2012-2013学年北京市燕山区九年级上学期期末考试数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AB＝3，则cosB的值为

A．              B．               C．             D．

2. 难度：简单

已知⊙O₁的半径为2cm，⊙O₂的半径为5cm，圆心距O₁O₂＝7cm，则⊙O₁与⊙O₂的位置关系是

A．相交　　　　      B．内切　　　        C．外切　　         D．外离

3. 难度：简单

团支部王书记将6本莫言作品分别放在6个完全相同的不透明礼盒中，准备将它们奖给小李等6位在读书活动中表现突出的员工．这些奖品中3本是《红高粱家庭》，2本是《蛙》，1本是《生死疲劳》．小李从中随机取一个礼盒，恰好取到《蛙》的概率是

A．　　　         B．　　　         C．　　　         D．

4. 难度：简单

将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移1个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的解析式是

A．                     B．

C．                     D．

5. 难度：简单

如图，∠1＝∠2，则下列各式中，不能说明△ABC∽△ADE的是

A．∠D＝∠B                             B．∠E＝∠C

C．                          D．

6. 难度：简单

已知A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点都在函数y＝的图象上，且x₁＜x₂＜0，则下列结论正确的是

A．y₁＜y₂＜0                             B．y₁＞y₂＞0

C．y₂＞y₁＞0                             D．y₂＜y₁＜0

7. 难度：中等

如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm²．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分）．则下列结论错误的是

A．AD＝BE＝5㎝ 　　　                   B．cos∠ABE＝　

C．当0＜t≤5时，                D．当秒时，△ABE∽△QBP

二、填空题

8. 难度：简单

如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，AD＝10，BD＝5，AE＝6，则CE的长为　　　　　．

9. 难度：简单

如图，⊙O是△ABC的外接圆，点A在优弧BC上，∠BOC＝100°，则∠A的度数为　　　　　　．

10. 难度：简单

已知⊙O的半径为5㎝，CD为⊙O直径，弦AB⊥CD于点E，AB＝8㎝，则线段CE的长为　　　　　　．

11. 难度：简单

如图，在△ABC中，∠ACB＝90º，∠B＝30º，AC＝1，AC在直线l上．将△ABC在直线l上顺时针滚动一周，滚动过程中，三个顶点B，C，A依次落在P₁，P₂，P₃处，此时AP₃＝       ；按此规律继续旋转，直到得点P₂₀₁₂，则AP₂₀₁₂＝ 　　      　．

三、解答题

12. 难度：简单

计算：cos²45º＋tan60º·sin60º－sin30º．

13. 难度：简单

如图，已知△ABC中，∠C＝90°，点D在边AC上，∠BDC＝45°，BD＝10，AC＝10，求∠A的度数．

14. 难度：简单

将一根长为16厘米的细铁丝剪成两段，并把每段铁丝围成圆，设所得两圆半径分别为r和R，面积分别为S₁和S₂．

⑴ 求R与r的数量关系式，并写出r的取值范围；

⑵ 记S＝S₁＋S₂，求S关于r的函数关系式，并求出S的最小值．

15. 难度：简单

已知二次函数的图象经过点（3，0）．

⑴ 求b的值；

⑵ 求出该二次函数图象的顶点坐标；

⑶ 在所给坐标系中画出该函数的图象（不要求列对应 数值表，但要求尽可能画准确）．

16. 难度：简单

如图，A、B两座城市相距100千米，现计划在两城市间修筑一条高速公路（即线段AB）．经测量，森林保护区中心P点既在A城市的北偏东30°的方向上，又在B城市的南偏东45°的方向上．已知森林保护区的范围是以P为圆心，35千米为半径的圆形区域内．请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越森林保护区？请通过计算说明．

（参考数据：≈1.732，≈1.414）

17. 难度：简单

如图，直线AE与以AB为直径的⊙O相切于点A，点C、D在⊙O上，并分别位于AB的两侧，∠EAC＝60°．

⑴ 求∠D的度数；

⑵ 当BC＝4时，求劣弧AC的长．

18. 难度：中等

在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，P是边BC上的任意一点（P与B、C不重合），作PE⊥AP，交CD于点E．

⑴ 判断△ABP与△PCE是否相似，并说明理由；

⑵ 联结BD，若PE∥BD，试求出此时BP的长．

19. 难度：中等

北京市初中毕业男生体育测试项目有三项，其中“1000米跑”和“篮球往返运球”为必测项目，另一项是从“引体向上”和“掷实心球”中任选一项．分别用A，B代表“引体向上”和“掷实心球”．甲、乙、丙三名同学各自随机从A和B中选择一个项目参加测试．

⑴ 请用画树状图的方法表示出所有可能出现的选择结果；

⑵ 求甲、乙、丙三名同学选择同一个测试项目的概率．

20. 难度：简单

如图，某一次函数与反比例函数的图象相交于A（－2，－5）、B（5，n）两点．

(1) 求这两个函数的解析式；

(2) 联结OA，OB．求△AOB的面积．

21. 难度：简单

如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△AOB的顶点都在格点上，点A、B的坐标分别为（－4，4）、（－6，2）．请按要求完成下列各题：

⑴ 把△AOB向上平移4个单位后得到对应的△A₁OB₁，则点A₁、B₁的坐标分别是             ；

⑵ 将△AOB绕点O顺时针旋转90°，画出旋转后的△A₂OB₂，在旋转过程中线段AO所扫过的面积为              ；

⑶ 点P₁，P₂，P₃，P₄，P₅是△AOB边上的5个格点，画一个三角形，使它的三个顶点为P₁，P₂，P₃，P₄，P₅中的3个格点并且与△AOB相似．（要求：在图中联结相应线段，不用说明理由）

22. 难度：中等

如图，AB是⊙O的直径，直线AD与⊙O相切于点A，点C在⊙O上，∠DAC＝∠ACD，直线DC与AB的延长线交于点E．AF⊥ED于点F，交⊙O于点G．

⑴ 求证：DE是⊙O的切线；

⑵ 已知⊙O的半径是6cm，EC＝8cm， 求GF的长．

23. 难度：简单

如图，在平面直角坐标系中，直线l：交y轴于点A．抛物线的图象过点E（－1，0），并与直线l相交于A、B两点．

⑴ 求抛物线的解析式；

⑵ 设点P是抛物线的对称轴上的一个动点，当△PAE的周长最小时，求点P的坐标；

⑶ 在x轴上是否存在点M，使得△MAB是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

24. 难度：中等

在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P是在线段BC上任意一点（与点B不重合），∠BPE＝∠BCA，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G．

      

⑴ 若ABCD为正方形，

① 如图⑴，当点P与点C重合时．△BOG是否可由△POE通过某种图形变换得到？证明你的结论；

② 结合图⑵求的值；

⑵ 如图⑶，若ABCD为菱形，记∠BCA＝，请探究并直接写出的值．（用含的式子表示）