第2章《二次函数》中考题集（25）：2.7 最大面积是多少（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

如图，两条抛物线y₁=-x²+1，y₂=与分别经过点（-2，0），（2，0）且平行于y轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为（ ）

A．8
B．6
C．10
D．4

2. 难度：中等

如图，点A，B的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线y=a（x-m）²+n的顶点在线段AB上运动（抛物线随顶点一起平移），与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为-3，则点D的横坐标最大值为（ ）

A．-3
B．1
C．5
D．8

3. 难度：中等

如图，二次函数y=-x²-2x的图象与x轴交于点A、O，在抛物线上有一点P，满足S_△AOP=3，则点P的坐标是（ ）

A．（-3，-3）
B．（1，-3）
C．（-3，-3）或（-3，1）
D．（-3，-3）或（1，-3）

4. 难度：中等

已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点，请你在图中任意画一条抛物线，问所画的抛物线最多能经过81个格点中的多少个（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9

5. 难度：中等

如图所示是二次函数y=-x²+2的图象在x轴上方的一部分，对于这段图象与x轴所围成的阴影部分的面积，你认为可能的值是（ ）

A．4
B．
C．2π
D．8

6. 难度：中等

如图，记抛物线y=-x²+1的图象与x正半轴的交点为A，将线段OA分成n等份，设分点分别为P₁，P₂，…P_n-1，过每个分点作x轴的垂线，分别与抛物线交于点Q₁，Q₂，…，Q_n-1，再记直角三角形OP₁Q₁，P₁P₂Q₂，…，P_n-2P_n-1Q_n-1的面积分别为S₁，S₂，…，这样就有S₁=，S₂=，…；记W=S₁+S₂+…+S_n-1，当n越来越大时，你猜想W最接近的常数是（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题

7. 难度：中等

如图，抛物线y=ax²+c（a＜0）交x轴于点G，F，交y轴于点D，在x轴上方的抛物线上有两点B，E，它们关于y轴对称，点G，B在y轴左侧，BA⊥OG于点A，BC⊥OD于点C，四边形OABC与四边形ODEF的面积分别为6和10，则△ABG与△BCD的面积之和为    ．

8. 难度：中等

二次函数y=x²的图象如图所示，点A位于坐标原点，A₁，A₂，A₃，…，A₂₀₀₈在y轴的正半轴上，B₁，B₂，B₃，…，B₂₀₀₈在二次函数y=x²第一象限的图象上，若△AB₁A₁，△A₁B₂A₂，△A₂B₃A₃，…，△A₂₀₀₇B₂₀₀₈A₂₀₀₈都为等边三角形，请计算△AB₁A₁的边长=    ；△A₁B₂A₂的边长=    ；△A₂₀₀₇B₂₀₀₈A₂₀₀₈的边长=    ．

9. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax²+c（a≠0）的图象过正方形ABOC的三个顶点A、B、C，则ac的值是    ．

10. 难度：中等

如图，矩形ABCD的长AB=4cm，宽AD=2cm．O是AB的中点，OP⊥AB，两半圆的直径分别为AO与OB．抛物线的顶点是O，关于OP对称且经过C、D两点，则图中阴影部分的面积是    cm²．

11. 难度：中等

如图正方形ABCD的边长为2cm，O是AB的中点，也是抛物线的顶点，OP⊥AB，两半圆的直径分别为OA与OB．抛物线经过C、D两点，且关于OP对称，则图中阴影部分的面积之和为    cm²．（π取3.14，结果保留2个有效数字）

12. 难度：中等

直角坐标系xOy中，O是坐标原点，抛物线y=x²-x-6与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．如果点M在y轴右侧的抛物线上，S_△AMO=S_△COB，那么点M的坐标是    ．

13. 难度：中等

如图，半圆A和半圆B均与y轴相切于O，其直径CD、EF和x轴垂直，以O为顶点的两条抛物线分别经过点C、E和D、F，则图中阴影部分面积是    ．

三、解答题

14. 难度：中等

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标为Q（2，-1），且与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上的一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PD∥y轴，交AC于点D．
（1）求该抛物线的函数关系式；
（2）当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标；
（3）在题（2）的结论下，若点E在x轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．

15. 难度：中等

如图，在直角坐标平面内，O为坐标原点，A点的坐标为（1，0），B点在x轴上且在点A的右侧，AB=OA，过点A和B作x轴的垂线分别交二次函数y=x²图象于点C和D，直线OC交BD于M，直线CD交y轴于点H．记C、D的横坐标分别为x_c，x_D，于点H的纵坐标y_H．
（1）证明：①S_△CMD：S_梯形ABMC=2：3；②x_c•x_D=-y_H；
（2）若将上述A点坐标（1，0）改为A点坐标（t，0）（t＞0），其他条件不变，结论S_△CMD：S_梯形ABMC=2：3是否仍成立？请说明理由．
（3）若A的坐标（t，0）（t＞0），又将条件y=x²改为y=ax²（a＞0），其他条件不变，那么x_c，x_D和y_H又有怎样的数量关系？写出关系式，并证明．

16. 难度：中等

已知直角坐标系中有一点A（-4，3），点B在x轴上，△AOB是等腰三角形．
（1）求满足条件的所有点B的坐标；
（2）求过O，A，B三点且开口向下的抛物线的函数表达式（只需求出满足条件的一条即可）；
（3）在（2）中求出的抛物线上存在点P，使得以O，A，B，P四点为顶点的四边形是梯形，求满足条件的所有点P的坐标及相应梯形的面积．

17. 难度：中等

如图，平面直角坐标系中有一矩形ABCO（O为原点），点A、C分别在x轴、y轴上，且C点坐标为（0，6）；将BCD沿BD折叠（D点在OC边上），使C点落在OA边的E点上，并将BAE沿BE折叠，恰好使点A落在BD的点F上．
（1）直接写出∠ABE、∠CBD的度数，并求折痕BD所在直线的函数解析式；
（2）过F点作FG⊥x轴，垂足为G，FG的中点为H，若抛物线y=ax²+bx+c经过B、H、D三点，求抛物线的函数解析式；
（3）若点P是矩形内部的点，且点P在（2）中的抛物线上运动（不含B、D点），过点P作PN⊥BC分别交BC和BD于点N、M，设h=PM-MN，试求出h与P点横坐标x的函数解析式，并画出该函数的简图，分别写出使PM＜NM、PM=MN、PM＞MN成立的x的取值范围．

18. 难度：中等

在平面直角坐标系中，抛物线过原点O，且与x轴交于另一点A，其顶点为B．孔明同学用一把宽为3cm带刻度的矩形直尺对抛物线进行如下测量：
①量得OA=3cm；
②把直尺的左边与抛物线的对称轴重合，使得直尺左下端点与抛物线的顶点重合（如图1），测得抛物线与直尺右边的交点C的刻度读数为4.5．
请完成下列问题：
（1）写出抛物线的对称轴；
（2）求抛物线的解析式；
（3）将图中的直尺（足够长）沿水平方向向右平移到点A的右边（如图2），直尺的两边交x轴于点H、G，交抛物线于点E、F．求证：S_梯形EFGH=（EF²-9）．

19. 难度：中等

已知二次函数y=x²+bx+c+1的图象过点P（2，1）．
（1）求证：c=-2b-4；
（2）求bc的最大值；
（3）若二次函数的图象与x轴交于点A（x₁，0）、B（x₂，0），△ABP的面积是，求b的值．

20. 难度：中等

如图所示，在平面直角坐标系中，点B的坐标为（-3，-4），线段OB绕原点逆时针旋转后与x轴的正半轴重合，点B的对应点为点A．
（1）直接写出点A的坐标，并求出经过A，O，B三点的抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点C，使BC+OC的值最小？若存在，求出点C的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）如果点P是抛物线上的一个动点，且在x轴的上方，当点P运动到什么位置时，△PAB的面积最大？求出此时点P的坐标和△PAB的最大面积．

21. 难度：中等

已知抛物线y=-x²+bx+c的图象经过点A（m，0）、B（0，n），其中m、n是方程x²-6x+5=0的两个实数根，且m＜n．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，求C、D点的坐标和△BCD的面积；
（3）P是线段OC上一点，过点P作PH⊥x轴，交抛物线于点H，若直线BC把△PCH分成面积相等的两部分，求P点的坐标．

22. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，），△AOB的面积是．
（1）求点B的坐标；
（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；
（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）在（2）中x轴下方的抛物线上是否存在一点P，过点P作x轴的垂线，交直线AB于点D，线段OD把△AOB分成两个三角形，使其中一个三角形面积与四边形BPOD面积比为2：3？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

23. 难度：中等

已知二次函数的图象与x轴有且只有一个交点A（-2，0），与y轴的交点为B（0，4），且其对称轴与y轴平行．
（1）求该二次函数的解析式，并在所给出坐标系中画出这个二次函数的大致图象；
（2）在该二次函数位于A、B两点之间的图象上取上点M，过点M分别作x轴、y轴的垂线段，垂足分别为点C、D．求矩形MCOD的周长的最小值和此时点M的坐标．

24. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系中，已知A、B、C三点的坐标分别为A（-2，0），B（6，0），C（0，3）．
（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）过C点作CD平行于x轴交抛物线于点D，写出D点的坐标，并求AD、BC的交点E的坐标；
（3）若抛物线的顶点为P，连接PC、PD，判断四边形CEDP的形状，并说明理由．

25. 难度：中等

如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）．
（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；
（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O₁、A₁、C₁、B₁，得到如图2的梯形O₁A₁B₁C₁．设梯形O₁A₁B₁C₁的面积为S，A₁、B₁的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂）．用含S的代数式表示x₂-x₁，并求出当S=36时点A₁的坐标；
（3）在图1中，设点D坐标为（1，3），动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

26. 难度：中等

如图，直线y=hx+d与x轴和y轴分别相交于点A（-1，0），B（0，1），与双曲线y=在第一象限相交于点C；以AC为斜边、∠CAO为内角的直角三角形，与以CO为对角线、一边在x轴上的矩形面积相等；点C，P在以B为顶点的抛物线y=mx²+nx+k上；直线y=hx+d、双曲线y=和抛物线y=ax²+bx+c同时经过两个不同的点C，D．
（1）确定t的值；
（2）确定m，n，k的值；
（3）若无论a，b，c取何值，抛物线y=ax²+bx+c都不经过点P，请确定P的坐标．

27. 难度：中等

将直角边长为6的等腰Rt△AOC放在如图所示的平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C、A分别在x、y轴的正半轴上，一条抛物线经过点A、C及点B（-3，0）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点P是线段BC上一动点，过点P作AB的平行线交AC于点E，连接AP，当△APE的面积最大时，求点P的坐标；
（3）在第一象限内的该抛物线上是否存在点G，使△AGC的面积与（2）中△APE的最大面积相等？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

28. 难度：中等

已知：函数y=ax²+x+1的图象与x轴只有一个公共点．
（1）求这个函数关系式；
（2）如图所示，设二次函数y=ax²+x+1图象的顶点为B，与y轴的交点为A，P为图象上的一点，若以线段PB为直径的圆与直线AB相切于点B，求P点的坐标；
（3）在（2）中，若圆与x轴另一交点关于直线PB的对称点为M，试探索点M是否在抛物线y=ax²+x+1上？若在抛物线上，求出M点的坐标；若不在，请说明理由．

29. 难度：中等

如图，已知抛物线y=x²+bx-3a过点A（1，0），B（0，-3），与x轴交于另一点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若在第三象限的抛物线上存在点P，使△PBC为以点B为直角顶点的直角三角形，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在一点Q，使以P，Q，B，C为顶点的四边形为直角梯形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

30. 难度：中等

如图①，梯形ABCD中，∠C=90°．动点E、F同时从点B出发，点E沿折线BA-AD-DC运动到点C时停止运动，点F沿BC运动到点C时停止运动，它们运动时的速度都是1cm/s．设E、F出发ts时，△EBF的面积为ycm²．已知y与t的函数图象如图②所示，其中曲线OM为抛物线的一部分，MN、NP为线段．请根据图中的信息，解答下列问题：
（1）梯形上底的长AD=______cm，梯形ABCD的面积______cm²；
（2）当点E在BA、DC上运动时，分别求出y与t的函数关系式（注明自变量的取值范围）；
（3）当t为何值时，△EBF与梯形ABCD的面积之比为1：2？