2013-2014学年北京市东城区初三第一学期期末统一测试数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中为中心对称图形的是

2. 难度：简单

用配方法解方程x²-2x-1=0时，配方后得到的方程为

A． B． C． D．

3. 难度：简单

袋子中装有4个黑球和2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出三个球．下列是必然事件的是

A．摸出的三个球中至少有一个球是黑球

B．摸出的三个球中至少有一个球是白球

C．摸出的三个球中至少有两个球是黑球

D．摸出的三个球中至少有两个球是白球

4. 难度：简单

如图，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，则∠BCD等于

A．116° B．64° C．58° D．32°

5. 难度：简单

如图，电线杆上的路灯距离地面8米，身高1.6米的小明(AB)站在距离电线杆的底部（点O）20米的A处， 则小明的影子AM长为

A．4米 B．5米

C．6米 D．8米

6. 难度：中等

二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是

A．a＞0

B．当-1＜x＜3时，y＞0

C．c＜0

D．当x≥1时，y随x的增大而增大

7. 难度：中等

如图，四边形ABCD是菱形，∠A=60°，AB=2，扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是

A．－ B．－

C．π－ D．π－

8. 难度：中等

如图，正方形ABCD中，AB＝8cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，到点C，D时停止运动．设运动时间为t(s)，△OEF的面积为S(cm2)，则S(cm2)与t(s)的函数关系可用图象表示为（     ）

A.                 B.                C.                  D.

二、填空题

9. 难度：简单

若关于x的一元二次方程kx²-2x-1有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是            ．

10. 难度：简单

请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，-1）的抛物线的解析式__________．

11. 难度：简单

如图，在Rt△OAB中，∠B=90°∠AOB=30°，将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA₁B₁，则∠A₁OB=　  　 °

12. 难度：困难

射线QN与等边△ABC的两边AB，BC分别交于点M，N，且AC∥QN，AM=MB=2cm，QM=4cm．动点P从点Q出发，沿射线QN以每秒1cm的速度向右移动，经过t秒，以点P为圆心，cm为半径的圆与△的边相切，请写出t可取的所有值                   ．

三、解答题

13. 难度：简单

解方程：x²-10x+9=0.

14. 难度：中等

如图，△ABC和△A’B’C’是两个完全重合的直角三角板，∠B=∠B’=30º，斜边长为10cm．三角形板A’B’C’绕直角顶点C顺时针旋转，当点A'落在AB边上时，求C’A’旋转所构成的扇形的弧长．

15. 难度：中等

如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连结AE，BD，且AE，BD交于点F，S_△DEF∶S_△ABF=4∶25，求DE∶EC的值．

16. 难度：简单

二次函数的图象与x轴交于点A（-1, 0），与y轴交于点C（0，-5），且经过点D（3，-8）.

（1）求此二次函数的解析式和顶点坐标；

（2）请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在原点处，并写出平移后抛物线的解析式．

17. 难度：简单

画图：

（1）如图，已知△ABC和点O．将△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△A₁B₁C₁，在网格中画出△A₁B₁C₁；

（2）如图，AB是半圆的直径，图1中，点C在半圆外；图2中，点C在半圆内，请仅用无刻度的直尺（只能画线）按要求画图．

（ⅰ）在图1中，画出△ABC的三条高的交点；

（ⅱ）在图2中，画出△ABC中AB边上的高．

18. 难度：中等

如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，求EC的长．

19. 难度：中等

如图，有四张背面相同的纸牌A，B，C，D，其正面分别是红桃、方块、黑桃、梅花，其中红桃、方块为红色，黑桃、梅花为黑色．小明将这4张纸牌背面朝上洗匀后，摸出一张，将剩余3张洗匀后再摸出一张.请用画树状图或列表的方法求摸出的两张牌均为黑色的概率.

20. 难度：中等

在一幅长8分米，宽6分米的矩形风景画（如图①）的四周镶宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图（如图②）．如果要使整个挂图的面积是80平方分米，求金色纸边的宽．

21. 难度：中等

在Rt△ACB中，∠C=90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC，AB分别交于点D，E，且∠CBD=∠A．

（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；

（2）若AD∶AO=8∶5，BC=3，求BD的长．

22. 难度：困难

阅读理【解析】

如图1，若在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E与点A，B不重合），分别连结ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点．解决问题：

（1）如图1，若∠A=∠B=∠DEC=55°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；

（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E；

拓展探究：

（3）如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处．若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，请直接写出的值．

         图1                  图2                        图3

23. 难度：中等

已知二次函数y=a(x-m)²-2a(x-m)（a,m为常数，且a≠0）.

（1）求证：不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；

（2）设该函数的图象的顶点为C，与x轴交于A，B两点，当△ABC是等腰直角三角形时，求a的值．

24. 难度：中等

如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90º,∠B=∠E=30º.

（1）操作发现

如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C顺时针旋转．当点D恰好落在AB边上时，填空：

线段DE与AC的位置关系是          ；

设△BDC的面积为S₁，△AEC的面积为S₂，则S₁与S₂的数量关系是          ，证明你的结论；

猜想论证

当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中S₁与S₂的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AE中BC，CE边上的高，请你证明小明的猜想．

25. 难度：困难

在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=-x²+(m-1)x+4m的图象与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B（0，4），已知点E（0，1）．

（1）求m的值及点A的坐标；

（2）如图，将△AEO沿x轴向右平移得到△A′E′O′，连结A′B、BE′．

①当点E′落在该二次函数的图象上时，求AA′的长；

②设AA′=n，其中0＜n＜2，试用含n的式子表示A′B²+BE′²，并求出使A′B²+BE′²取得最小值时点E′的坐标；

③当A′B+BE′取得最小值时，求点E′的坐标．