第25章《图形的变换》中考题集（15）：25.2 旋转变换（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

已知△ABC中，AB=AC，∠A=36°，点D在AC上，将△BDC绕点D按顺时针方向旋转α（0°＜α＜180°），使△BDC与△ADE重合（如图所示）．
（1）求角α；
（2）说明四边形EBCD是等腰梯形．

2. 难度：中等

课堂上，老师将图①中△AOB绕O点逆时针旋转，在旋转中发现图形的形状和大小不变，但位置发生了变化．当△AOB旋转90°时，得到∠A₁OB₁．已知A（4，2），B（3，0）．
（1）△A₁OB₁的面积是______；A₁点的坐标为（______）；B₁点的坐标为（______）；
（2）课后，小玲和小惠对该问题继续进行探究，将图②中△AOB绕AO的中点C（2，1）逆时针旋转90°得到△A′O′B′，设O′B′交OA于D，O′A′交x轴于E．此时A′，O′和B′的坐标分别为（1，3），（3，-1）和（3，2），且O′B′经过B点．在刚才的旋转过程中，小玲和小惠发现旋转中的三角形与△AOB重叠部分的面积不断变小，旋转到90°时重叠部分的面积（即四边形CEBD的面积）最小，求四边形CEBD的面积；
（3）在（2）的条件下，△AOB外接圆的半径等于______．

3. 难度：中等

如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，AB=8．半径为的⊙M与射线BA相切，切点为N，且AN=3．将Rt△ABC顺时针旋转120°后得到Rt△ADE，点B、C的对应点分别是点D、E．
（1）画出旋转后的Rt△ADE；
（2）求出Rt△ADE的直角边DE被⊙M截得的弦PQ的长度；
（3）判断Rt△ADE的斜边AD所在的直线与⊙M的位置关系，并说明理由．

4. 难度：中等

如图，在正方形ABCD中，E是AB边上任意一点，∠ECF=45°，CF交AD于点F，将△CBE绕点C顺时针旋转到△CDP，点P恰好在AD的延长线上．
（1）求证：EF=PF；
（2）直线EF与以C为圆心，CD为半径的圆相切吗？为什么？

5. 难度：中等

如图所示，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点A，B，C都在格点上．
（1）画出△ABC绕点A逆时针旋转90°后得到的△AB₁C₁；
（2）求旋转过程中动点B所经过的路径长（结果保留π）．

6. 难度：中等

每个小方格都是边长为1个单位长度的小正方形，菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图．
（1）将菱形OABC先向右平移4个单位，再向上平移2个单位，得到菱形OA₁B₁C₁，请画出菱形OA₁B₁C₁，并直接写出点B₁的坐标；
（2）将菱形OABC绕原点O顺时针旋转90°，得到菱形OA₂B₂C₂，请画出菱形OA₂B₂C₂，并求出点B旋转到B₂的路径长．

7. 难度：中等

如图所示，在平面直角坐标系中，梯形ABCD的顶点坐标分别为：A（2，-2），B（3，-2），C（5，0），D（1，0），将梯形ABCD绕点D逆时针旋转90°得到梯形A₁B₁C₁D．
（1）在平面直角坐标系中画出梯形A₁B₁C₁D，
则A₁的坐标为______，
B₁的坐标为______，
C₁的坐标为______；
（2）点C旋转到点C₁的路线长为______（结果保留π）

8. 难度：中等

如图1，正方形ABCD是一个6×6网格电子屏的示意图，其中每个小正方形的边长为1．位于AD中点处的光点P按图2的程序移动．
（1）请在图1中画出光点P经过的路径；
（2）求光点P经过的路径总长（结果保留π）．

9. 难度：中等

如图，点O、A、B的坐标分别为（0，0）、（3，0）、（3，-2），将△OAB绕点O按逆时针方向旋转90°得到△OA′B′．
（1）画出旋转后的△OA′B′，并求点B′的坐标；
（2）求在旋转过程中，点A所经过的路径的长度．（结果保留π）

10. 难度：中等

已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）分别写出图中点A和点C的坐标；
（2）画出△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后的△A′B′C′；
（3）求点A旋转到点A′所经过的路线长（结果保留π）．

11. 难度：中等

在10×10的网格纸上建立平面直角坐标系如图所示，在Rt△ABC中，∠OAB=90°，且点B的坐标为（3，4）．
（1）画出△OAB向左平移3个单位后的△O₁A₁B₁，写出点B₁的坐标；
（2）画出△OAB绕点O顺时针旋转90°后的△OA₂B₂，并求点B旋转到点B₂时，点B经过的路线长（结果保留π）．

12. 难度：中等

如图所示，正方形网格中，△ABC为格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）．
（1）把△ABC沿BA方向平移后，点A移到点A₁，在网格中画出平移后得到的△A₁B₁C₁；
（2）把△A₁B₁C₁绕点A₁按逆时针方向旋转90°，在网格中画出旋转后的△A₁B₂C₂；
（3）如果网格中小正方形的边长为1，求点B经过（1）、（2）变换的路径总长．

13. 难度：中等

在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的三个顶点都在格点上．（每个小方格的顶点叫格点）
（1）画出△ABC向下平移3个单位后的△A₁B₁C₁；
（2）画出△ABC绕点O顺时针旋转90°后的△A₂B₂C₂，并求点A旋转到A₂所经过的路线长．

14. 难度：中等

如图，在正三角形网格中，每一个小三角形都是边长为1的正三角形，解答下列问题：
（1）网格中每个小三角形的面积为______；
（2）将顶点在格点上的四边形ABOC绕点O顺时针旋转120°两次，画出所得到的两个图形，并写出点A所经过的路线为______．（结果保留π）．

15. 难度：中等

如图，正方形网格中，△ABC为格点三角形（顶点都是格点），将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△AB₁C₁．
（1）在正方形网格中，作出△AB₁C₁；
（2）设网格小正方形的边长为1，求旋转过程中动点B所经过的路径长．

16. 难度：中等

（1）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M是AD的中点，
求证：MB=MC．

（2）如图，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，且点B的坐标为（4，2）．
①画出△OAB向下平移3个单位后的△O₁A₁B₁；
②画出△OAB绕点O逆时针旋转90°后的△OA₂B₂，并求点A旋转到点A₂所经过的路线长（结果保留π）．

17. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，△ABO是直角三角形，∠ABO=90°，点B的坐标为（-1，2），将△ABO绕原点O顺时针旋转90°得到△A₁B₁O．
（1）在旋转过程中，点B所经过的路径长是多少？
（2）分别求出点A₁，B₁的坐标；
（3）连接BB₁交A₁O于点M，求M的坐标．

18. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系xoy中，直角梯形OABC，BC∥AO，A（-2，0），B（-1，1），将直角梯．形OABC绕点O顺时针旋转90°后，点A、B、C分别落在点A′、B′、C′处．请你解答下列问题：
（1）在如图直角坐标系xOy中画出旋转后的梯形O′A′B′C′；
（2）求点A旋转到A′所经过的弧形路线长．

19. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系中，∠AOB=60°，点B坐标为（2，0），线段OA的长为6．将△AOB绕点O逆时针旋转60°后，点A落在点C处，点B落在点D处．
（1）请在图中画出△COD；
（2）求点A旋转过程中所经过的路程（精确到0.1）；
（3）求直线BC的解析式．

20. 难度：中等

如图，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB和∠E都是直角，点C在AD上，把△ABC绕点A按顺时针方向旋转n度后恰好与△ADE重合．
（1）请直接写出n的值；
（2）若BC=，试求线段BC在上述旋转过程中所扫过部分的面积．

21. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△OAB斜边OB在y轴上，且OB=4．
（1）画出△OAB绕原点O顺时针旋转90°后得到的三角形；
（2）求线段OB在上述旋转过程中所扫过部分图形的面积（即旋转前后OB与点B轨迹所围成的封闭图形的面积）．

22. 难度：中等

如图，正方形网格中，△ABC为格点三角形（顶点都是格点），将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△AB₁C₁．
（1）在正方形网格中，作出△AB₁C₁；（不要求写作法）
（2）设网格小正方形的边长为1cm，用阴影表示出旋转过程中线段BC所扫过的图形，然后求出它的面积．（结果保留π）．

23. 难度：中等

如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABO的三个顶点A，B，O都在格点上．
（1）画出△ABO绕点O逆时针旋转90°后得到的三角形；
（2）求△ABO在上述旋转过程中所扫过的面积．

24. 难度：中等

已知，点P是正方形ABCD内的一点，连PA、PB、PC．
（1）将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置（如图1）．
①设AB的长为a，PB的长为b（b＜a），求△PAB旋转到△P′CB的过程中边PA所扫过区域（图1中阴影部分）的面积；
②若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC的长；
（2）如图2，若PA²+PC²=2PB²，请说明点P必在对角线AC上．

25. 难度：中等

如图，矩形ABCD的长与宽分别是2cm和1cm，AB在直线L上．依次以B，C′，D″为中心将矩形ABCD按顺时针方向旋转90°，这样点A走过的曲线依次为，其中交CD于点P．
（1）求矩形A′BC′D′的对角线A′C′的长；
（2）求的长；
（3）求图中部分的面积．
（4）求图中部分的面积．

26. 难度：中等

我们约定，若一个三角形（记为△A₁）是由另一个三角形（记为△A）通过一次平移，或绕其任一边的中点旋转180°得到的，则称△A₁是由△A复制的．以下的操作中每一个三角形只可以复制一次，复制过程可以一直进行下去．如图1是由△A复制出△A₁，又由△A₁复制出△A₂，再由△A₂复制出△A₃，形成了一个大三角形，记作△B．以下各题中的复制均是由△A开始的，由复制形成的多边形中的任意两个小三角形（指与△A全等的三角形）之间既无缝隙也无重叠．
（1）图1中标出的是一种可能的复制结果，它用到______次平移，______次旋转．小明发现△B∽△A，其相似比为______．若由复制形成的△C的一条边上有11个小三角形（指有一条边在该边上的小三角形），则△C中含有______个小三角形；
（2）若△A是正三角形，你认为通过复制能形成的正多边形是______；
（3）在复制形成四边形的过程中，小明用到了两次平移一次旋转，你能用两次旋转一次平移复制形成一个四边形吗？如果能，请在图2的方框内画出草图，并仿照图1作出标记；如果不能，请说明理由；
（4）图3是正五边形EFGHI，其中心是O，连接O点与各顶点．将其中的一个三角形记为△A，小明认为正五边形EFGHI是由复制形成的一种结果，你认为他的说法对吗？请判断并说明理由．

27. 难度：中等

（1）计算：+-2^-1；
（2）一串有趣的图案按一定规律排列．请仔细观察，按此规律画出的第10个图案是______；在前16个图案中有______个；第2008个图案是______．

28. 难度：中等

如图，在△ABC和△ADE中，点E在BC边上，∠BAC=∠DAE，∠B=∠D，AB=AD．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）如果∠AEC=75°，将△ADE绕着点A旋转一个锐角后与△ABC重合，求这个旋转角的大小．

29. 难度：中等

在如图所示的方格图中，每个小正方形的顶点称为“格点”，且每个小正方形的边长均为1个长度单位，以格点为顶点的图形叫做“格点图形”，根据图形解决下列问题：
（1）图中格点△A′B′C′是由格点△ABC通过怎样变换得到的？
（2）如图建立直角坐标系后，点A的坐标为（-5，2），点B的坐标为（-5，0），请求出过A点的正比例函数的解析式，并写出图中格点△DEF各顶点的坐标．

30. 难度：中等

如图1，已知∠ABC=90°，△ABE是等边三角形，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），连接AP，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AQ，连接QE并延长交射线BC于点F．
（1）如图2，当BP=BA时，∠EBF=______°，猜想∠QFC=______°；
（2）如图1，当点P为射线BC上任意一点时，猜想∠QFC的度数，并加以证明；
（3）已知线段AB=2，设BP=x，点Q到射线BC的距离为y，求y关于x的函数关系式．