第1章《直角三角形的边角关系》常考题集（13）：1.4 船有触角的危险吗（解析版）
一、解答题
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| 1. 难度：中等 |
如图，为了测量河流某一段的宽度，在河的北岸选了点A，在河的南岸选取了相距200m的B，C两点，分别测得∠ABC=60°，∠ACB=45°．
求这段河的宽度AD的长．（精确到0.1m）
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| 3. 难度：中等 |
如图，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地须经C地沿折线A-C-B行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知AC=10km，∠A=30°，∠B=45°，则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多少千米？（结果精确到0.1km）（参考数据： ≈1.41）
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| 4. 难度：中等 |
某海滨浴场的海岸线可以看作直线l（如图），有两位救生员在岸边的点A同时接到了海中的点B（该点视为定点）的呼救信号后，立即从不同的路径前往救助．其中1号救生员从点A先跑300米到离点B最近的点D，再跳入海中沿直线游到点B救助；2号救生员先从点A跑到点C，再跳入海中沿直线游到点B救助．如果两位救生员在岸上跑步的速度都是6米/秒，在水中游泳的速度都是2米/秒，且∠BAD=45°，∠BCD=60°，请问1号救生员与2号救生员谁先到达点B？
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| 6. 难度：中等 |
如图，在小岛上有一观察站A．据测，灯塔B在观察站A北偏西45°的方向，灯塔C在B正东方向，且相距10海里，灯塔C与观察站A相距10 海里，请你测算灯塔C处在观察站A的什么方向？
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| 7. 难度：中等 |
某段笔直的限速公路上，规定汽车的最高行驶速度不能超过60 km/h（即 m/s）．交通管理部门在离该公路100 m处设置了一速度监测点A，在如图所示的坐标系中，点A位于y轴上，测速路段BC在x轴上，点B在点A的北偏西60°方向上，点C在点A的北偏东45°方向上．
（1）请在图中画出表示北偏东45°方向的射线AC，并标出点C的位置；
（2）点B坐标为______
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| 8. 难度：中等 |
如图，A，B两镇相距60km，小山C在A镇的北偏东60°方向，在B镇的北偏西30°方向．经探测，发现小山C周围20km的圆形区域内储有大量煤炭，有关部门规定，该区域内禁止建房修路．现计划修筑连接A，B两镇的一条笔直的公路，试分析这条公路是否会经过该区域？
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| 9. 难度：中等 |
一条东西走向的高速公路上有两个加油站A、B，在A的北偏东45°方向还有一个加油站C，C到高速公路的最短距离是30千米，B、C间的距离是60千米，想要经过C修一条笔直的公路与高速公路相交，使两路交叉口P到B、C的距离相等，请求出交叉口P与加油站A的距离．（结果可保留根号）
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| 11. 难度：中等 |
如图，海上有一灯塔P，在它周围3海里处有暗礁．一艘客轮以9海里/时的速度由西向东航行，行至A点处测得P在它的北偏东60°的方向，继续行驶20分钟后，到达B处又测得灯塔P在它的北偏东45°方向．问客轮不改变方向继续前进有无触礁的危险？
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| 12. 难度：中等 |
如图，一艘轮船在海上以每小时36海里的速度向正西方向航行，上午8时，在B处测得小岛A在北偏东30°方向，之后轮船继续向正西方向航行，于上午9时到达C处，这时测得小岛A在北偏东60°方向．如果轮船仍继续向正西方向航行，于上午11时到达D处，这时轮船与小岛A相距多远？
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| 13. 难度：中等 |
如图，在夏令营活动中，同学们从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了300m 到达B点，然后再沿北偏西30°方向走300m到达目的地C点．
求：（1）A，C两地之间的距离；（2）确定目的地C在营地A的什么方向？
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| 14. 难度：中等 |
如图，为了测量一条河的宽度，一测量员在河岸边的C处测得对岸一棵树A在正南方向，测量员向正东方向走180米到点B处，测得这棵树在南偏西60°的方向，求河的宽度？（结果保留根号）．
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| 15. 难度：中等 |
如图，已知MN表示某引水工程的一段设计路线，从M到N的走向为南偏东30°，在M的南偏东60°方向上有一点A，以A为圆心，500m为半径的圆形区域为居民区，取MN上另一点B，测得BA的方向为南偏东75°，已知MB=400m，通过计算回答，如果不改变方向，输水线路是否会穿过居民区？
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| 16. 难度：中等 |
如图，已知灯塔A的周围7海里的范围内有暗礁，一艘渔轮在B处测得灯塔A在北偏东60°的方向，向正东航行8海里到C处后，又测得该灯塔在北偏东30°方向，渔轮不改变航向，继续向东航行，有没有触礁危险？请通过计算说明理由．（参考数据 1.732）
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| 17. 难度：中等 |
台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，据气象观察，距沿海某城市A正南220千米的B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心正以15千米/时的速度沿北偏东30°方向向C移动，且台风中心风力不变，若城市受到的风力达到或超过四级，则称受台风影响．
（1）该城市是否会受到这次台风的影响？为什么？（提示：过A作AD⊥BC于D）
（2）若受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？
（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？
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| 18. 难度：中等 |
去年某省将地处A、B两地的两所大学合并成一所综合大学，为了方便A、B两地师生的交往，学校准备在相距2千米的A、B两地之间修筑一条笔直公路．如图中线段AB，经测量，在A地北偏东60°方向，B地西偏北45°方向的C处有一个半径为0.7千米的公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园？为什么？
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| 19. 难度：中等 |
如图所示，A，B两地之间有条河，原来从A地到B地需要经过桥DC，沿折线A⇒D⇒C⇒B到达．现在新建了桥EF，可直接沿直线AB从A地到达B地．已知BC=11km，∠A=45°，∠B=37°，桥DC和AB平行，则现在从A地到B地可比原来少走多少路程（结果精确到0.1km．参考数据： ≈1.41，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80）
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| 20. 难度：中等 |
如图，B处在A处的南偏西50°的方向，C处在A处的南偏东15°的方向，C处在B处的北偏东84°的方向．求∠C的度数．
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| 21. 难度：中等 |
如图，海岛A四周20海里范围内是暗礁区，一艘货轮由东向西航行，在B处见岛A在北偏西60°，航行24海里后到C处，见岛A在北偏西30°，货轮继续向西航行，有无触礁危险？
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| 22. 难度：中等 |
北方雪灾发生后，一支专业搜救队赶往受灾严重的某村庄救援．如图，汽车在一条南北走向的公路上向北行驶，当在A处时，车载GPS（全球卫星定位系统）显示村庄C在北偏西30°方向，由于公路积雪，汽车只能以35km/h的速度前行2h到达B处，此时GPS显示村庄C在北偏西60°方向．
（1）求B处到村庄C的距离；
（2）求村庄C到该公路的距离．
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| 24. 难度：中等 |
 一艘渔船在A处观测到东北方向有一小岛C，已知小岛C周围4.8海里范围内是水产养殖场．渔船沿北偏东30°方向航行10海里到达B处，在B处测得小岛C在北偏东60°方向，这时渔船改变航线向正东（即BD）方向航行，这艘渔船是否有进入养殖场的危险？
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| 25. 难度：中等 |
某民航飞机在大连海域失事，为调查失事原因，决定派海军潜水员打捞飞机上的黑匣子，如图所示，一潜水员在A处以每小时8海里的速度向正东方向划行，在A处测得黑匣子B在北偏东60°的方向，划行半小时后到达C处，测得黑匣子B在北偏东30°的方向，在潜水员继续向东划行多少小时，距离黑匣子B最近，并求最近距离．
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| 26. 难度：中等 |
 如图，某货船以20海里/小时的速度将一批重要的物资由A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后便接到气象部门通知，一台风中心正由A向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域（包括边界）均会受到影响．在B处的货船是否会受到台风的侵袭？说明理由．
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| 27. 难度：中等 |
如图，B地在A地的正东方向，两地相距28km，A，B两地之间有一条东北走向的高速公路，A，B两地分别到这条高速公路的距离相等．上午8：00测得一辆在高速公路上行驶的汽车位于A地的正南方向P处．至上午8：20，B地发现该车在它的西北方向Q处，该段高速公路限速为110km/h，问该车有否超速行驶？
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| 28. 难度：中等 |
如图，甲、乙两船同时从港口O出发，甲船以16.1海里/时的速度向东偏南32°方向航行，乙船向西偏南58°方向航行，航行了两小时，甲船到达A处并观测到B处的乙船恰好在其正西方向．
（1）求甲船从港口O到A处的航行距离；
（2）求乙船的速度V（精确到0.1海里/时）．
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| 29. 难度：中等 |
如图，CD，EF表示高度不同的两座建筑物，已知CD高15米，小明站在A处，视线越过CD，能看到它后面的建筑物的顶端E，此时小明的视角∠FAE=45°，为了能看到建筑物EF上点M的位置，小明延直线FA由点A移动到点N的位置，此时小明的视角∠FNM=30°，求AN之间的距离．
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，tan21.3°≈
，sin63.5°≈
，tan63.5°≈2）
≈1.41，
≈1.73）
，sin31°≈
）
≈1.4，
≈1.7）
