《第2章 二次函数》2010年市立一中水平检测试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

下列函数不属于二次函数的是（ ）
A．y=（x-1）（x+2）
B．y=（x+1）²
C．y=2（x+3）²-2x²
D．y=1-x²

2. 难度：中等

抛物线y=2x²+4x-3的顶点坐标是（ ）
A．（1，-5）
B．（-1，-5）
C．（-1，-4）
D．（-2，-7）

3. 难度：中等

二次函数y=x²-2x+3图象的对称轴是（ ）
A．直线x=1
B．直线x=-1
C．直线x=2
D．直线x=-2

4. 难度：中等

二次函数y=-2（x-3）²+5图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为（ ）
A．开口向下，对称轴为x=-3，顶点坐标为（3，5）
B．开口向下，对称轴为x=3，顶点坐标为（3，5）
C．开口向上，对称轴为x=-3，顶点坐标为（-3，5）
D．开口向上，对称轴为x=3，顶点坐标为（-3，-5）

5. 难度：中等

二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：（1）c＜0；（2）b＞0；（3）4a+2b+c＞0；（4）（a+c）²＜b²，其中正确的有（ ）

A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

6. 难度：中等

已知抛物线y=（x-4）²-3的部分图象（如图），图象再次与x轴相交时的坐标是（ ）

A．（5，0）
B．（6，0）
C．（7，0）
D．（8，0）

7. 难度：中等

已知函数y=ax²+bx+c（a≠0），给出下列四个判断：①a＞0；②2a+b=0；③b²-4ac＞0；④a+b+c＜0．以其中三个判断作为条件，余下一个判断作为结论，可得到四个命题，其中，真命题的个数有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

8. 难度：中等

无论m为任何实数，二次函数y=x²+（2-m）x+m的图象总过的点是（ ）
A．（1，3）
B．（1，0）
C．（-1，3）
D．（-1，0）

9. 难度：中等

由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：“已知二次函数y=ax²+bx+c的图象过点（1，0），…，求证：这个二次函数的图象关于直线x=2对称．”根据现有信息，题中的二次函数不具有的性质是（ ）
A．过点（3，0）
B．顶点是（-2，2）
C．在x轴上截得的线段长是2
D．与y轴的交点是（0，3）

10. 难度：中等

函数y=kx²-k和在同一直角坐标系中图象可能是图中的（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

如图所示，有一根长60cm的铁丝，用它围成一个矩形，写出矩形面积S（cm²）与它的一边长x（cm）之间的函数关系式    ．

12. 难度：中等

若点P（1，a）和Q（-1，b）都在抛物线y=-x²+1上，则线段PQ的长是    ．

13. 难度：中等

已知抛物线y=x²+（m-1）x-的顶点的横坐标是2，则m的值是    ．

14. 难度：中等

已知二次函数y=x²+bx+c的图象过点A（c，0），且关于直线x=2对称，则这个二次函数的解析式可能是    （只要写出一个可能的解析式）．

15. 难度：中等

已知抛物线y=x²+2（k+1）x-k与x轴有两个交点，且这两个交点分别在直线x=1的两侧，则k的取值范围是    ．

16. 难度：中等

用配方法将二次函数y=4x²-24x+26写y=a（x-h）²+k的形式是    ．

17. 难度：中等

平面上，经过点A（2，0），B（0，-1）的抛物线有无数条，请写出其中一条确定的抛物线的解析式（不含字母系数）：    （写成一般式）．

18. 难度：中等

已知函数y=x²-2001x+2002与x轴的交点为（m，0），（n，0），则（m²-2001m+2002）（n²-2001n+2002）=    ．

19. 难度：中等

若抛物线y=-4x²+16x-15的顶点为A，与x轴的交点为B、C，则△ABC的面积是    ．

20. 难度：中等

某种产品的年产量不超过1000吨，该产品的年产量（单位：吨）与费用（单位：万元）之间函数的图象是顶点在原点的抛物线的一部分（如图所示）；该产品的年销售量（单位：吨）与销售单价（单位：万元/吨）之间的函数图象是线段（如图所示），若生产出的产品都能在当年销售完，则年产量是    吨时，所获毛利润最大（毛利润=销售额-费用）．

三、解答题

21. 难度：中等

已知二次函数图象经过（2，-3），对称轴x=1，抛物线与x轴两交点距离为4，求这个二次函数的解析式．

22. 难度：中等

如图，直线y=2x+2与x轴、y轴分别相交于A、B两点，将△AOB绕点O顺时针旋转90°得到△A₁OB₁．
（1）在图中画出△A₁OB₁；
（2）求经过A，A₁，B₁三点的抛物线的解析式．

23. 难度：中等

某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．
（1）现该商场要保证每天盈利6 000元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
（2）若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价多少元，能使商场获利最多？

24. 难度：中等

如图，抛物线y=-x²+x+6，与x轴交于A、B两点，与y轴相交于C点．
（1）求△ABC的面积；
（2）已知E点（0，-3），在第一象限的抛物线上取点D，连接DE，使DE被x轴平分，试判定四边形ACDE的形状，并证明你的结论．

25. 难度：中等

已知函数y=x²-4x+1
（1）求函数的最小值；
（2）在给定坐标系中，画出函数的图象；
（3）设函数图象与x轴的交点为A（x₁，0）、B（x₂，0），求x₁²+x₂²的值．

26. 难度：中等

OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA=10，OC=6．
（1）如图，在AB上取一点M，使得△CBM沿CM翻折后，点B落在x轴上，记作B'点．求B'点的坐标；
（2）求折痕CM所在直线的解析式；
（3）作B'G∥AB交CM于点G，若抛物线y=x²+m过点G，求抛物线的解析式，并判断以原点O为圆心，OG为半径的圆与抛物线除交点G外，是否还有交点？若有，请直接写出交点的坐标．

27. 难度：中等

路在山腹行是沪蓉西高速公路的显著特点之一，全线共有隧道37座，共计长达742421.2米．下图是正在修建的庙垭隧道的截面，截面是由一抛物线和一矩形构成，其行车道CD总宽度为8米，隧道为单行线2车道．
（1）建立恰当的平面直角坐标系，并求出隧道拱抛物线的解析式；
（2）在隧道拱的两侧距地面3米高处各安装一盏路灯，在（1）的平面直角坐标系中用坐标表示其中一盏路灯的位置；
（3）为了保证行车安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道拱在竖直方向上高度之差至少有0.5米．现有一辆汽车，装载货物后，其宽度为4米，车载货物的顶部与路面的距离为2.5米，该车能否通过这个隧道？请说明理由．