2013年初中数学单元提优测试卷-平方差公式（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

下列计算中：

①x（2x²﹣x+1）=2x³﹣x²+1；

②（a+b）²=a²+b²；

③（x﹣4）²=x²﹣4x+16；

④（5a﹣1）（﹣5a﹣1）=25a²﹣1；

⑤（﹣a﹣b）²=a²+2ab+b²

正确的个数有（　　）

A．1个             B．2个              C．3个              D．4个

2. 难度：简单

计算（a﹣b）（a+b）（a²+b²）（a⁴﹣b⁴）的结果是（　　）

A．a⁸+2a⁴b⁴+b⁸        B．a⁸﹣2a⁴b⁴+b⁸       C．a⁸+b⁸             D．a⁸﹣b⁸

二、填空题

3. 难度：简单

计算：，则a=　　．

4. 难度：简单

（x﹣y）（x+y）（x²+y²）（x⁴+y⁴）（x⁸+y⁸）=　_________　．

5. 难度：简单

（x﹣2y+z）（x+2y﹣z）=（x﹣　_____　）（x+　_____　）．

6. 难度：简单

已知两个正方形的边长的和为20cm，它们的面积的差为40cm²，则这两个正方形的边长分别是　_____　cm．

7. 难度：中等

记x=（1+2）（1+2²）（1+2⁴）（1+2⁸）…（1+2ⁿ），且x+1=2¹²⁸，则n=　　

8. 难度：中等

=　_　．

9. 难度：简单

计算：1²﹣2²+3²﹣4²+…+99²﹣100²=　_________　．

10. 难度：中等

一只蚂蚁从原点出发，在数轴上爬行，向右爬行1²个单位长度后，向左爬行2²个单位长度；再向右爬行3²个单位长度后，向左爬行4²个单位长度．这样一直爬下去，最后向右爬行9²个单位长度后，向左爬行10²个单位长度，到达A点则A点表示的数是　_________　．

11. 难度：中等

如图，边长为m+4的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形，若拼成的矩形一边长为4，则另一边长为　____　．

三、解答题

12. 难度：中等

观察下列各式：

（x﹣1）（x+1）=x²﹣1，

（x﹣1）（x²+x+1）=x³﹣1，

（x﹣1）（x³+x²+x+1）=x⁴﹣1，

（x﹣1）（x⁴+x³+x²+x+1）=x⁵﹣1，

（1）根据前面各式的规律可得：（x﹣1）（xⁿ+x^n﹣1+…+x²+x+1）=　_________　（其中n为正整数）．

（2）根据（1）求1+2+2²+2³+…+2⁶²+2⁶³的值，并求出它的个位数字．

13. 难度：简单

你能求（x﹣1）（x⁹⁹+x⁹⁸+x⁹⁷+…+x+1）的值吗？遇到这样的问题，我们可以先思考一下，从简单的情形入手．先分别计算下列各式的值：①（x﹣1）（x+1）=x²﹣1；②（x﹣1）（x²+x+1）=x³﹣1；

③（x﹣1）（x³+x²+x+1）=x⁴﹣1；…

由此我们可以得到：（x﹣1）（x⁹⁹+x⁹⁸+x⁹⁷+…+x+1）=　_________　；

请你利用上面的结论，完成下面的计算：

2⁹⁹+2⁹⁸+2⁹⁷+…+2+1．

14. 难度：中等

2002²﹣2001²+2000²﹣1999²+1998²﹣…+2²﹣1²．

15. 难度：简单

简便计算：

（1）12345²﹣12344×12346．

（2）3.7654²+0.4692×3.7654+0.2346²．

16. 难度：中等

利用平方差公式计算：2009×2007﹣2008²．

（1）一变：利用平方差公式计算：

．

（2）二变：利用平方差公式计算：．

17. 难度：简单

计算：（a﹣2b+3c）（a+2b﹣3c）．

18. 难度：简单

已知a+b=2，求代数式a²﹣b²+4b的值．

19. 难度：简单

．

20. 难度：中等

试判断的值与的大小关系，并证明你的结论．

21. 难度：简单

计算6（7+1）（7²+1）（7⁴+1）（7⁸+1）+1的值

22. 难度：中等

如图，边长为a的大正方形内有一个边长为b的小正方形．

（1）阴影部分面积是　_________　．

（2）小欣把阴影部分的两个四边形拼成如图所示的长方形，则这个长方形的宽是　_______　面积是　_______　．

（3）由此可验证出的结论是　_________　．

23. 难度：中等

（1）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式　_________　（用式子表达）．

（2）运用你所得到的公式，计算（a+2b﹣c）（a﹣2b﹣c）．

24. 难度：中等

大家已经知道，完全平方公式和平方差公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，例如：2x（x+y）=2x²+2xy就可以用图的面积表示．

（1）请写出图（2）所表示的代数恒等式：　_______　；

（2）请写出图（3）所表示的代数恒等式：　________　；

（3）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（x+y）（x+3y）=x²+4xy+3y²．

25. 难度：简单

“*”是规定的一种运算法则：a*b=a²﹣b．

①求5*（﹣1）的值；

②若3*x=2，求x的值；

③若（﹣4）*x=2+x，求x的值．

26. 难度：中等

利用图形来表示数量或数量关系，也可以利用数量或数量关系来描述图形特征或图形之间的关系，这种思想方法称为数形结合．我们刚学过的《从面积到乘法公式》就很好地体现了这一思想方法，你能利用数形结合的思想解决下列问题吗？

如图，一个边长为1的正方形，依次取正方形的，根据图示我们可以知道：第一次取走后还剩，即=1﹣；前两次取走+后还剩，即+=1﹣；前三次取走++后还剩，即++=1﹣；…前n次取走后，还剩　_________　，即　_________　=　_________　．

利用上述计算：

（1）=　_________　．

（2）=　_________　．

（3）2﹣2²﹣2³﹣2⁴﹣2⁵﹣2⁶﹣…﹣2²⁰¹¹+2²⁰¹²（本题写出解题过程）

27. 难度：简单

利用平方差公式计算9999²．

28. 难度：中等

求值：（2+1）?（2²+1）?（2⁴+1）?（2⁸+1）?（2¹⁶+1）﹣2³²．

29. 难度：中等

已知：a²﹣b²=（a﹣b）（a+b）；a³﹣b³=（a﹣b）（a²+ab+b²）；a⁴﹣b⁴=（a﹣b）（a³+a²b+ab²+b³）；按此规律，则：

（1）a⁵﹣b⁵=（a﹣b）（　_________　）；

（2）若a﹣=2，你能根据上述规律求出代数式a³﹣的值吗？