2014年初中毕业升学考试（江西南昌卷）数学（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

下列四个数中，最小的数是（　　）

A．﹣        B．0        C．﹣2        D．2

2. 难度：简单

据相关报道，截止到今年四月，我国已完成5.78万个农村教学点的建设任务．5.78万可用科学记数法表示为（　　）

A．5.78×10³        B．57.8×10³        C．0.578×10⁴        D．5.78×10⁴

3. 难度：简单

某市6月份某周气温（单位：℃）为23、25、28、25、28、31、28，则这组数据的众数和中位数分别是（　　）

A．25、25        B．28、28        C．25、28        D．28、31

4. 难度：简单

下列运算正确的是（　　）

A．a²+a³=a⁵    B．（﹣2a²）³=﹣6a⁶    C．（2a+1）（2a﹣1）=2a²﹣1    D．（2a³﹣a²）÷a²=2a﹣1

5. 难度：简单

如图，贤贤同学用手工纸制作一个台灯灯罩，做好后发现上口太小了，于是他把纸灯罩对齐压扁，剪去上面一截后，正好合适，以下裁剪示意图中，正确的是（　　）

A．        B．        C．        D．

6. 难度：简单

小锦和小丽购买了价格分别相同的中性笔和笔芯，小锦买了20支笔和2盒笔芯，用了56元；小丽买了2支笔和3盒笔芯，仅用了28元．设每支中性笔x元和每盒笔芯y元，根据题意列方程组正确的是（　　）

A．        B．

C．        D．

7. 难度：简单

如图，AB∥DE，AC∥DF，AC=DF，下列条件中不能判断△ABC≌△DEF的是（　　）

A．AB=DE        B．∠B=∠E        C．EF=BC        D．EF∥BC

8. 难度：简单

如图，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD=70°，AO∥DC，则∠B的度数为（　　）

A．40°        B．45°        C．50°        D．55°

9. 难度：简单

若α，β是方程x²﹣2x﹣3=0的两个实数根，则α²+β²的值为（　　）

A．10        B．9        C．7        D．5

10. 难度：简单

如图，△ABC中，AB=4，BC=6，∠B=60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（　　）

A．4，30°        B．2，60°        C．1，30°        D．3，60°

11. 难度：中等

如图1，将一个边长为a的正方形纸片剪去两个小矩形，得到一个“”的图案，如图2所示，再将剪下的两个小矩形拼成一个新的矩形，如图3所示，则新矩形的周长可表示为（　　）

A．2a﹣3b        B．4a﹣8b        C．2a﹣4b        D．4a﹣10b

12. 难度：中等

已知反比例函数y=的图象如图，则二次函数y=2kx²﹣4x+k²的图象大致为（　　）

A．        B．        C．        D．

二、填空题

13. 难度：简单

计算：=　 　．

14. 难度：简单

不等式组的解集是　  　．

15. 难度：中等

如图，是将菱形ABCD以点O为中心按顺时针方向分别旋转90°，180°，270°后形成的图形．若∠BAD=60°，AB=2，则图中阴影部分的面积为　     　．

16. 难度：中等

在Rt△ABC中，∠A=90°，有一个锐角为60°，BC=6．若点P在直线AC上（不与点A，C重合），且∠ABP=30°，则CP的长为　          　．

三、计算题

17. 难度：简单

计算：（﹣）÷．

四、解答题

18. 难度：简单

已知梯形ABCD，请使用无刻度直尺画图．

（1）在图1中画出一个与梯形ABCD面积相等，且以CD为边的三角形；

（2）图2中画一个与梯形ABCD面积相等，且以AB为边的平行四边形．

19. 难度：简单

有六张完全相同的卡片，分A，B两组，每组三张，在A组的卡片上分别画上“√，×，×”，如图1．

（1）若将卡片无标记的一面朝上摆在桌上再分别从两组卡片中随机各抽取一张，求两张卡片上标记都是“√”的概率．（请用“树形图法”或“列表法“求解）

（2）若把A，B两组卡片无标记的一面对应粘贴在一起得到三张卡片，其正、反面标记如图2所示，将卡片正面朝上摆在桌上，并用瓶盖盖住标记．

①若随机揭开其中一个盖子，看到的标记是“√”的概率是多少？

②若揭开盖子，看到的卡片正面标记是“√”后，猜想它的反面也是“√”，求猜对的概率．

20. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系中，Rt△PBD的斜边PB落在y轴上，tan∠BPD=．延长BD交x轴于点C，过点D作DA⊥x轴，垂足为A，OA=4，OB=3．

（1）求点C的坐标；

（2）若点D在反比例函数y=（k＞0）的图象上，求反比例函数的解析式．

21. 难度：简单

某教研机构为了了解在校初中生阅读数学教科书的现状，随机抽取某校部分初中学生进行了调查，依据相关数据绘制成以下不完整的统计表，请根据图表中的信息解答下列问题：

某校初中生阅读数学教科书情况统计图表

类别	人数	占总人数比例
重视	a	0.3
一般	57	0.38
不重视	b	c
说不清楚	9	0.06

（1）求样本容量及表格中a，b，c的值，并补全统计图；

（2）若该校共有初中生2300名，请估计该校“不重视阅读数学教科书”的初中人数；

（3）①根据上面的统计结果，谈谈你对该校初中生阅读数学教科书的现状的看法及建议；

②如果要了解全省初中生阅读数学教科书的情况，你认为应该如何进行抽样？

22. 难度：中等

图1中的中国结挂件是由四个相同的菱形在顶点处依次串联而成，每相邻两个菱形均成30°的夹角，示意图如图2．在图2中，每个菱形的边长为10cm，锐角为60°．

（1）连接CD，EB，猜想它们的位置关系并加以证明；

（2）求A，B两点之间的距离（结果取整数，可以使用计算器）

（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）

23. 难度：困难

如图1，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB=4，BC=2，P是⊙O上半部分的一个动点，连接OP，CP．

（1）求△OPC的最大面积；

（2）求∠OCP的最大度数；

（3）如图2，延长PO交⊙O于点D，连接DB，当CP=DB时，求证：CP是⊙O的切线．

24. 难度：困难

如图1，边长为4的正方形ABCD中，点E在AB边上（不与点A，B重合），点F在BC边上（不与点B，C重合）．

第一次操作：将线段EF绕点F顺时针旋转，当点E落在正方形上时，记为点G；

第二次操作：将线段FG绕点G顺时针旋转，当点F落在正方形上时，记为点H；

依次操作下去…

（1）图2中的△EFD是经过两次操作后得到的，其形状为　 　，求此时线段EF的长；

（2）若经过三次操作可得到四边形EFGH．

①请判断四边形EFGH的形状为　  　，此时AE与BF的数量关系是　  　；

②以①中的结论为前提，设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y，求y与x的函数关系式及面积y的取值范围；

（3）若经过多次操作可得到首尾顺次相接的多边形，其最大边数是多少？它可能是正多边形吗？如果是，请直接写出其边长；如果不是，请说明理由．

25. 难度：压轴

如图1，抛物线y=ax²+bx+c（a＞0）的顶点为M，直线y=m与x轴平行，且与抛物线交于点A，B，若△AMB为等腰直角三角形，我们把抛物线上A，B两点之间的部分与线段AB围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段AB称为碟宽，顶点M称为碟顶，点M到线段AB的距离称为碟高．

（1）抛物线y=x²对应的碟宽为　  　；抛物线y=4x²对应的碟宽为　 　；抛物线y=ax²（a＞0）对应的碟宽为　　；抛物线y=a（x﹣2）²+3（a＞0）对应的碟宽为　　；

（2）抛物线y=ax²﹣4ax﹣（a＞0）对应的碟宽为6，且在x轴上，求a的值；

（3）将抛物线y=a_nx²+b_nx+c_n（a_n＞0）的对应准蝶形记为F_n（n=1，2，3…），定义F₁，F₂，…，F_n为相似准蝶形，相应的碟宽之比即为相似比．若F_n与F_n﹣1的相似比为，且F_n的碟顶是F_n﹣1的碟宽的中点，现将（2）中求得的抛物线记为y₁，其对应的准蝶形记为F₁．

①求抛物线y₂的表达式；

②若F₁的碟高为h₁，F₂的碟高为h₂，…F_n的碟高为h_n，则h_n=　　，F_n的碟宽有端点横坐标为　2　；F₁，F₂，…，F_n的碟宽右端点是否在一条直线上？若是，直接写出该直线的表达式；若不是，请说明理由．