第34章《二次函数》中考题集（36）：34.4 二次函数的应用（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）．抛物线y=ax²+bx过A、C两点．
（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；
（2）动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．
①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G．当t为何值时，线段EG最长？
②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形？请直接写出相应的t值．

2. 难度：中等

如图，已知抛物线y=x²+4x+3交x轴于A、B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴交x轴于点E，点B的坐标为（-1，0）．
（1）求抛物线的对称轴及点A的坐标；
（2）在平面直角坐标系xoy中是否存在点P，与A、B、C三点构成一个平行四边形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接CA与抛物线的对称轴交于点D，在抛物线上是否存在点M，使得直线CM把四边形DEOC分成面积相等的两部分？若存在，请求出直线CM的解析式；若不存在，请说明理由．

3. 难度：中等

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．
（1）当t=2时，AP=______，点Q到AC的距离是______；
（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）
（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值；若不能，请说明理由；
（4）当DE经过点C时，请直接写出t的值．

4. 难度：中等

已知平行于x轴的直线y=a（a≠0）与函数y=x和函数y=的图象分别交于点A和点B，又有定点P（2，0）．
（1）若a＞0，且tan∠POB=，求线段AB的长；
（2）在过A，B两点且顶点在直线y=x上的抛物线中，已知线段AB=，且在它的对称轴左边时，y随着x的增大而增大，试求出满足条件的抛物线的解析式；
（3）已知经过A，B，P三点的抛物线，平移后能得到y=x²的图象，求点P到直线AB的距离．

5. 难度：中等

如图，已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E，顶点M的坐标为（2，4）；矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3．
（1）求该抛物线所对应的函数关系式；
（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从如图所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动，设它们运动的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）．
①当t=时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；
②设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S，试问S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

6. 难度：中等

如图，抛物线y=ax²+bx+c的交x轴于点A和点B（-2，0），与y轴的负半轴交于点C，且线段OC的长度是线段OA的2倍，抛物线的对称轴是直线x=1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若过点（0，-5）且平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，以线段MN为一边抛物线上与M、N不重合的任意一点P（x，y）为顶点作平行四边形，若平行四边形的面积为S，请你求出S关于点P的纵坐标y的函数解析式；
（3）当0＜x≤时，（2）中的平行四边形的面积是否存在最大值？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由．

7. 难度：中等

如图，二次函数y=x²+px+q（p＜0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-1），△ABC的面积为．
（1）求该二次函数的关系式；
（2）过y轴上的一点M（0，m）作y轴的垂线，若该垂线与△ABC的外接圆有公共点，求m的取值范围；
（3）在该二次函数的图象上是否存在点D，使四边形ABCD为直角梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

8. 难度：中等

已知：抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．其中点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的负半轴上，线段OA、OC的长（OA＜OC）是方程x²-5x+4=0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x=1．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）求此抛物线的解析式；
（3）若点D是线段AB上的一个动点（与点A、B不重合），过点D作DE∥BC交AC于点E，连接CD，设BD的长为m，△CDE的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围．S是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此时D点坐标；若不存在，请说明理由．

9. 难度：中等

已知：如图所示，关于x的抛物线y=ax²+x+c（a≠0）与x轴交于点A（-2，0）、点B（6，0），与y轴交于点C．
（1）求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；
（2）在抛物线上有一点D，使四边形ABDC为等腰梯形，写出点D的坐标，并求出直线AD的解析式；
（3）在（2）中的直线AD交抛物线的对称轴于点M，抛物线上有一动点P，x轴上有一动点Q．是否存在以A、M、P、Q为顶点的平行四边形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

10. 难度：中等

已知直线l：y=-x+m（m≠0）交x轴、y轴于A、B两点，点C、M分别在线段OA、AB上，且OC=2CA，AM=2MB，连接MC，将△ACM绕点M旋转180°，得到△FEM，则点E在y轴上，点F在直线l上；取线段EO中点N，将ACM沿MN所在直线翻折，得到△PMG，其中P与A为对称点．记：过点F的双曲线为C₁，过点M且以B为顶点的抛物线为C₂，过点P以M为顶点的抛物线为C₃．
（1）如图，当m=6时，①直接写出点M、F的坐标，②求C₁、C₂的函数解析式；
（2）当m发生变化时，①在C₁的每一支上，y随x的增大如何变化请说明理由．②若C₂、C₃中的y都随着x的增大而减小，写出x的取值范围．

11. 难度：中等

如图，在△ABC中，∠A=90°，BC=10，△ABC的面积为25，点D为AB边上的任意一点（D不与A、B重合），过点D作DE∥BC，交AC于点E．设DE=x，以DE为折线将△ADE翻折（使△ADE落在四边形DBCE所在的平面内），所得的△A'DE与梯形DBCE重叠部分的面积记为y．
（1）用x表示△ADE的面积；
（2）求出0＜x≤5时y与x的函数关系式；
（3）求出5＜x＜10时y与x的函数关系式；
（4）当x取何值时，y的值最大，最大值是多少？

12. 难度：中等

如图所示，将矩形OABC沿AE折叠，使点O恰好落在BC上F处，以CF为边作正方形CFGH，延长BC至M，使CM=|CE-EO|，再以CM、CO为边作矩形CMNO．
（1）试比较EO、EC的大小，并说明理由；
（2）令m=，请问m是否为定值？若是，请求出m的值；若不是，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若CO=1，CE=，Q为AE上一点且QF=，抛物线y=mx²+bx+c经过C、Q两点，请求出此抛物线的解析式；
（4）在（3）的条件下，若抛物线y=mx²+bx+c与线段AB交于点P，试问在直线BC上是否存在点K，使得以P、B、K为顶点的三角形与△AEF相似？若存在，请求直线KP与y轴的交点T的坐标；若不存在，请说明理由．

13. 难度：中等

已知：t₁，t₂是方程t²+2t-24=0的两个实数根，且t₁＜t₂，抛物线y=x²+bx+c的图象经过点A（t₁，0），B（0，t₂）．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）设点P（x，y）是抛物线上一动点，且位于第三象限，四边形OPAQ是以OA为对角线的平行四边形，求平行四边形OPAQ的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）在（2）的条件下，当平行四边形OPAQ的面积为24时，是否存在这样的点P，使▱OPAQ为正方形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．

14. 难度：中等

如图1，抛物线y=x²-2x+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-3）．[图2、图3为解答备用图]

（1）k=______，点A的坐标为______，点B的坐标为______；
（2）设抛物线y=x²-2x+k的顶点为M，求四边形ABMC的面积；
（3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）在抛物线y=x²-2x+k上求点Q，使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形．

15. 难度：中等

如图所示，已知抛物线y=x²-1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积；
（3）在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG⊥x轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似？若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由．

16. 难度：中等

如图，抛物线F：y=ax²+bx+c的顶点为P，抛物线F与y轴交于点A，与直线OP交于点B．过点P作PD⊥x轴于点D，平移抛物线F使其经过点A、D得到抛物线F′：y=a′x²+b′x+c′，抛物线F′与x轴的另一个交点为C．
（1）当a=1，b=-2，c=3时，求点C的坐标（直接写出答案）；
（2）若a、b、c满足了b²=2ac
①求b：b′的值；
②探究四边形OABC的形状，并说明理由．

17. 难度：中等

如图，抛物线y=a（x+3）（x-1）与x轴相交于A、B两点（点A在点B右侧），过点A的直线交抛物线于另一点C，点C的坐标为（-2，6）．
（1）求a的值及直线AC的函数关系式；
（2）P是线段AC上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点M，交x轴于点N．
①求线段PM长度的最大值；
②在抛物线上是否存在这样的点M，使得△CMP与△APN相似？如果存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标（不必写解答过程）；如果不存在，请说明理由．

18. 难度：中等

在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（-1，0），如图所示：抛物线y=ax²+ax-2经过点B．
（1）求点B的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

19. 难度：中等

如图，Rt△ABC的顶点坐标分别为A（0，），B（，），C（1，0），∠ABC=90°，BC与y轴的交点为D，D点坐标为（0，），以点D为顶点y轴为对称轴的抛物线过点B．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）将△ABC沿AC折叠后得到点B的对应点B'，求证：四边形AOCB'是矩形，并判断点B'是否在（1）的抛物线上．
（3）延长BA交抛物线于点E，在线段BE上取一点P，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点F，是否存在这样的点P，使四边形PADF是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

20. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=a（x+1）²+c（a＞0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其顶点为M，若直线MC的函数表达式为y=kx-3，与x轴的交点为N，且cos∠BCO=．
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）在此抛物线上是否存在异于点C的点P，使以N、P、C为顶点的三角形是以NC为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）过点A作x轴的垂线，交直线MC于点Q．若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段NQ总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？

21. 难度：中等

如图①，在梯形ABCD中，CD∥AB，∠ABC=90°，∠DAB=60°，AD=2，CD=4．另有一直角三角形EFG，∠EFG=90°，点G与点D重合，点E与点A重合，点F在AB上，让△EFG的边EF在AB上，点G在DC上，以每秒1个单位的速度沿着AB方向向右运动，如图②，点F与点B重合时停止运动，设运动时间为t秒．
（1）在上述运动过程中，请分别写出当四边形FBCG为正方形和四边形AEGD为平行四边形时对应时刻t的值或范围；
（2）以点A为原点，以AB所在直线为x轴，过点A垂直于AB的直线为y轴，建立如图③所示的坐标系．求过A，D，C三点的抛物线的解析式；
（3）探究：延长EG交（2）中的抛物线于点Q，是否存在这样的时刻t使得△ABQ的面积与梯形ABCD的面积相等？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

22. 难度：中等

如图①，点A′，B′的坐标分别为（2，0）和（0，-4），将△A′B′O绕点O按逆时针方向旋转90°后得△ABO，点A′的对应点是点A，点B′的对应点是点B．
（1）写出A，B两点的坐标，并求出直线AB的解析式；
（2）将△ABO沿着垂直于x轴的线段CD折叠，（点C在x轴上，点D在AB上，点D不与A，B重合）如图②，使点B落在x轴上，点B的对应点为点E．设点C的坐标为（x，0），△CDE与△ABO重叠部分的面积为S．
①试求出S与x之间的函数关系式（包括自变量x的取值范围）；
②当x为何值时，S的面积最大，最大值是多少？
③是否存在这样的点C，使得△ADE为直角三角形？若存在，直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

23. 难度：中等

已知二次函数过点A（0，-2），B（-1，0），C（）
（1）求此二次函数的解析式；
（2）判断点M（1，）是否在直线AC上；
（3）过点M（1，）作一条直线l与二次函数的图象交于E、F两点（不同于A，B，C三点），请自已给出E点的坐标，并证明△BEF是直角三角形．

24. 难度：中等

如图，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴相交于点C．连接AC、BC，A、C两点的坐标分别为A（-3，0）、C（0，），且当x=-4和x=2时二次函数的函数值y相等．
（1）求实数a，b，c的值；
（2）若点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t秒时，连接MN，将△BMN沿MN翻折，B点恰好落在AC边上的P处，求t的值及点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q，使得以B，N，Q为项点的三角形与△ABC相似？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

25. 难度：中等

如图，抛物线y=ax²-x-与x轴正半轴交于点A（3，0），以OA为边在x轴上方作正方形OABC，延长CB交抛物线于点D，再以BD为边向上作正方形BDEF．
（1）求a的值；
（2）求点F的坐标．

26. 难度：中等

如图，直线y=-x+6分别与x轴、y轴交于A、B两点；直线y=x与AB交于点C，与过点A且平行于y轴的直线交于点D．点E从点A出发，以每秒1个单位的速度沿x轴向左运动．过点E作x轴的垂线，分别交直线AB、OD于P、Q两点，以PQ为边向右作正方形PQMN．设正方形PQMN与△ACD重叠部分（阴影部分）的面积为S（平方单位），点E的运动时间为t（秒）．
（1）求点C的坐标．
（2）当0＜t＜5时，求S与t之间的函数关系式．
（3）求（2）中S的最大值．
（4）当t＞0时，直接写出点（4，）在正方形PQMN内部时t的取值范围．
参考公式：二次函数y=ax²+bx+c图象的顶点坐标为（）．

27. 难度：中等

如图①，某产品标志的截面图形由一个等腰梯形和抛物线的一部分组成，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB=20cm，DC=30CM，∠ADC=45度．对于抛物线部分，其顶点为CD的中点O，且过A、B两点，开口终端的连线MN平行且等于DC．
（1）如图①所示，在以点O为原点，直线OC为x轴的坐标系内，点C的坐标为（15，0），试求A、B两点的坐标；
（2）求标志的高度（即标志的最高点到梯形下底所在直线的距离）；
（3）现根据实际情况，需在标志截面图形的梯形部分的外围均匀镀上一层厚度为3cm的保护膜，如图②，请在图中补充完整镀膜部分的示意图，并求出镀膜的外围周长．

28. 难度：中等

如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三点，其顶点为D，连接BD，点P是线段BD上一个动点（不与B、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足为E，连接BE．
（1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；
（2）如果P点的坐标为（x，y），△PBE的面积为s，求s与x的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求出s的最大值；
（3）在（2）的条件下，当s取得最大值时，过点P作x的垂线，垂足为F，连接EF，把△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为P′，请直接写出P′点坐标，并判断点P′是否在该抛物线上．

29. 难度：中等

已知关于x的一元二次方程2x²+4x+k-1=0有实数根，k为正整数．
（1）求k的值；
（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y=2x²+4x+k-1的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；
（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线y=x+b（b＜k）与此图象有两个公共点时，b的取值范围．

30. 难度：中等

在平行四边形ABCD中，过点C作CE⊥CD交AD于点E，将线段EC绕点E逆时针旋转90°得到线段EF（如图1）
（1）在图1中画图探究：
①当P为射线CD上任意一点（P₁不与C重合）时，连接EP₁；绕点E逆时针旋转90°得到线段EG₁．判断直线FG₁与直线CD的位置关系，并加以证明；
②当P₂为线段DC的延长线上任意一点时，连接EP₂，将线段EP₂绕点E逆时针旋转90°得到线段EG₂．判断直线G₁G₂与直线CD的位置关系，画出图形并直接写出你的结论．
（2）若AD=6，tanB=，AE=1，在①的条件下，设CP₁=x，S_△P1FG1=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．