| 1. 难度：中等 | |
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已知：如图，△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作DE⊥AC于点E，交BC的延长线于点F． 求证： （1）AD=BD； （2）DF是⊙O的切线． 
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| 2. 难度：中等 | |
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如图，AB是⊙O的直径，过A作⊙O的切线，在切线上截取AC=AB，连接OC交⊙O于D，连接BD并延长交AC于E，⊙F是△ADE的外接圆，F在AE上． 求证：（1）CD是⊙F的切线；（2）CD=AE． 
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| 3. 难度：中等 | |
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如图1，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC，交直线BC于点E，交⊙O于点D． （1）过点D作MN∥BC，求证：MN是⊙O切线； （2）求证：AB•AC=AD•AE； （3）如图2，AE平分∠BAC的外角∠FAC，交BC的延长线于点E，EA的延长线交⊙O于点D．结论AB•AC=AD•AE是否仍然成立？如果成立，请写出证明过程；如果不成立，请说明理由． 
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| 4. 难度：中等 | |
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如图，已知⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，直线CD、EF过点B交⊙O1于点C、E，交⊙O2于点D、F． （1）求证：△ACD∽△AEF； （2）若AB⊥CD，且在△AEF中，AF、AE、EF的长分别为3、4、5，求证：AC是⊙O2的切线． 
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| 5. 难度：中等 | |
如图，⊙O1和⊙O2内切于点P，且⊙O1过点O2，PB是⊙O2的直径，A为⊙O2上的点，连接AB，过O1作O1C⊥BA于C，连接CO2．已知PA= ，PB=4．（1）求证：BA是⊙O1的切线； （2）求∠BCO2的正切值． 
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| 6. 难度：中等 | |
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已知：如图，AB是⊙O的直径，P为⊙O外一点，PA⊥AB，弦BC∥OP 求证：PC是⊙O的切线． 
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| 7. 难度：中等 | |
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如图，已知：AO为⊙O1的直径，⊙O1与⊙O的一个交点为E，直线AO交⊙O于B、C两点，过⊙O的切线GF，交直线AO于点D，与AE的延长线垂直相交于点F，OG∥AF． （1）求证：AE是⊙O的切线； （2）若AB=2，AE=6，求△ODG的周长． 
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| 8. 难度：中等 | |
如图，B、C是⊙O上的点，线段AB经过圆心O连接AC、BC，过点C作CD⊥AB于D，∠ACD=2∠B．AC是O的切线吗？为什么？
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| 9. 难度：中等 | |
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如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的面积为15，边OA比OC大2．E为BC的中点，以OE为直径的⊙O′交x轴于D点，过点D作DF⊥AE于点F． （1）求OA、OC的长； （2）求证：DF为⊙O′的切线； （3）小明在解答本题时，发现△AOE是等腰三角形．由此，他断定：“直线BC上一定存在除点E以外的点P，使△AOP也是等腰三角形，且点P一定在⊙O′外”．你同意他的看法吗？请充分说明理由． 
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| 10. 难度：中等 | |
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已知：如图⊙O是Rt△CDE的外接圆，BC⊥CE，BD和CE的延长线交于点A，且OB∥ED． （1）求证：AD是⊙O的切线； （2）若BC=6，AD=4，求⊙O的半径r． 
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| 11. 难度：中等 | |
如图，已知在△ABC中，AB=AC=6，cosB= 点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB、BC交于点D、E，且EF⊥AC，垂足为F，设OB=x，CF=y．（1）求证：直线EF是⊙O的切线； （2）求y关于x的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）． 
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| 12. 难度：中等 | |
如图i，半圆O为△ABC的外接半圆，AC为直径，D为劣弧 上的一动点，P在CB的延长线上，且有∠BAP=∠BDA．（1）求证：AP是半圆O的切线； （2）当其它条件不变时，问添加一个什么条件后，有BD2=BE•BC成立？说明理由； （3）如图ii，在满足（2）问的前提下，若OD⊥BC与H，BE=2，EC=4，连接PD，请探究四边形ABDO是什么特殊的四边形，并求tan∠DPC的值． 
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| 13. 难度：中等 | |
 如图，已知⊙O的弦AB垂直于直径CD，垂足为F，点E在AB上，且EA=EC．（1）求证：AC2=AE•AB； （2）延长EC到点P，连接PB，若PB=PE，试判断PB与⊙O的位置关系，并说明理由． |
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| 14. 难度：中等 | |
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如图，△ABO中，OA=OB，以O为圆心的圆经过AB的中点C，且分别交OA、OB于点E、F． （1）求证：AB是⊙O的切线； （2）若△ABO腰上的高等于底边的一半，且  ，求 的长．
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| 15. 难度：中等 | |
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在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点O在CB上，且AO平分∠BAC，CO=3（如图所示），以点O为圆心，r为半径画圆． （1）r取何值时，⊙O与AB相切； （2）r取何值时，⊙O与AB有两个公共点； （3）当⊙O与AB相切时，设切点为D，在BC上是否存在点P，使△APD的面积为△ABC的面积的一半？若存在，求出CP的长；若不存在，请说明理由． 
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| 16. 难度：中等 | |
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如图，AO是△ABC的中线，⊙O与AB边相切于点D． （1）要使⊙O与AC边也相切，应增加条件______（任写一个）； （2）增加条件后，请你说明⊙O与AC边相切的理由． 
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| 17. 难度：中等 | |
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如图，已知AC、AB是⊙O的弦，AB＞AC． （1）在图（a）中，能否在AB上确定一点E，使得AC2=AE•AB，为什么？ （2）在图（b）中，在条件（1）的结沦下延长EC到P，连接PB，如果PB=PE，试判断PB和⊙O的位置关系，并说明理由． 
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| 18. 难度：中等 | |
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如图，AB为圆O的直径，C为圆O上一点，AD和过C点的直线互相垂直，垂足为D，且AC平分∠DAB，延长AB交DC于点E． （1）判定直线DE与圆O的位置关系，并说明你的理由； （2）求证：AC2=AD•AB； （3）以下两个问题任选一题作答．（若两个问题都答，则以第一问的解答评分） ①若CF⊥AB于点F，试讨论线段CF、CE和DE三者的数量关系； ②若EC=5  ，EB=5，求图中阴影部分的面积．
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| 19. 难度：中等 | |
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如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，⊙O的割线PDE垂直AB于点F，交BC于点G，连接PC，∠BAC=∠BCP，求解下列问题： （1）求证：CP是⊙O的切线． （2）当∠ABC=30°，BG=  ，CG= 时，求以PD、PE的长为两根的一元二次方程．（3）若（1）的条件不变，当点C在劣弧AD上运动时，应再具备什么条件可使结论BG2=BF•BO成立？试写出你的猜想，并说明理由． 
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| 20. 难度：中等 | |
已知AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C． （1）如图①，若AB=2，∠P=30°，求AP的长（结果保留根号）； （2）如图②，若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线． |
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| 21. 难度：中等 | |
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如图，直线l切⊙O于点A，点P为直线l上一点，直线PO交⊙O于点C、B，点D在线段AP上，连接DB，且AD=DB． （1）求证：DB为⊙O的切线． （2）若AD=1，PB=BO，求弦AC的长． 
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| 22. 难度：中等 | |
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如图，在以O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且与小圆相交于点A、与大圆相交于点B．小圆的切线AC与大圆相交于点D，且CO平分∠ACB． （1）试判断BC所在直线与小圆的位置关系，并说明理由； （2）试判断线段AC、AD、BC之间的数量关系，并说明理由； （3）若AB=8cm，BC=10cm，求大圆与小圆围成的圆环的面积．（结果保留π） 
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| 23. 难度：中等 | |
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如图，BD是⊙O的直径，AB与⊙O相切于点B，过点D作OA的平行线交⊙O于点C，AC与BD的延长线相交于点E． （1）试探究A E与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）已知EC=a，ED=b，AB=c，请你思考后，选用以上适当的数据，设计出计算⊙O的半径r的一种方案：①你选用的已知数是______；②写出求解过程．（结果用字母表示） 
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| 24. 难度：中等 | |
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如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过D点作EF∥BC交AB的延长线于点E，交AC的延长线于点F． （1）求证：EF为⊙O的切线； （2）若sin∠ABC=  ，CF=1，求⊙O的半径及EF的长．
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| 25. 难度：中等 | |
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如图，AB、BC、CD分别与⊙O切于E、F、G，且AB∥CD．连接OB、OC，延长CO交⊙O于点M，过点M作MN∥OB交CD于N． （1）求证：MN是⊙O的切线； （2）当0B=6cm，OC=8cm时，求⊙O的半径及MN的长． 
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| 26. 难度：中等 | |
如图，在正方形ABCD中，E是AB边上任意一点，∠ECF=45°，CF交AD于点F，将△CBE绕 点C顺时针旋转到△CDP，点P恰好在AD的延长线上．（1）求证：EF=PF； （2）直线EF与以C为圆心，CD为半径的圆相切吗？为什么？ |
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| 27. 难度：中等 | |
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如图，PA是⊙O的切线，切点是A，过点A作AH⊥OP于点H，交⊙O于点B． 求证：PB是⊙O的切线． 
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| 28. 难度：中等 | |
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如图①，在△ABC中，AB=AC，O为AB的中点．以O为圆心，OB为半径的圆交BC于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E，我们可以证得DE是⊙O的切线． （1）若点O沿AB向点B移动，以O为圆心，OB为半径的圆仍交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E，AB=AC不变（如图②），那么DE与⊙O有什么位置关系，请写出你的结论并证明； （2）在（1）的条件下，若⊙O与AC相切于点F，交AB于点G（如图③）．已知⊙O的半径长为3，CE=1，求AF的长．  |
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| 29. 难度：中等 | |
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已知⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，过A点作⊙O1的切线交⊙O2于点E，连接EB并延长交⊙O1于点C，直线CA交⊙O2于点D． （1）如图，当点D与点A不重合时，试猜想线段EA=ED是否成立？证明你的结论； （2）当点D与点A重合时，直线AC与⊙O2有怎样的位置关系？此时若BC=2，CE=8，求⊙O1的直径． 
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| 30. 难度：中等 | |
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如图，AB是⊙O的直径，点C在BA的延长线上，CA=AO，点D在⊙O上，∠ABD=30°． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若点P在直线AB上，⊙P与⊙O外切于点B，与直线CD相切于点E，设⊙O与⊙P的半径分别为r与R，求  的值．
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