2012-2013学年北京市西城区（北区）九年级上学期期末考试数学试卷（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

如图，AB是⊙O 的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E．

（1）求证：∠BCO=∠D；

（2）若CD=，AE=2，求⊙O的半径．

2. 难度：中等

如图，在□ABCD中，点E在BC边上，点F在DC的延长线上，且∠DAE=∠F．

（1）求证：△ABE∽△ECF；

（2）若AB=5，AD=8，BE=2，求FC的长．

3. 难度：中等

如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东45方向，距离灯塔100海里的A处，它计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P的北偏东30方向上的B处.

（1）B处距离灯塔P有多远？

（2）圆形暗礁区域的圆心位于PB的延长线上，距离灯塔200海里的O处.已知圆形暗礁区域的半径为50海里，进入圆形暗礁区域就有触礁的危险.请判断若海轮到达B处是否有触礁的危险，并说明理由．

4. 难度：中等

已知抛物线.

（1）它与x轴的交点的坐标为_______；

（2）在坐标系中利用描点法画出它的图象；

（3）将该抛物线在轴下方的部分(不包含与轴的交点)记为G，若直线与G 只有一个公共点，则的取值范围是_______．

5. 难度：中等

如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，∠COB=2∠PCB.

（1）求证：PC是⊙O的切线；

（2）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若MN  MC=8，求⊙O的直径.

6. 难度：中等

平面直角坐标系中，原点O是正三角形ABC外接圆的圆心，点A在轴的正半轴上，△ABC的边长为6．以原点O为旋转中心将△ABC沿逆时针方向旋转角，得到△，点、、分别为点A、B、C的对应点．

（1）当=60时，

①请在图1中画出△；

②若AB分别与、交于点D、E，则DE的长为_______；

（2）如图2，当⊥AB时，分别与AB、BC交于点F、G，则点的坐标为         _____，△FBG的周长为_____，△ABC与△重叠部分的面积为_______．

7. 难度：困难

阅读下面的材料：

小明在学习中遇到这样一个问题：若1≤x≤m，求二次函数的最大值．他画图研究后发现，和时的函数值相等，于是他认为需要对进行分类讨论．

他的解答过程如下：

∵二次函数的对称轴为直线，

∴由对称性可知，和时的函数值相等．

∴若1≤m＜5，则时，的最大值为2；

若m≥5，则时，的最大值为．

请你参考小明的思路，解答下列问题：

（1）当≤x≤4时，二次函数的最大值为_______；

（2）若p≤x≤2，求二次函数的最大值；

（3）若t≤x≤t+2时，二次函数的最大值为31，则的值为_______．

8. 难度：中等

已知抛物线经过点（，）．

（1）求的值；

（2）若此抛物线的顶点为（，），用含的式子分别表示和，并求与之间的函数关系式；

（3）若一次函数，且对于任意的实数，都有≥，直接写出的取值范围.

9. 难度：困难

以平面上一点O为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作△AOB和△COD，其中∠ABO=∠DCO=30．

图1                         图2                     图3

（1）点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点，连接FM、EM．

①如图1，当点D、C分别在AO、BO的延长线上时，=_______；

②如图2，将图1中的△AOB绕点O沿顺时针方向旋转角（），其他条件不变，判断的值是否发生变化，并对你的结论进行证明；

（2）如图3，若BO=，点N在线段OD上，且NO=2.点P是线段AB上的一个动点，在将△AOB绕点O旋转的过程中，线段PN长度的最小值为_______，最大值为_______．

10. 难度：困难

如图1，平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A、B两点，点C是AB的中点，CD⊥AB且CD=AB.直线BE与轴平行，点F是射线BE上的一个动点，连接AD、AF、DF.

（1）若点F的坐标为（，），AF=.

①求此抛物线的解析式；

②点P是此抛物线上一个动点，点Q在此抛物线的对称轴上，以点A、F、P、Q为顶点构成的四边形是平行四边形，请直接写出点Q的坐标；

（2）若，，且AB的长为，其中.如图2，当∠DAF=45时，求的值和∠DFA的正切值.

二、选择题

11. 难度：简单

二次函数的最小值是

A．              B．1                C．              D．2

12. 难度：简单

如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠ABC＝40，则∠AOC的度数为

 

A．20               B．40               C．60               D．80

13. 难度：简单

两圆的半径分别为2和3，若圆心距为5，则这两圆的位置关系是

A．相交             B．外离             C．外切             D．内切

14. 难度：简单

三角尺在灯泡的照射下在墙上形成的影子如图所示.若，则这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是

A．5：2                                 B．2：5

C．4：25                                D．25：4

15. 难度：中等

如图，正方形ABCD的内切圆和外接圆的圆心为， EF与GH是此外接圆的直径，EF=4，AD⊥GH，EF⊥GH，则图中阴影部分的面积是

A．π                                   B．2π

C．3π                                  D．4π

16. 难度：中等

某学校组织艺术摄影展，上交的作品要求如下：七寸照片（长7英寸，宽5英寸）；将照片贴在一张矩形衬纸的正中央，照片四周外露衬纸的宽度相同；矩形衬纸的面积为照片面积的3倍．设照片四周外露衬纸的宽度为英寸（如图），下面所列方程正确的是

A．                 B．

C．               D．

17. 难度：中等

如图，直线与轴、轴分别交于、两点，△绕点顺时针旋转90后得到△，则点的对应点坐标为

A．（3，4）                              B．（7，4）

C．（7，3）                              D．（3，7）

三、解答题

18. 难度：中等

如图，△ABC中，∠B=60，∠ACB=75，点D是BC边上一动点，以AD为直径作⊙O，分别交AB、AC于E、F，若弦EF的最小值为1，则AB的长为

A．            B．            C．1.5              D．

四、填空题

19. 难度：简单

扇形的半径为9，且圆心角为120，则它的弧长为_______.

20. 难度：简单

已知抛物线经过点、，则与的大小关系是_______．

21. 难度：中等

如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，且OP=2，∠APB=60.若点C在⊙O上，且AC=，则圆周角∠CAB的度数为_______．

五、选择题

22. 难度：中等

已知二次函数的图象与x轴交于(,0)和(,0)，其中，与轴交于正半轴上一点．下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是_______．

六、解答题

23. 难度：简单

计算：．

24. 难度：中等

已知抛物线．

（1）用配方法将化成的形式；

（2）将此抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，求平移后所得抛物线的解析式．

25. 难度：中等

如图，在Rt△ABC中，∠C=90，点D在AC边上．若DB=6， AD=CD，sin∠CBD=，求AD的长和tanA的值．