2013-2014学年北京四中初三第一学期期中考试数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

抛物线y=(x+1)²-4的顶点坐标是（    ）

A．（1,4）    B.(-1,4)      C.(1,-4)     D.(-1,-4)

2. 难度：简单

在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosB的值等于（   ）

A．        B.          C.         D.

3. 难度：简单

如图，在ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，DE：EC=2:3，则S_△DEF:S_△ABF=（ 　）

A. 2：3     B. 4：9     C. 2：5     D. 4：25

4. 难度：简单

在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为2，把△EFO放大，则点E的对应点E′的坐标是（　 ）

A.(-2,1)            B.(-8,4)

C.(-8,4)或(8,-4)    D.(-2,1)或(2,-1)

5. 难度：简单

二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：

x	﹣3	﹣2	﹣1	0	1	2	3	4	5
y	12	5	0	﹣3	﹣4	﹣3	0	5	12

给出了结论：

（1）二次函数y=ax²+bx+c有最小值，最小值为﹣3；

（2）当时，y＜0；

（3）二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴有两个交点，且它们分别在y轴两侧．

则其中正确结论的个数是（　　）

A．1个    B．2个    C． 3个       D．0个

6. 难度：简单

如图，D是△ABC的边BC上一点，已知AB=4，AD=2．∠DAC=∠B，若△ABD的面积为a，则△ACD的面积为（　　）

A．a   B．      C．    D．

7. 难度：简单

若定义变换：，，如：，，则=（    ）

A．   B．   C．   D．

8. 难度：中等

小明从如图所示的二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：①ab＞0；②a+b+c＜0；③b+2c＞0；④a﹣2b+4c＞0；⑤．

你认为其中正确信息的个数有（　　）

A. 2个   B. 3个   C. 4个   D. 5个

二、填空题

9. 难度：简单

在△ABC中，∠C=90°， ，则b=     ．

10. 难度：简单

已知(-3，m）、(1，m)是抛物线y=2x²+bx+3的两点，则b=____.

11. 难度：简单

.如图，是二次函数y₁＝ax²＋bx＋c和一次函数y₂＝mx＋n的图象，观察图象写出y₂>y₁时，x的取值范围__________．

12. 难度：简单

已知二次函数y＝ax ²＋bx＋c图象的一部分如图，则a的取值范围是____    __．

三、计算题

13. 难度：简单

计算：

四、解答题

14. 难度：简单

如图，正△ABC中，∠ADE=60°，

（1）求证：△ABD∽△DCE；

（2）若BD=2，CD=4，求AE的长．

15. 难度：简单

如图，为了测量某建筑物AB的高度，在平地上C处测得建筑物顶端A的仰角为30°，沿CB方向前进（9m到达D处，在D处测得建筑物顶端A的仰角为45°，求该建筑物AB的高度

16. 难度：简单

已知抛物线y＝x²－2kx＋3k＋4．

(1)顶点在y轴上时，k的值为_________.

(2)顶点在x轴上时，k的值为_________.

(3)抛物线经过原点时，k的值为_______.

17. 难度：中等

已知二次函数y=-x²-x.

（1）在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象；

（2）根据图象，写出当y＜0时，x的取值范围；

（3）若将此图象沿x轴向右平移3个单位，请写出平移后图象所对应的函数关系式．

18. 难度：中等

已知：如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，E为边AC的中点，BC＝14，AD＝12，

求：(1)线段DC的长；

(2)tan∠EDC的值．

19. 难度：中等

如图，直角△ABC中，∠C=90°，AB=2，sinB=，点P为边BC上一动点，PD∥AB，PD交AC于点D，连结AP．

（1）求、的长；

（2）设的长为，的面积为．当为何值时，最大并求出最大值．

20. 难度：中等

如图，直线y＝3x和y＝2x分别与直线x＝2相交于点A、B，将抛物线y＝x ²沿线段OB移动，使其顶点始终在线段OB上，抛物线与直线x＝2相交于点C，设△AOC的面积为S，求S的取值范围．

21. 难度：中等

某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．

设每件商品的售价上涨元（为正整数），每个月的销售利润为元．

（1）求与的函数关系式并直接写出自变量的取值范围；

（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？

（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？

22. 难度：中等

当抛物线的解析式中含有字母系数时，随着系数中的字母取值的不同，抛物线的顶点坐标也将发生变化.例如：由抛物线y=x²－2mx+m²+2m－1①有y=(x－m)²+2m－1②，

所以抛物线顶点坐标为（m，2m－1），即x=m③,y=2m－1④.

当m的值变化时，x，y的值也随之变化，因而y的值也随x值的变化而变化.

将③代入④，得y=2x－1⑤.可见，不论m取任何实数，抛物线顶点的纵坐标y和横坐标x都满足关系式：y=2x－1；

根据上述阅读材料提供的方法，确定点（－2m, m－1）满足的函数关系式为_______.

(2)根据阅读材料提供的方法，确定抛物线顶点的纵坐标y与横坐标x之间的关系式.

23. 难度：中等

已知二次函数

（1）求证：不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点．

（2）设a<0，当此函数图象与x轴的两个交点的距离为时，求出此二次函数的解析式．

（3）在（2）的条件下，若此二次函数图象与x轴交于A、B两点，在函数图象上是否存在点P，使得△PAB的面积为，若存在求出P点坐标，若不存在请说明理由。

24. 难度：中等

已知：∠ACD=90°，MN是过点A的直线，AC=DC，DB⊥MN于点B，如图（1）．易证BD+AB=CB，过程如下：过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E

∵∠ACB+∠BCD=90°，∠ACB+∠ACE=90°，∴∠BCD=∠ACE．

∵四边形ACDB内角和为360°，∴∠BDC+∠CAB=180°．

∵∠EAC+∠CAB=180°，∴∠EAC=∠BDC．

又∵AC=DC，∴△ACE≌△DCB，∴AE=DB，CE=CB，∴△ECB为等腰直角三角形，∴BE=CB．

又∵BE=AE+AB，∴BE=BD+AB，∴BD+AB=CB．

(1)当MN绕A旋转到如图（2）和图（3）两个位置时，其它条件不变，则BD、AB、CB满足什么样关系式，请写出你的猜想，并对图（2）给予证明．

(2)MN在绕点A旋转过程中，当∠BCD=30°，BD=时，则CB=__________．

25. 难度：困难

如图，抛物线y=ax²+bx+c经过点A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0）．

（1）求此抛物线的解析式．

（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点，（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线AB于点E，作PD⊥AB于点D．

①动点P在什么位置时，△PDE的周长最大，求出此时P点的坐标；

②连接PA，以AP为边作图示一侧的正方形APMN，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．

当顶点M或N恰好落在抛物线对称轴上时，求出对应的P点的坐标．（结果保留根号）