2012-2013学年北京市初三上学期期中考试数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（　　）

2. 难度：中等

若两圆的半径分别是2cm和3cm，圆心距为5cm，则这两圆的位置关系是(        )

A．内切    B．相交    C．外切     D．外离

3. 难度：中等

正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为(        )

A.3∶2∶1           B.4∶3∶2           C.4∶2∶1          D.6∶4∶3

4. 难度：中等

若圆锥的侧面展开图是一个半径为a的半圆，则圆锥的高为(   )

A.a           B. a        C.3a             D.a

5. 难度：中等

如图，□ABCD中，EF∥AB，DE∶EA = 2∶3，EF = 4，则CD的长为（    ）

A．       B．8       C．10          D．16

6. 难度：中等

如图，在4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M₁N₁P₁．则其旋转中心一定是点 （     ）

A．A    点       B．B   点         C．C点           D．D点

7. 难度：中等

如图所示，实线部分是半径为9m的两条等弧组成的游泳池，若每条弧所在的圆都经过另一个圆的圆心，则游泳池的周长为（       ）

A．12m    B．18m     C．20m     D．24m

8. 难度：中等

如图，点A在半径为3的⊙O内，OA=，P为⊙O上一点，当∠OPA取最大值时，PA的长等于（       ）

A．        B．      C．     B．

二、填空题

9. 难度：中等

如图，已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若△ABC与△A₁B₁C₁是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是___________．

10. 难度：中等

如图，PA，PB是⊙O是切线，A，B为切点， AC是⊙O的直径，若∠BAC=25°，则∠P=    _度.

11. 难度：中等

如图，正方形ABCD的边长为2，AE=EB，MN=1，线段MN的两端在CB、CD上滑动，当CM=              时，ΔAED与N，M，C为顶点的三角形相似.

12. 难度：中等

如图，+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设△的面积为，△的面积为，…，△的面积为，则=       ；=____        （用含的式子表示）．

三、解答题

13. 难度：中等

计算：

14. 难度：中等

如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的顶点均在格点上，O、M也在格点上．

（1）画出△ABC关于直线OM对称的△A₁B₁C₁；

（2）画出△ABC绕点O按顺时针方向旋转90°后所得的△A₂B₂C₂；

（3）△A₁B₁C₁与△A₂B₂C₂组成的图形是轴对称图形吗？如果是轴对称图形，请画出对称轴．

15. 难度：中等

如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.

求证：△ADF∽△DEC；

若AB＝4，AD＝3，AE＝3，求ED，AF的长.

16. 难度：中等

如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于点D、E，连结EB交OD于点F．

（1）求证：OD⊥BE；

（2）若DE=，AB=，求AE的长．

17. 难度：中等

如图,Rt△ABC的斜边AB=4，O是AB的中点，以O为圆心的半圆分别与两直角边相切于点D、E，

（1）求证∠A=∠B.

（2）求图中阴影部分的面积.

18. 难度：中等

已知：如图，∠MAN=45°，B为AM上的一个定点， 若点P在射线AN上，以P为圆心，PA为半径的圆与射线AN的另一个交点为C，请确定⊙P的位置，使BC恰与⊙P相切.

（1）画出图形（不要求尺规作图，不要求写画法）；

（2）连结BP并填空：

① ∠ABC=       °；

② 比较大小：∠ABP     ∠CBP.（用“＞”、“＜”或“=”连接）

19. 难度：中等

如图：学校旗杆附近有一斜坡．小明准备测量学校旗杆AB的高度，他发现当斜坡正对着太阳时，旗杆AB的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，此时小明测得水平地面上的影长BC=20米，斜坡坡面上的影长CD=8米，太阳光线AD与水平地面成30°角，斜坡CD与水平地面BC成30°的角，求旗杆AB的高度（结果保留根号）．

20. 难度：中等

已知：如图，等腰△ABC中，AB= BC，AE⊥BC 于E， EF⊥AB于F，，

（１）当ＢE=4时，求ＥＦ长．

（２）若CE=2求EF的长.

21. 难度：中等

已知：如图，在△ABC中，点D在AC上，点E在CB的延长线上，且AD=BE，求证：．

22. 难度：中等

问题：如图1，在正方形ABCD内有一点P，PA=，PB=，PC=1，求∠BPC的度数．小明同学的想法是：已知条件比较分散，可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是他将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到了△BP′A（如图2），然后连结PP′．

请你参考小明同学的思路，解决下列问题：

(1) 图2中∠BPC的度数为       ；

(2) 如图3，若在正六边形ABCDEF内有一点P，且PA=，PB=4，PC=2，则∠BPC的度数为        ，正六边形ABCDEF的边长为       ．

23. 难度：中等

如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合．将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．

（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；

（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP= ，CQ=时，P、Q两点间的距离 (用含的代数式表示)．

24. 难度：中等

如图，C是以AB为直径的⊙O上一点，过O作OE⊥AC于点E，过点A作⊙O的切线交OE的延长线于点F，连接CF并延长交BA的延长线于点P．

（1）求证：PC是⊙O的切线．

（2）若AF=1，OA=，求PC的长．

25. 难度：中等

已知：中，，中，,. 连接、点、、分别为、、的中点.

 (1) 如图1，若、、三点在同一直线上，且，则的形状是__________，此时________；

(2) 如图2，若、、三点在同一直线上，且，证明，并计算的值（用含的式子表示）；

(3) 在图2中，固定，将绕点旋转，直接写出的最大值.