| 1. 难度：中等 | |
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如图，AB切⊙O于点B，OA交⊙O于C点，过C作DC⊥OA交AB于D，且BD：AD=1：2． （1）求∠A的正切值； （2）若OC=1，求AB及  的长．
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| 2. 难度：中等 | |
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已知：如图，以Rt△ABC的斜边AB为直径作⊙O，D是⊙O上的点，且有AC=CD．过点C作⊙O的切线，与BD的延长线交于点E，连接CD． （1）试判断BE与CE是否互相垂直，请说明理由； （2）若CD=2  ，tan∠DCE= ，求⊙O的半径长．
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| 3. 难度：中等 | |
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如图，P是⊙O的半径OA上的一点，D在⊙O上，且PD=PO．过点D作⊙O的切线交OA的延长线于点C，延长交⊙O于K，连接KO，OD． （1）证明：PC=PD； （2）若该圆半径为5，CD∥KO，请求出OC的长． 
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| 4. 难度：中等 | |
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如图矩形ABCD中，过A，B两点的⊙O切CD于E，交BC于F，AH⊥BE于H，连接EF． （1）求证：∠CEF=∠BAH； （2）若BC=2CE=6，求BF的长． 
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| 5. 难度：中等 | |
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在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，O是边AC上的一个动点，以点O为圆心作半圆，与边AB相切于点D，交线段OC于点E，作EP⊥ED，交射线AB于点P，交射线CB于点F． （1）如图，求证：△ADE∽△AEP； （2）设OA=x，AP=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域； （3）当BF=1时，求线段AP的长． 
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| 6. 难度：中等 | |
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如图，PC切⊙O于点C，过圆心的割线PAB交⊙O于A、B两点，BE⊥PE，垂足为E，BE交⊙O于点D，F是PC上一点，且PF=AF，FA的延长线交⊙O于点G．求证： （1）∠FGD=2∠PBC； （2）  ．
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| 7. 难度：中等 | |
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已知：如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点C，BD⊥PD，垂足为D，连接BC． 求证：（1）BC平分∠PBD； （2）BC2=AB•BD． 
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| 8. 难度：中等 | |
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已知：如图，直线PA交⊙O于A、E两点，PA的垂线DC切⊙O于点C，过A点作⊙O的直径AB． （1）求证：AC平分∠DAB； （2）若DC=4，DA=2，求⊙O的直径． 
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| 9. 难度：中等 | |
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如图，点O是Rt△ABC斜边上一点，⊙O与AC，BC分别相切于点M，N． （1）△AMO是否相似于△ONB？______（填“是”或“否”）； （2）如果OA=4，OB=3，⊙O的半径为______． 
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| 10. 难度：中等 | |
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已知，如图（甲），正方形ABCD的边长为2，点M是BC的中点，P是线段MC上的一个动点，P不运动到M和C，以AB为直径做⊙O，过点P作⊙O的切线交AD于点F，切点为E． （1）求四边形CDFP的周长； （2）试探索P在线段MC上运动时，求AF•BP的值； （3）延长DC、FP相交于点G，连接OE并延长交直线DC于H（如图乙），是否存在点P，使△EFO∽△EHG？如果存在，试求此时的BP的长；如果不存在，请说明理由．  |
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| 11. 难度：中等 | |
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如图，已知直线L与⊙O相切于点A，直径AB=6，点P在L上移动，连接OP交⊙O于点C，连接BC并延长BC交直线L于点D． （1）若AP=4，求线段PC的长； （2）若△PAO与△BAD相似，求∠APO的度数和四边形OADC的面积（答案要求保留根号）． 
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| 12. 难度：中等 | |
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已知，如图，直线l与⊙O相切于点D，弦BC∥l，与直径AD相交于点G，弦AF与BC交于点E，弦CF与AD交于点H． （1）求证：AB=AC； （2）如果AE=6，EF=2，求AC． 
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| 13. 难度：中等 | |
如图是不倒翁的正视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿PA、PB分别相切于点A、B，不倒翁的鼻尖正好是圆心O，若∠OAB=25°，求∠APB的度数．
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| 14. 难度：中等 | |
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如图1，AB是⊙O的直径，直线l交⊙O于C1、C2，AD⊥l，垂足为D． （1）求证：AC1•AC2=AB•AD． （2）若将直线l向上平移（如图2），交⊙O于C1、C2，使弦C1C2与直径AB相交（交点不与A、B重合），其他条件不变，请你猜想，AC1、AC2、AB、AD之间的关系，并说明理由． （3）若将直线l平移到与⊙O相切时，切点为C，其他条件不变，请你在图3上画出变化后的图形，标好相应的字母并猜想AC、AB、AD的关系是什么？（只写出关系，不加以说明）  |
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| 15. 难度：中等 | |
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已知AC切⊙O于A，CB顺次交⊙O于D、B点，AC=8，BD=12，连接AD、AB． （1）证明：△CAD∽△CBA； （2）求线段DC的长． 
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| 16. 难度：中等 | |
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已知：如图，AB是⊙O的直径，点P为BA延长线上一点，PC为⊙O的切线，C为切点，BD⊥PC，垂足为D，交⊙O于E，连接AC、BC、EC． （1）求证：BC2=BD•BA； （2）若AC=6，DE=4，求PC的长． 
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| 17. 难度：中等 | |
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如图，AB是圆O的弦，直线DE切圆O于点C，AC=BC， 求证：DE∥AB． 
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| 18. 难度：中等 | |
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已知：如图，AB是⊙O的直径，P是AB上的一点（与A、B不重合），QP⊥AB，垂足为P，直线QA交⊙O于C点，过C点作⊙O的切线交直线QP于点D．则△CDQ是等腰三角形． 对上述命题证明如下： 证明：连接OC ∵OA=OC ∴∠A=∠1 ∵CD切O于C点 ∴∠OCD=90° ∴∠1+∠2=90° ∴∠A+∠2=90° 在Rt△QPA中，∠QPA=90° ∴∠A+∠Q=90° ∴∠2=∠Q ∴DQ=DC 即CDQ是等腰三角形． 问题：对上述命题，当点P在BA的延长线上时，其他条件不变，如图所示，结论“△CDQ是等腰三角形”还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． 
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| 19. 难度：中等 | |
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如图，AB是⊙O的直径，P是AB的延长线上的一点，PC切⊙O于点C，⊙O的半径为3，∠PCB=30度． （1）求∠CBA的度数；（2）求PA的长． 
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| 20. 难度：中等 | |
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已知：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是AC的中点，⊙O经过A、D、B三点，CB的延长线交⊙O于点E（如图1）． 在满足上述条件的情况下，当∠CAB的大小变化时，图形也随着改变（如图2），在这个变化过程中，有些线段总保持着相等的关系． （1）观察上述图形，连接图2中已标明字母的某两点，得到一条新线段与线段CE相等，请说明理由； （2）在图2中，过点E作⊙O的切线，交AC的延长线于点F． ①若CF=CD，求sin∠CAB的值； ②若  =n（n＞0），试用含n的代数式表示sin∠CAB（直接写出结果）．
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| 21. 难度：中等 | |
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如图，已知AB为⊙O的直径，PA，PC是⊙O的切线，A，C为切点，∠BAC=30°． （Ⅰ）求∠P的大小； （Ⅱ）若AB=2，求PA的长（结果保留根号）． 
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| 22. 难度：中等 | |
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如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，以AB为直径的⊙O与DC相切于E．已知AB=8，边BC比AD大6． （1）求边AD、BC的长； （2）在直径AB上是否存在一动点P，使以A、D、P为顶点的三角形与△BCP相似？若存在，求出AP的长；若不存在，请说明理由． 
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| 23. 难度：中等 | |
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如图，两个同心圆的圆心是O，大圆的半径为13，小圆的半径为5，AD是大圆的直径．大圆的弦AB，BE分别与小圆相切于点C，F．AD，BE相交于点G，连接BD． （1）求BD的长； （2）求∠ABE+2∠D的度数； （3）求  的值．
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| 24. 难度：中等 | |
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如图，在△ABC中，∠BAC=90度．BM平分∠ABC交AC于M，以A为圆心，AM为半径作⊙A交BM于N，AN的延长线交BC于D，直线AB交⊙A于P，K两点，作MT⊥BC于T． （1）求证：AK=MT； （2）求证：AD⊥BC； （3）当AK=BD时，求证：  ．
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| 25. 难度：中等 | |
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如图，△ABC内接于⊙O，过点B作⊙O的切线，交于CA的延长线于点E，∠EBC=2∠C． （1）求证：AB=AC； （2）当  = 时，①求tan∠ABE的值；②如果AE= ，求AC的值．
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| 26. 难度：中等 | |
如图，某建筑工地上一钢管的横截面是圆环形．王师傅将直尺边缘紧靠内圆，直尺与外圆交于点A，B（AB与内圆相切于点C，其中点A在直尺的零刻度处）．请观察图形，写出线段AB的长（精确到1cm），并根据得到的数据计算该钢管的横截面积．（结果用含π的式子表示）
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| 27. 难度：中等 | |
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如图，⊙O和⊙O′都经过点A、B，点P在BA延长线上，过P作⊙O的割线PCD交⊙O于C、D两点，作⊙O′的切线PE切⊙O′于点E．若PC=4，CD=8，⊙O的半径为5． （1）求PE的长； （2）求△COD的面积． 
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| 28. 难度：中等 | |
如图EB是⊙O的直径，A是BE的延长线上一点，过A作⊙O的切线AC，切点为D，过B作⊙O的切线BC，交AC于点C，若EB=BC=6，求：AD，AE的长．
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