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过点A（－4，0）、B（0，4），⊙O的半径为1（O为坐标原点），点P在直线AB 上，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为（     ）

A．          B．              C．2       D．3

二、填空题

11. 难度：简单

已知，则=        ．

12. 难度：简单

已知一元二次方程x²－6x＋c＝0有一个根为2，则另一根为         ．

13. 难度：简单

若方程的两个根互为相反数，则等于      ．

14. 难度：简单

如图，点A、B、C在⊙O上，AB∥CO，∠B＝22º，则∠A＝        º．

15. 难度：中等

如图，测量小玻璃管口径的量具ABC，AB的长为10cm，AC被分为60等份．如果小玻璃管口DE正好对着量具上20等份处（DE∥AB），那么小玻璃管口径DE是         cm．

16. 难度：中等

把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，如图所示为正视图．已知EF＝CD＝16厘米，这个球的半径是       厘米．

17. 难度：中等

如图，在直线m上摆放着三个正三角形：△ABC、△HFG、△DCE，已知BC=CE，F、G分别是BC、CE的中点，FM∥AC， GE∥DC、设图中三个平行四边形的面积依次是S₁、S₂、S₃,若S₁+S₃=10，则S₂=       ．

18. 难度：中等

如图，P是双曲线y＝（x＞0）的一个分支上的一点，以点P为圆心，1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线y＝3相切时，点P的坐标为              ．

三、解答题

19. 难度：简单

解下列方程（每小题3分，共9分）

（1）

（2）（x＋3）²＝2x＋5

（3）（2x＋1）（x－3）＝－4

20. 难度：中等

（本题满分6分）已知关于的一元二次方程有两个实数根和．

（1）求实数的取值范围；

（2）当时，求的值．

21. 难度：中等

（本题满分6分）已知：如图，在同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．

（1）求证：∠AOC=∠BOD；

（2）试确定AC与BD两线段之间的大小关系，并证明你的结论．

22. 难度：中等

（本题满分8分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点D，点O是AB上一点，⊙O过B、D两点，且分别交AB、BC于点E、F．

（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）已知AB=10，BC=6，求⊙O的半径r．

23. 难度：中等

（本题满分8分）利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7．5吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元．

（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；

（2）在遵循“薄利多销”的原则下，问每吨材料售价为多少时，该经销店的月利润为9000元？

24. 难度：困难

（本题满分10分）已知：如图，矩形ABCD中，CD＝2，AD＝3，以C点为圆心，作一个动圆，与线段AD交于点P（P和A、D不重合），过P作⊙C的切线交线段AB于F点．

（1）求证：△CDP∽△PAF；

（2）设DP＝x，AF＝y，求y关于x的函数关系式，及自变量x的取值范围；

（3）是否存在这样的点P，使△APF沿PF翻折后，点A落在BC上，请说明理由．

25. 难度：中等

（本题满分10分）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，点D是BC上一定点．动点P从C出发，以2cm/s的速度沿C→A→B方向运动，动点Q从D出发，以1cm/s的速度沿D→B方向运动．点P出发5 s后,点Q才开始出发，且当一个点达到B时，另一个点随之停止．图2是当时△BPQ的面积S（ cm²）与点P的运动时间t（s）的函数图象．

（1）CD =        ,         ；

（2）当点P在边AB上时，为何值时，使得△BPQ与△ABC为相似？

（3）运动过程中，求出当△BPQ是以BP为腰的等腰三角形时的值．

26. 难度：中等

（本题满分12分）问题提出：平面内不在同一条直线上的三点确定一个圆．那么平面内的四点（任意三点均不在同一直线上），能否在同一个圆呢？

初步思考：设不在同一条直线上的三点A、B、C确定的圆为⊙O．

（1）当C、D在线段AB的同侧时，

如图①，若点D在⊙O上，此时有∠ACB＝∠ADB，理由是            ；

如图②，若点D在⊙O内，此时有∠ACB    ∠ADB；

如图③，若点D在⊙O外，此时有∠ACB    ∠ADB．（填“＝”、“＞”或“＜”）；

由上面的探究，请直接写出A、B、C、D四点在同一个圆上的条件：          ．

类比学习：（2）仿照上面的探究思路，请探究：当C、D在线段AB的异侧时的情形．

如图④，此时有              ，      

如图⑤，此时有              ，

如图⑥，此时有              ．

由上面的探究，请用文字语言直接写出A、B、C、D四点在同一个圆上的条件：

                                                                  ．   

拓展延伸：（3）如何过圆上一点，仅用没有刻度的直尺，作出已知直径的垂线？

已知：如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上．

求作：CN⊥AB．

作法：①连接CA，CB；

②在上任取异于B、C的一点D，连接DA，DB；

③DA与CB相交于E点，延长AC、BD，交于F点；

④连接F、E并延长，交直径AB于M；

⑤连接D、M并延长，交⊙O于N．连接CN．则CN⊥AB．

请按上述作法在图④中作图，并说明CN⊥AB的理由．（提示：可以利用（2）中的结论）

27. 难度：中等

（本题满分10分）如图①，在平面直角坐标系中，直线的位置随b的不同取值而变化．

（1）已知⊙M的圆心坐标为（4，2），半径为2，

当b=                时，直线经过圆心M ；

当b=                时，直线与 ⊙M相切；

（2）若把⊙M换成矩形ABCD，如图②，其三个顶点的坐标分别为：A（2,0）,B（6,0）,C（6,2） ．设直线l扫过矩形ABCD的面积为S，当b由小到大变化时，请求出S与b的函数关系式．