第34章《二次函数》中考题集（43）：34.4 二次函数的应用（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

在平面直角坐标系中，△AOB的位置如图所示，已知∠AOB=90°，AO=BO，点A的坐标为（-3，1）．
（1）求点B的坐标；
（2）求过A，O，B三点的抛物线的解析式；
（3）设抛物线的对称轴为直线l，P是直线l上的一点，且△PAB的面积等于△AOB的面积，求点P的坐标．

2. 难度：中等

已知抛物线y=x²-2x+m与x轴交于点A（x₁，0）、B（x₂，0）（x₂＞x₁），
（1）若点P（-1，2）在抛物线y=x²-2x+m上，求m的值；
（2）若抛物线y=ax²+bx+m与抛物线y=x²-2x+m关于y轴对称，点Q₁（-2，q₁）、Q₂（-3，q₂）都在抛物线y=ax²+bx+m上，则q₁、q₂的大小关系是______；
（请将结论写在横线上，不要写解答过程）；（友情提示：结论要填在答题卡相应的位置上）
（3）设抛物线y=x²-2x+m的顶点为M，若△AMB是直角三角形，求m的值．

3. 难度：中等

如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC，已知O（0，0），A（4，0），C（0，3），点P是OA边上的动点（与点O、A不重合）．现将△PAB沿PB翻折，得到△PDB；再在OC边上选取适当的点E，将△POE沿PE翻折，得到△PFE，并使直线PD、PF重合．
（1）设P（x，0），E（0，y），求y关于x的函数关系式，并求y的最大值；
（2）如图2，若翻折后点D落在BC边上，求过点P、B、E的抛物线的函数关系式；
（3）在（2）的情况下，在该抛物线上是否存在点Q，使△PEQ是以PE为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标．

4. 难度：中等

如图，矩形OABC的边OC，OA分别与x轴，y轴重合，点B的坐标是（，1），点D是AB边上一个动点（与点A不重合），沿OD将△OAD翻折，点A落在点P处．
（1）若点P在一次函数y=2x-1的图象上，求点P的坐标；
（2）若点P在抛物线y=ax²图象上，并满足△PCB是等腰三角形，求该抛物线解析式；
（3）当线段OD与PC所在直线垂直时，在PC所在直线上作出一点M，使DM+BM最小，并求出这个最小值．

5. 难度：中等

如图1，在平面直角坐标系中，已知点A（0，4），点B在x正半轴上，且∠ABO=30度．动点P在线段AB上从点A向点B以每秒个单位的速度运动，设运动时间为t秒．在x轴上取两点M，N作等边△PMN．
（1）求直线AB的解析式；
（2）求等边△PMN的边长（用t的代数式表示），并求出当等边△PMN的顶点M运动到与原点O重合时t的值；
（3）如果取OB的中点D，以OD为边在Rt△AOB内部作如图2所示的矩形ODCE，点C在线段AB上．设等边△PMN和矩形ODCE重叠部分的面积为S，请求出当0≤t≤2秒时S与t的函数关系式，并求出S的最大值．

6. 难度：中等

在直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（2，2），点C是线段OA上的一个动点（不运动至O，A两点），过点C作CD⊥x轴，垂足为D，以CD为边作如图所示的正方形CDEF．连接AF并延长交x轴的正半轴于点B，连接OF．
（1）猜想OD和DE之间的数量关系，并说明理由；
（2）设OD=t，求OB的长（用含t的代数式表示）；
（3）若点B在E的右侧时，△BFE与△OFE能否相似？若能，请你求出此时经过O，A，B三点的抛物线解析式；若不能，请说明理由．

7. 难度：中等

设抛物线y=ax²+bx-2与x轴交于两个不同的点A（-1，0）、B（m，0），与y轴交于点C，且∠ACB=90度．
（1）求m的值和抛物线的解析式；
（2）已知点D（1，n）在抛物线上，过点A的直线y=x+1交抛物线于另一点E．若点P在x轴上，以点P、B、D为顶点的三角形与△AEB相似，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，△BDP的外接圆半径等于______

8. 难度：中等

如图，BC是⊙O的直径，点A在圆上，且AB=AC=4． P为AB上一点，过P作PE⊥AB分别交BC、OA于E、F．
（1）设AP=1，求△OEF的面积；
（2）设AP=a（0＜a＜2），△APF、△OEF的面积分别记为S₁、S₂．
①若S₁=S₂，求a的值；
②若S=S₁+S₂，是否存在一个实数a，使S＜？若存在，求出一个a的值；若不存在，说明理由．

9. 难度：中等

已知：如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BC=CD=10，sinC=．
（1）求梯形ABCD的面积；
（2）点E，F分别是BC，CD上的动点，点E从点B出发向点C运动，点F从点C出发向点D运动，若两点均以每秒1个单位的速度同时出发，连接EF．求△EFC面积的最大值，并说明此时E，F的位置．

10. 难度：中等

如图①，在边长为8cm正方形ABCD中，E，F是对角线AC上的两个动点，它们分别从点A，点C同时出发，沿对角线以1cm/s同速度运动，过E作EH垂直AC交的直角边于H；过F作FG垂直AC交Rt△ACD的直角边于G，连接HG，EB．设HE，EF，FG，GH围成的图形面积为S₁，AE，EB，BA围成的图形面积为S₂（这里规定：线段的面积为0）．E到达C，F到达A停止．若E的运动时间为xs，解答下列问题：
（1）当0＜x＜8时，直接写出以E，F，G，H为顶点的四边形是什么四边形，并求x为何值时，S₁=S₂．
（2）①若y是S₁与S₂的和，求y与x之间的函数关系式．（图②为备用图）
②求y的最大值．

11. 难度：中等

已知：如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是菱形，且∠AOC=60°，点B的坐标是（0，8），点P从点C开始以每秒1个单位长度的速度在线段CB上向点B移动，同时，点Q从点O开始以每秒a（1≤a≤3）个单位长度的速度沿射线OA方向移动设t（0＜t≤8）秒后，直线PQ交OB于点D．
（1）求∠AOB的度数及线段OA的长；
（2）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；
（3）当a=3，OD=时，求t的值及此时直线PQ的解析式；
（4）当a为何值时，以O，Q，D为顶点的三角形与△OAB相似？当a为何值时，以O，Q，D为顶点的三角形与△OAB不相似？请给出你的结论，并加以证明．

12. 难度：中等

两个直角边为6的全等的等腰直角三角形Rt△AOB和Rt△CED按图1所示的位置放置，A与C重合，O与C重合．
（1）求图1中，A，B，D三点的坐标；
（2）Rt△AOB固定不动，Rt△CED沿x轴以每秒2个单位长的速度向右运动，当D点运动到与B点重合时停止，设运动x秒后Rt△CED和Rt△AOB重叠部分面积为y，求y与x之间的函数关系式；
（3）当Rt△CED以（2）中的速度和方向运动，运动时间x=4秒时Rt△CED运动到如图2所示的位置，求经过A，G，C三点的抛物线的解析式；
（4）现有一半径为2，圆心P在（3）中的抛物线上运动的动圆，试问⊙P在运动过程中是否存在⊙P与x轴或y轴相切的情况？若存在，请求出P的坐标，若不存在，请说明理由．

13. 难度：中等

如图，P是射线y=x（x＞0）上的一动点，以P为圆心的圆与y轴相切于C点，与x轴的正半轴交于A、B两点．
（1）若⊙P的半径为5，则P点坐标是______；A点坐标是______；以P为顶点，且经过A点的抛物线的解析式是______；
（2）在（1）的条件下，上述抛物线是否经过点C关于原点的对称点D，请说明理由；
（3）试问：是否存在这样的直线l，当P在运动过程中，经过A、B、C三点的抛物线的顶点都在直线l上？若存在，请求出直线l的解析式；若不存在，请说明理由．

14. 难度：中等

如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=1．点P在AC上，PQ⊥BP，交CD于Q，PE⊥CD，交于CD于E．点P从A点（不含A）沿AC方向移动，直到使点Q与点C重合为止．
（1）设AP=x，△PQE的面积为S．请写出S关于x的函数解析式，并确定x的取值范围．
（2）点P在运动过程中，△PQE的面积是否有最大值？若有，请求出最大值及此时AP的取值；若无，请说明理由．

15. 难度：中等

如图，在等腰△ABC中，AB=AC=5cm，BC=6cm，AD⊥BC，垂足为点D．点P，Q分别从B，C两点同时出发，其中点P从点B开始沿BC边向点C运动，速度为1cm/s，点Q从点C开始沿CA边向点A运动，速度为2cm/s，设它们运动的时间为x．
（1）当x为何值时，将△PCQ沿直线PQ翻折180°，使C点落到C′点，得到的四边形CQC′P是菱形；
（2）设△PQD的面积为y（cm²），当0＜x＜2.5时，求y与x的函数关系式；
（3）当0＜x＜2.5时，是否存在x，使得△PDM与△MDQ的面积比为5：3？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．

16. 难度：中等

如图，对称轴为直线x=的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）．
（1）求抛物线解析式及顶点坐标；
（2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
①当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形？
②是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

17. 难度：中等

如图，四边形OABC为直角梯形，A（4，0），B（3，4），C（0，4）．点M从O出发以每秒2个单位长度的速度向A运动；点N从B同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作NP垂直x轴于点P，连接AC交NP于Q，连接MQ．
（1）点______（填M或N）能到达终点；
（2）求△AQM的面积S与运动时间t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，当t为何值时，S的值最大；
（3）是否存在点M，使得△AQM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

18. 难度：中等

如图，已知抛物线y=-x²+x+2的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D．点M从O点出发，以每秒1个单位长度的速度向B运动，过M作x轴的垂线，交抛物线于点P，交BC于Q．
（1）求点B和点C的坐标；
（2）设当点M运动了x（秒）时，四边形OBPC的面积为S，求S与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；
（3）在线段BC上是否存在点Q，使得△DBQ成为以BQ为一腰的等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由．

19. 难度：中等

如图，已知二次函数y=ax²-4x+c的图象经过点A和点B．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；
（3）点P（m，m）与点Q均在该函数图象上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q到x轴的距离．

20. 难度：中等

在直角梯形ABCD中，∠C=90°，高CD=6cm（如图1）．动点P，Q同时从点B出发，点P沿BA，AD，DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到C点停止．两点运动时的速度都是1cm/s．而当点P到达点A时，点Q正好到达点C．设P，Q同时从点B出发，经过的时间为t（s）时，△BPQ的面积为y（cm²）（如图2）．分别以x，y为横、纵坐标建立直角坐标系，已知点P在AD边上从A到D运动时，y与t的函数图象是图3中的线段MN．
（1）分别求出梯形中BA，AD的长度；
（2）写出图3中M，N两点的坐标；
（3）分别写出点P在BA边上和DC边上运动时，y与t的函数关系式（注明自变量的取值范围），并在答题卷的图4（放大了的图3）中补全整个运动中y关于t的函数关系的大致图象．

21. 难度：中等

如图，直线y=-x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点A、C和点B（-1，0）．
（1）求该二次函数的关系式；
（2）设该二次函数的图象的顶点为M，求四边形AOCM的面积；
（3）有两动点D、E同时从点O出发，其中点D以每秒个单位长度的速度沿折线OAC按O⇒A⇒C的路线运动，点E以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA按O⇒C⇒A的路线运动，当D、E两点相遇时，它们都停止运动．设D、E同时从点O出发t秒时，△ODE的面积为S．
①请问D、E两点在运动过程中，是否存在DE∥OC，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由；
②请求出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
③设S是②中函数S的最大值，那么S=______．

22. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax²+bx-7的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点D，点C为抛物线的顶点，且A，C两点的横坐标分别为1和4．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）求二次函数的函数表达式；
（3）在（2）的抛物线上，是否存在点P，使得∠BAP=45°？若存在，求出点P的坐标及此时△ABP的面积；若不存在，请说明理由．

23. 难度：中等

如图，已知抛物线y=-x²+2x+3交轴于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）若点M为抛物线的顶点，连接BC、CM、BM，求△BCM的面积；
（3）连接AC，在轴上是否存在点P，使△ACP为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

24. 难度：中等

如图，在直角坐标系中，O为原点，抛物线y=x²+bx+3与x轴的负半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，tan∠ABO=，顶点为P．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线向上或向下平移|k|个单位长度后经过点C（-5，6），试求k的值及平移后抛物线的最小值；
（3）设平移后的抛物线与y轴相交于D，顶点为Q，点M是平移的抛物线上的一个动点．请探究：当点M在何位置时，△MBD的面积是△MPQ面积的2倍求出此时点M的坐标．友情提示：抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴是，顶点坐标是．

25. 难度：中等

如图，抛物线y=-x²+2nx+n²-9（n为常数）经过坐标原点和x轴上另一点C，顶点在第一象限．
（1）确定抛物线所对应的函数关系式，并写出顶点坐标；
（2）在四边形OABC内有一矩形MNPQ，点M，N分别在OA，BC上，A点坐标为（2，8）B点坐标为（4，8），点Q，P在x轴上．当MN为多少时，矩形MNPQ的面积最大，最大面积是多少？

26. 难度：中等

在平面直角坐标系中，△AOB的位置如图所示，已知∠AOB=90°，AO=BO，点A的坐标为（-3，1）．
（1）求点B的坐标；
（2）求过A，O，B三点的抛物线的解析式；
（3）设点B关于抛物线的对称轴l的对称点为B₁，求△AB₁B的面积．

27. 难度：中等

如图，已知与x轴交于点A（1，0）和B（5，0）的抛物线的顶点为C（3，4），抛物线l₂与l₁关于x轴对称，顶点为C′．
（1）求抛物线l₂的函数关系式；
（2）已知原点O，定点D（0，4），l₂上的点P与l₁上的点P′始终关于x轴对称，则当点P运动到何处时，以点D，O，P，P′为顶点的四边形是平行四边形；
（3）在l₂上是否存在点M，使△ABM是以AB为斜边且一个角为30°的直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

28. 难度：中等

如图，二次函数y=ax²的图象与一次函数y=x+b的图象相交于A（-2，2）、B两点，从点A和点B分别引平行于y轴的直线与x轴分别交于C，D两点，点P（t，0），为线段CD上的动点，过点P且平行于y轴的直线与抛物线和直线分别交于R，S．
（1）求一次函数和二次函数的解析式，并求出点B的坐标；
（2）当SR=2RP时，计算线段SR的长；
（3）若线段BD上有一动点Q且其纵坐标为t+3，问是否存在t的值，使S_△BRQ=15？若存在，求t的值；若不存在，说明理由．

29. 难度：中等

已知抛物线y=ax²+bx+c经过P（，3），E（，0）及原点O（0，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过P点作平行于x轴的直线PC交y轴于C点，在抛物线对称轴右侧且位于直线PC下方的抛物线上，任取一点Q，过点Q作直线QA平行于y轴交x轴于A点，交直线PC于B点，直线QA与直线PC及两坐标轴围成矩形OABC（如图）．是否存在点Q，使得△OPC与△PQB相似？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如果符合（2）中的Q点在x轴的上方，连接OQ，矩形OABC内的四个三角形△OPC，△PQB，△OQP，△OQA之间存在怎样的关系，为什么？

30. 难度：中等

已知抛物线y=ax²+x+2．
（1）当a=-1时，求此抛物线的顶点坐标和对称轴；
（2）若代数式-x²+x+2的值为正整数，求x的值；
（3）当a=a₁时，抛物线y=ax²+x+2与x轴的正半轴相交于点M（m，0）；当a=a₂时，抛物线y=ax²+x+2与x轴的正半轴相交于点N（n，0）．若点M在点N的左边，试比较a₁与a₂的大小．