2013年初中数学单元提优测试卷-黄金分割点与平行线分线段成比例（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

如图，△ABC中，D为BC的中点，E为AC上任意一点，BE交AD于O．某同学在研究这一问题时，发现了如下事实：①当==时，有==；

②当==时，有=；

③当==时，有=；…；则当=时，=（　　）

A．               B．              C．               D．

2. 难度：中等

在平行四边形ABCD中，AC=4，BD=6，P是BD上的．任一点，过P作EF∥AC，与平行四边形的两条边分别交于点E，F．如图，设BP=x，EF=y，则能反映y与x之间关系的图象为（　　）

A．                   B．   C．                    D．

3. 难度：中等

如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D，若AC=2，则AD的长是（　　）

A．          B．            C．﹣1           D．+1

4. 难度：中等

如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n与直线a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，AC=4，CE=6，BD=3，则BF=（　　）

A．7    B．7.5  C．8    D．8.5

5. 难度：中等

如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．4cm²             B．2cm²             C．3cm²          D．3cm²

二、填空题

6. 难度：中等

已知线段AB及AB上一点P，当P满足下列哪一种关系时，P为AB的黄金分割点①AP²=AB?PB；②AP=AB；③PB=AB；④；⑤．其中正确的是　　 （填“序号”）

7. 难度：中等

已知点M是线段AB的黄金分割点，且AM＞MB，若AB=40，则AM=　　．

三、解答题

8. 难度：中等

如图，直线l₁、l₂、l₃分别交直线l₄于点A、B、C，交直线l₅于点D、E、F，且l₁∥l₂∥l₃，已知EF：DF=5：8，AC=24．

（1）求AB的长；

当AD=4，BE=1时，求CF的长．

9. 难度：中等

如图，已知点F在AB上，且AF：BF=1：2，点D是BC延长线上一点，BC：CD=2：1，连接FD与AC交于点N，求FN：ND的值．

10. 难度：中等

如图1，点C将线段AB分成两部分，如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S₁，S₂，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．

（1）研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点（如图2），则直线CD是△ABC的黄金分割线．你认为对吗？为什么？

（2）研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作直线DF∥CE，交AC于点F，连接EF（如图3），则直线EF也是△ABC的黄金分割线．请你说明理由．

11. 难度：中等

如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD延长线上的一点，且D为AE的黄金分割点，即，BE交DC于点F，已知，求CF的长．

12. 难度：中等

如图，用纸折出黄金分割点：裁一张正方的纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落到线段EA上，折出点B的新位置B′，因而EB′=EB．类似地，在AB上折出点B″使AB″=AB′．这时B″就是AB的黄金分割点．请你证明这个结论．

13. 难度：中等

如图，在△ABC中，D为BC边的中点，E为AC边上的任意一点，BE交AD与点O，某学生在研究这一问题时，发现了如下事实，

①当；

②当；

③；

如图4中，当时，请你猜想的一般结论，并证明你的结论（其中n为正整数）．

14. 难度：中等

已知：∠1=∠2，CD=DE，EF∥AB，求证：EF=AC．

15. 难度：中等

如图，AB∥EF∥CD，已知AC+BD=120，BC=50，EC+ED=96，求CF．

16. 难度：中等

如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥BC交AB于点E，DE=4，BC=6，AD=5．求DC与AE的长．

17. 难度：简单

已知：?ABCD中，E是BA边延长线上一点，CE交对角线DB于点G，交AD边于点F．

求证：CG²=GF?GE．

18. 难度：中等

如图，在平行四边形ABCD中，点E为边BC上一点，连接AE并延长AE交DC的延长线于点M，交BD于点G，过点G作GF∥BC交DC于点F．

求证：．

19. 难度：中等

如图，已知△ABC中，DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，点M在BC边上，AM交DE于点F．

求证：．

20. 难度：中等

如图：已知等边三角形ABC，D为AC边上的一动点，CD=nDA，连线段BD，M为线段BD上一点，∠AMD=60°，AM交BC于E．

（1）若n=1，则=　　．=　　；

（2）若n=2，求证：BM=6DM；

（3）当n=　　时，M为BD中点．

（直接写结果，不要求证明）