2013年初中数学单元提优测试卷-完全平方式的背景（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

如果关于x的二次三项式x²﹣mx+16是一个完全平方式，那么m的值是（　　）

A．8或-8            B．8                C．-8               D．无法确定

2. 难度：简单

如图是一个正方形，分成四部分，其面积分别是a²，ab，b²，则原正方形的边长是（　　）

A．a²+b²             B．a+b              C．a﹣b             D．a²﹣b²

3. 难度：简单

已知如图，图中最大的正方形的面积是（　　）

A．a²               B．a²+b²             C．a²+2ab+b²         D．a²+ab+b²

4. 难度：简单

现有纸片：1张边长为a的正方形，2张边长为b的正方形，3张宽为a、长为b的长方形，用这6张纸片重新拼出一个长方形，那么该长方形的长为（　　）

A．a+b              B．a+2b             C．2a+b             D．无法确定

5. 难度：简单

已知4x²+4mx+36是完全平方式，则m的值为（　　）

A．2                B．±2              C．-6               D．±6

6. 难度：中等

若，则a，b的值分别为（　）

A．﹣，                              B．，

C．﹣，﹣                            D．，

7. 难度：简单

若4a²+kab+9b²是完全平方式，则常数k的值为（　　）

A．6                B．12               C．±6              D．±12

二、填空题

8. 难度：简单

我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．例如图1可以用来解释a²﹣b²=（a+b）（a﹣b）．那么通过图2面积的计算，验证了一个恒等式，此等式是　_________　．

9. 难度：中等

如图，甲类纸片是边长为2的正方形，乙类纸片是边长为1的正方形，丙类纸片是长、宽边长分别是2和1的长方形．现有甲类纸片1张，乙类纸片4张，则应至少取丙类纸片　_____张才能用它们拼成一个新的正方形．

10. 难度：简单

若x⁴+y⁴+m是一个完全平方式，则整式m为　_________　．

11. 难度：简单

若x²+2kx+是一个关于x的完全平方式，则常数k=　_________　．

12. 难度：中等

已知长方形的周长为36cm，它的面积为45cm²，则长方形的长比宽多　_________　cm．

13. 难度：简单

若是一个完全平方式，则k=　_________　．

14. 难度：简单

填上适当的数或代数式，使等式成立：

x²+　_________　=（x+　_________　）²．

15. 难度：中等

已知m，n是正整数，代数式x²+mx+（10+n）是一个完全平方式，则n的最小值是　_________　，此时m的值是　_________　．

16. 难度：简单

用简便方法计算：2001²﹣4002×2000+2000²=　_________　．

17. 难度：简单

若多项式9x²+mx+16是完全平方展开式，则m=　_________　．

18. 难度：中等

已知4y²+my+9是完全平方式，则代数式m²+2m+1的值为　_________　．

19. 难度：简单

某同学做作业时，不慎将墨水滴在了数学题上，如“x²?x+9”，看不清x前面是什么数字，只知道它是一个关于x的完全平方式，那么被墨水遮住的数字是　_________　．

20. 难度：简单

一个完全平方式为a²+■+9b²，但有一项不慎被污染了，这一项应是　_________　．

三、解答题

21. 难度：中等

小刚同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张．观察与操作：

（1）他拼成如图②所示的正方形，根据四个小纸片的面积之和等于大正方形的面积，得到：a²+2ab+b²=（a+b）²，验证了完全平方公式；即：多项式  a²+2ab+b²分解因式后，其结果表示正方形的长（a+b）与宽（a+b）两个整式的积．

（2）当他拼成如图③所示的矩形，由面积相等又得到：a²+3ab+2b²=（a+2b）（a+b），即：多项式 a²+3ab+2b²分解因式后，其结果表示矩形的长（a+2b）与宽（a+b）两个整式的积．

问题解决：

（1）请你依照小刚的方法，利用拼图写出恒等式a²+4ab+3b²．（画图说明，并写出其结果）

（2）试猜想面积是2a²+5ab+3b²的矩形，其长与宽分别是多少？（画图说明，并写出其结果）

22. 难度：中等

通常，我们把长方形和正方形统称为矩形．如图1，是一个长为2a，宽为2b的矩形ABCD，若把此矩形沿图中的虚线用剪刀均分为4块小长方形，然后按照图2的形状拼成一个正方形MNPQ．

（1）分别从整体和局部的角度出发，计算图2中阴影部分的面积，可以得到等式　_________　．

（2）仔细观察长方形ABCD与正方形MNPQ，可以发现它们的　_________　相同，　_________　不同．（选填“周长”或“面积”）

（3）根据上述发现，猜想结论：用总长为36米的篱笆围成一个矩形养鸡场，可以有许多不同的围法．在你围的所有矩形中，面积最大的矩形的面积是　_________　米²．

23. 难度：中等

图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．

（1）图②中阴影部分的正方形的边长是　_________　；

（2）请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积：

方法1：　_________　；

方法2：　_________　；

（3）观察图②，请你写出（a+b）²、（a﹣b）²、ab之间的等量关系是　_________　；

（4）根据（3）中的等量关系解决如下问题：若m﹣n=﹣5，mn=3，则（m+n）²的值为多少？

24. 难度：中等

观察如图图形由左到右的变化，计算阴影部分的面积，并用面积的不同表达形式写出相应的代数恒等式．

　

25. 难度：中等

如图1，是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．

（1）图2中阴影部分的面积为　（m﹣n）²　；

（2）观察图2，请你写出三个代数式（m+n）²、（m﹣n）²、mn之间的等量关系式：　（m﹣n）²+4mn=（m+n）²　；

（3）根据（2）中的结论，若x+y=﹣6，xy=2.75，则x﹣y=　±5　．

（4）有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．如图3，它表示了（2m+n）（m+n）=2m²+3mn+n²．试画出一个几何图形，使它的面积能表示（m+n）（m+3n）=m²+4mn+3n²．

26. 难度：简单

如果a²﹣2（k﹣1）ab+9b²是一个完全平方式，那么k=　_________　．

27. 难度：中等

试说明：（a²+3a）（a²+3a+2）+1是一个完全平方式．

28. 难度：中等

当a=﹣3，b=1，时，分别求代数式（a﹣b）²与a²﹣2ab+b²的值，并比较计算结果；你有什么发现？利用你发现的结果计算：2012²﹣2×2012×2011+2011²．

29. 难度：中等

多项式x²+1加上一个整式后是含x的二项式的完全平方式．

例题：x²+1+　_________　=（x+1）²．

（1）按上例再写出两个加上一个单项式后是含x的二项式的完全平方式的式子（不能用已知的例题）：

①x²+1+　_________　=（x﹣1）²；

②x²+1+　_________　=（x²+1）²．

（2）按上例写出一个加上一个多项式后是一个含x的二项式的完全平方式

x²+1+　_________　=（x²+1）²．