1. 难度:中等 | |
在平面直角坐标系中,△AOB的位置如图所示,已知∠AOB=90°,AO=BO,点A的坐标为(-3,1). (1)求点B的坐标; (2)求过A,O,B三点的抛物线的解析式; (3)设抛物线的对称轴为直线l,P是直线l上的一点,且△PAB的面积等于△AOB的面积,求点P的坐标. ![]() |
2. 难度:中等 | |
已知抛物线y=x2-2x+m与x轴交于点A(x1,0)、B(x2,0)(x2>x1), (1)若点P(-1,2)在抛物线y=x2-2x+m上,求m的值; (2)若抛物线y=ax2+bx+m与抛物线y=x2-2x+m关于y轴对称,点Q1(-2,q1)、Q2(-3,q2)都在抛物线y=ax2+bx+m上,则q1、q2的大小关系是______; (请将结论写在横线上,不要写解答过程);(友情提示:结论要填在答题卡相应的位置上) (3)设抛物线y=x2-2x+m的顶点为M,若△AMB是直角三角形,求m的值. |
3. 难度:中等 | |
如图1,在平面直角坐标系中,有一张矩形纸片OABC,已知O(0,0),A(4,0),C(0,3),点P是OA边上的动点(与点O、A不重合).现将△PAB沿PB翻折,得到△PDB;再在OC边上选取适当的点E,将△POE沿PE翻折,得到△PFE,并使直线PD、PF重合. (1)设P(x,0),E(0,y),求y关于x的函数关系式,并求y的最大值; (2)如图2,若翻折后点D落在BC边上,求过点P、B、E的抛物线的函数关系式; (3)在(2)的情况下,在该抛物线上是否存在点Q,使△PEQ是以PE为直角边的直角三角形?若不存在,说明理由;若存在,求出点Q的坐标. ![]() |
4. 难度:中等 | |
如图,矩形OABC的边OC,OA分别与x轴,y轴重合,点B的坐标是(![]() (1)若点P在一次函数y=2x-1的图象上,求点P的坐标; (2)若点P在抛物线y=ax2图象上,并满足△PCB是等腰三角形,求该抛物线解析式; (3)当线段OD与PC所在直线垂直时,在PC所在直线上作出一点M,使DM+BM最小,并求出这个最小值. ![]() |
5. 难度:中等 | |
如图1,在平面直角坐标系中,已知点A(0,4![]() ![]() (1)求直线AB的解析式; (2)求等边△PMN的边长(用t的代数式表示),并求出当等边△PMN的顶点M运动到与原点O重合时t的值; (3)如果取OB的中点D,以OD为边在Rt△AOB内部作如图2所示的矩形ODCE,点C在线段AB上.设等边△PMN和矩形ODCE重叠部分的面积为S,请求出当0≤t≤2秒时S与t的函数关系式,并求出S的最大值. ![]() |
6. 难度:中等 | |
在直角坐标系中,O为坐标原点,点A的坐标为(2,2),点C是线段OA上的一个动点(不运动至O,A两点),过点C作CD⊥x轴,垂足为D,以CD为边作如图所示的正方形CDEF.连接AF并延长交x轴的正半轴于点B,连接OF. (1)猜想OD和DE之间的数量关系,并说明理由; (2)设OD=t,求OB的长(用含t的代数式表示); (3)若点B在E的右侧时,△BFE与△OFE能否相似?若能,请你求出此时经过O,A,B三点的抛物线解析式;若不能,请说明理由. ![]() |
7. 难度:中等 | |
设抛物线y=ax2+bx-2与x轴交于两个不同的点A(-1,0)、B(m,0),与y轴交于点C,且∠ACB=90度. (1)求m的值和抛物线的解析式; (2)已知点D(1,n)在抛物线上,过点A的直线y=x+1交抛物线于另一点E.若点P在x轴上,以点P、B、D为顶点的三角形与△AEB相似,求点P的坐标; (3)在(2)的条件下,△BDP的外接圆半径等于______ ![]() |
8. 难度:中等 | |
如图,BC是⊙O的直径,点A在圆上,且AB=AC=4. P为AB上一点,过P作PE⊥AB分别交BC、OA于E、F. (1)设AP=1,求△OEF的面积; (2)设AP=a(0<a<2),△APF、△OEF的面积分别记为S1、S2. ①若S1=S2,求a的值; ②若S=S1+S2,是否存在一个实数a,使S< ![]() ![]() |
9. 难度:中等 | |
已知:如图,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,BC=CD=10,sinC=![]() (1)求梯形ABCD的面积; (2)点E,F分别是BC,CD上的动点,点E从点B出发向点C运动,点F从点C出发向点D运动,若两点均以每秒1个单位的速度同时出发,连接EF.求△EFC面积的最大值,并说明此时E,F的位置. ![]() |
10. 难度:中等 | |
如图①,在边长为8![]() (1)当0<x<8时,直接写出以E,F,G,H为顶点的四边形是什么四边形,并求x为何值时,S1=S2. (2)①若y是S1与S2的和,求y与x之间的函数关系式.(图②为备用图) ②求y的最大值. ![]() |
11. 难度:中等 | |
已知:如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCO是菱形,且∠AOC=60°,点B的坐标是(0,8![]() (1)求∠AOB的度数及线段OA的长; (2)求经过A,B,C三点的抛物线的解析式; (3)当a=3,OD= ![]() (4)当a为何值时,以O,Q,D为顶点的三角形与△OAB相似?当a为何值时,以O,Q,D为顶点的三角形与△OAB不相似?请给出你的结论,并加以证明. ![]() |
12. 难度:中等 | |
两个直角边为6的全等的等腰直角三角形Rt△AOB和Rt△CED按图1所示的位置放置,A与C重合,O与C重合. (1)求图1中,A,B,D三点的坐标; (2)Rt△AOB固定不动,Rt△CED沿x轴以每秒2个单位长的速度向右运动,当D点运动到与B点重合时停止,设运动x秒后Rt△CED和Rt△AOB重叠部分面积为y,求y与x之间的函数关系式; (3)当Rt△CED以(2)中的速度和方向运动,运动时间x=4秒时Rt△CED运动到如图2所示的位置,求经过A,G,C三点的抛物线的解析式; (4)现有一半径为2,圆心P在(3)中的抛物线上运动的动圆,试问⊙P在运动过程中是否存在⊙P与x轴或y轴相切的情况?若存在,请求出P的坐标,若不存在,请说明理由. ![]() |
13. 难度:中等 | |
如图,P是射线y=![]() (1)若⊙P的半径为5,则P点坐标是______;A点坐标是______;以P为顶点,且经过A点的抛物线的解析式是______; (2)在(1)的条件下,上述抛物线是否经过点C关于原点的对称点D,请说明理由; (3)试问:是否存在这样的直线l,当P在运动过程中,经过A、B、C三点的抛物线的顶点都在直线l上?若存在,请求出直线l的解析式;若不存在,请说明理由. ![]() |
14. 难度:中等 | |
如图,在矩形ABCD中,AB=2![]() (1)设AP=x,△PQE的面积为S.请写出S关于x的函数解析式,并确定x的取值范围. (2)点P在运动过程中,△PQE的面积是否有最大值?若有,请求出最大值及此时AP的取值;若无,请说明理由. ![]() |
15. 难度:中等 | |
如图,在等腰△ABC中,AB=AC=5cm,BC=6cm,AD⊥BC,垂足为点D.点P,Q分别从B,C两点同时出发,其中点P从点B开始沿BC边向点C运动,速度为1cm/s,点Q从点C开始沿CA边向点A运动,速度为2cm/s,设它们运动的时间为x. (1)当x为何值时,将△PCQ沿直线PQ翻折180°,使C点落到C′点,得到的四边形CQC′P是菱形; (2)设△PQD的面积为y(cm2),当0<x<2.5时,求y与x的函数关系式; (3)当0<x<2.5时,是否存在x,使得△PDM与△MDQ的面积比为5:3?若存在,求出x的值;若不存在,请说明理由. ![]() |
16. 难度:中等 | |
如图,对称轴为直线x=![]() (1)求抛物线解析式及顶点坐标; (2)设点E(x,y)是抛物线上一动点,且位于第四象限,四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形,求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围; ①当平行四边形OEAF的面积为24时,请判断平行四边形OEAF是否为菱形? ②是否存在点E,使平行四边形OEAF为正方形?若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由. ![]() |
17. 难度:中等 | |
如图,四边形OABC为直角梯形,A(4,0),B(3,4),C(0,4).点M从O出发以每秒2个单位长度的速度向A运动;点N从B同时出发,以每秒1个单位长度的速度向C运动.其中一个动点到达终点时,另一个动点也随之停止运动.过点N作NP垂直x轴于点P,连接AC交NP于Q,连接MQ. (1)点______(填M或N)能到达终点; (2)求△AQM的面积S与运动时间t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围,当t为何值时,S的值最大; (3)是否存在点M,使得△AQM为直角三角形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由. ![]() |
18. 难度:中等 | |
如图,已知抛物线y=-![]() ![]() (1)求点B和点C的坐标; (2)设当点M运动了x(秒)时,四边形OBPC的面积为S,求S与x的函数关系式,并指出自变量x的取值范围; (3)在线段BC上是否存在点Q,使得△DBQ成为以BQ为一腰的等腰三角形?若存在,求出点Q的坐标,若不存在,说明理由. ![]() |
19. 难度:中等 | |
如图,已知二次函数y=ax2-4x+c的图象经过点A和点B. (1)求该二次函数的表达式; (2)写出该抛物线的对称轴及顶点坐标; (3)点P(m,m)与点Q均在该函数图象上(其中m>0),且这两点关于抛物线的对称轴对称,求m的值及点Q到x轴的距离. ![]() |
20. 难度:中等 | |
在直角梯形ABCD中,∠C=90°,高CD=6cm(如图1).动点P,Q同时从点B出发,点P沿BA,AD,DC运动到点C停止,点Q沿BC运动到C点停止.两点运动时的速度都是1cm/s.而当点P到达点A时,点Q正好到达点C.设P,Q同时从点B出发,经过的时间为t(s)时,△BPQ的面积为y(cm2)(如图2).分别以x,y为横、纵坐标建立直角坐标系,已知点P在AD边上从A到D运动时,y与t的函数图象是图3中的线段MN. (1)分别求出梯形中BA,AD的长度; (2)写出图3中M,N两点的坐标; (3)分别写出点P在BA边上和DC边上运动时,y与t的函数关系式(注明自变量的取值范围),并在答题卷的图4(放大了的图3)中补全整个运动中y关于t的函数关系的大致图象. ![]() |
21. 难度:中等 | |
如图,直线y=-![]() (1)求该二次函数的关系式; (2)设该二次函数的图象的顶点为M,求四边形AOCM的面积; (3)有两动点D、E同时从点O出发,其中点D以每秒 ![]() ①请问D、E两点在运动过程中,是否存在DE∥OC,若存在,请求出此时t的值;若不存在,请说明理由; ②请求出S关于t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围; ③设S是②中函数S的最大值,那么S=______. ![]() |
22. 难度:中等 | |
如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx-7的图象交x轴于A,B两点,交y轴于点D,点C为抛物线的顶点,且A,C两点的横坐标分别为1和4. (1)求A,B两点的坐标; (2)求二次函数的函数表达式; (3)在(2)的抛物线上,是否存在点P,使得∠BAP=45°?若存在,求出点P的坐标及此时△ABP的面积;若不存在,请说明理由. ![]() |
23. 难度:中等 | |
如图,已知抛物线y=-x2+2x+3交轴于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C (1)求点A、B、C的坐标; (2)若点M为抛物线的顶点,连接BC、CM、BM,求△BCM的面积; (3)连接AC,在轴上是否存在点P,使△ACP为等腰三角形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. ![]() |
24. 难度:中等 | |
如图,在直角坐标系中,O为原点,抛物线y=x2+bx+3与x轴的负半轴交于点A,与y轴的正半轴交于点B,tan∠ABO=![]() (1)求抛物线的解析式; (2)若抛物线向上或向下平移|k|个单位长度后经过点C(-5,6),试求k的值及平移后抛物线的最小值; (3)设平移后的抛物线与y轴相交于D,顶点为Q,点M是平移的抛物线上的一个动点.请探究:当点M在何位置时,△MBD的面积是△MPQ面积的2倍求出此时点M的坐标.友情提示:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是 ![]() ![]() ![]() |
25. 难度:中等 | |
如图,抛物线y=-x2+2nx+n2-9(n为常数)经过坐标原点和x轴上另一点C,顶点在第一象限. (1)确定抛物线所对应的函数关系式,并写出顶点坐标; (2)在四边形OABC内有一矩形MNPQ,点M,N分别在OA,BC上,A点坐标为(2,8)B点坐标为(4,8),点Q,P在x轴上.当MN为多少时,矩形MNPQ的面积最大,最大面积是多少? ![]() |
26. 难度:中等 | |
在平面直角坐标系中,△AOB的位置如图所示,已知∠AOB=90°,AO=BO,点A的坐标为(-3,1). (1)求点B的坐标; (2)求过A,O,B三点的抛物线的解析式; (3)设点B关于抛物线的对称轴l的对称点为B1,求△AB1B的面积. ![]() |
27. 难度:中等 | |
如图,已知与x轴交于点A(1,0)和B(5,0)的抛物线的顶点为C(3,4),抛物线l2与l1关于x轴对称,顶点为C′. (1)求抛物线l2的函数关系式; (2)已知原点O,定点D(0,4),l2上的点P与l1上的点P′始终关于x轴对称,则当点P运动到何处时,以点D,O,P,P′为顶点的四边形是平行四边形; (3)在l2上是否存在点M,使△ABM是以AB为斜边且一个角为30°的直角三角形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由. ![]() |
28. 难度:中等 | |
如图,二次函数y=ax2的图象与一次函数y=x+b的图象相交于A(-2,2)、B两点,从点A和点B分别引平行于y轴的直线与x轴分别交于C,D两点,点P(t,0),为线段CD上的动点,过点P且平行于y轴的直线与抛物线和直线分别交于R,S. (1)求一次函数和二次函数的解析式,并求出点B的坐标; (2)当SR=2RP时,计算线段SR的长; (3)若线段BD上有一动点Q且其纵坐标为t+3,问是否存在t的值,使S△BRQ=15?若存在,求t的值;若不存在,说明理由. ![]() |
29. 难度:中等 | |
已知抛物线y=ax2+bx+c经过P(![]() ![]() (1)求抛物线的解析式; (2)过P点作平行于x轴的直线PC交y轴于C点,在抛物线对称轴右侧且位于直线PC下方的抛物线上,任取一点Q,过点Q作直线QA平行于y轴交x轴于A点,交直线PC于B点,直线QA与直线PC及两坐标轴围成矩形OABC(如图).是否存在点Q,使得△OPC与△PQB相似?若存在,求出Q点的坐标;若不存在,请说明理由; (3)如果符合(2)中的Q点在x轴的上方,连接OQ,矩形OABC内的四个三角形△OPC,△PQB,△OQP,△OQA之间存在怎样的关系,为什么? ![]() |
30. 难度:中等 | |
已知抛物线y=ax2+x+2. (1)当a=-1时,求此抛物线的顶点坐标和对称轴; (2)若代数式-x2+x+2的值为正整数,求x的值; (3)当a=a1时,抛物线y=ax2+x+2与x轴的正半轴相交于点M(m,0);当a=a2时,抛物线y=ax2+x+2与x轴的正半轴相交于点N(n,0).若点M在点N的左边,试比较a1与a2的大小. |